专题03 轴对称（3种经典基础练+2种提升练）解析版

专题03轴对称（3种经典基础练+2种优选提升练）轴对称（共8题）一．选择题（共4小题）1．（2023秋•四平期末）下列图形中一定是轴对称图形的是A．梯形 B．直角三角形 C．角 D．平行四边形【分析】如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断．【解答】解：根据轴对称图形的定义：、梯形不一定是轴对称图形，故此选项错误；、直角三角形，不一定是轴对称图形，故此选项错误；、角的角平分线所在直线可以作为一条对称轴，故是轴对称图形，故此选项正确；、平行四边形不是轴对称图形，故此选项错误．故选：．【点评】本题考查轴对称的定义，难度不大，掌握轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2023秋•扶余市期末）下列图形中，不是轴对称图形的是A．①⑤ B．②⑤ C．④⑤ D．①②【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：①⑤的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；②③④的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：．【点评】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（2023秋•扶余市期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为A． B． C． D．【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到，再根据角平分线的定义，即可得出的度数，根据三角形内角和定理，即可得到的度数．【解答】解：垂直平分，，又平分，，，故选：．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．4．（2023秋•永吉县期末）已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是①作射线；②在射线和上分别截取、，使；③分别以、为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点．A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②【分析】根据作一个角的平分线的过程即可进行判断．【解答】解：根据作一个角的平分线的过程可知：②在射线和上分别截取、，使；③分别以、为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点；①作射线．则射线平分．所以作法的合理顺序是②③①．故选：．【点评】本题考查了作图基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．二．填空题（共3小题）5．（2023秋•长春期末）如图，在，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径．画弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，则的度数为．【分析】根据已知条件中的作图步骤知，是的平分线，根据角平分线的性质解答即可．【解答】解：解法一：连接．点、是以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别与、的交点，；是等腰三角形；又分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；是线段的垂直平分线，平分，，；在中，，，（直角三角形中的两个锐角互余）；解法二：根据已知条件中的作图步骤知，是的平分线，，；在中，，，（直角三角形中的两个锐角互余）；故答案为：．【点评】本题综合考查了作图复杂作图，直角三角形的性质．根据作图过程推知是平分线是解答此题的关键．6．（2023秋•榆树市期末）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，则的长为．【分析】连接，利用基本作法判断垂直平分，则，所以，再判断为等腰直角三角形，则，从而得到的长．【解答】解：由作法得垂直平分，连接，则，，，，为等腰直角三角形，，．故答案为．【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．7．（2023秋•船营区期末）如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则．【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，同理得到，根据平角的定义计算，得到答案．【解答】解：连接，垂直平分，，平分，即，同理可得：，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．三．解答题（共1小题）8．（2023秋•浑江区期末）如图，中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，．（1）若的周长为10，求线段的长；（2）若，求的度数．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质求出，结合图形计算即可．【解答】解：（1）垂直平分，垂直平分，，，的周长为10，，；（2），，，，，，，．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．画轴对称图形（共8题）一．选择题（共2小题）1．（2023秋•通榆县期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是A． B．2，1 C． D．，1【分析】根据平面直角坐标系中对称点的规律解答．【解答】解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点关于轴的对称点为．故选：．【点评】此题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2．（2023秋•临江市期末）若点与关于轴对称，则A．， B．， C．， D．，【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【解答】解：点与关于轴对称，，解得：．故选：．【点评】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．二．填空题（共2小题）3．（2023秋•临江市期末）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为．【分析】关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点关于轴的对称点的坐标．【解答】解：点的坐标为，点关于轴的对称点的坐标为．故答案为：．【点评】本题考查了关于轴对称的点的坐标．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．4．（2023秋•朝阳区校级期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为．【分析】根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为，故答案为：．【点评】此题主要考查了关于轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．三．解答题（共4小题）5．（2023秋•磐石市期末）已知：如图，已知（1）点关于轴对称的点的坐标是，点关于轴对称的点的坐标是；（2）画出与关于轴对称的△；（3）画出与关于轴对称的△．【分析】（1）分别利用关于轴以及轴对称点的性质得出对应点坐标即可；（2）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点坐标即可；（3）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点坐标即可．【解答】解：（1）点关于轴对称的点的坐标是：，点关于轴对称的点的坐标是：；故答案为：，；（2）如图所示：△，即为所求；（3）如图所示：△，即为所求．【点评】此题主要考查了轴对称变换，根据题意得出对应点坐标是解题关键．6．（2023秋•东辽县期末）如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如图三个图中的三角形为格点三角形，在图中分别画出与已知三角形成轴对称（对称轴不相同）的格点三角形．【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查了作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．7．（2023秋•乾安县期末）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．，，均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．（2）在图②中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．（3）在图③中，画一个，使与关于某条直线对称，且，，为格点．【分析】（1）根据对称性在图①中，画一条不与重合的线段并且与对称即可；（2）根据对称性即可在图②中，画一条不与重合的线段并且与对称；（3）根据对称性在图③中，画一个，使与关于某条直线对称即可．【解答】解：（1）如图①，即为所求；（2）如图②，即为所求；（3）如图③，即为所求．（答案不唯一）．【点评】本题考查了作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质．8．（2023秋•永吉县期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，，．（1）画出关于轴对称的△；（2）在第四象限内找出一个格点，画出，使，并直接写出点的坐标．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）根据全等三角形的判定确定点的位置，即可得出答案．【解答】解：（1）如图，△即为所求．（2）若，则，．在第四象限取格点，连接，．如图，即为所求．由图可知，点的坐标为．【点评】本题考查作图轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键．等腰三角形（共23题）一．选择题（共7小题）1．（2023秋•绿园区期末）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为A．9 B．7 C．12 D．9或12【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，由于，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为．故选：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．2．（2023秋•四平期末）等腰三角形的顶角为，则它的一个底角是A． B． C． D．【分析】根据等腰三角形的两个底角相等即可得出结论．【解答】解：一个等腰三角形的顶角为，它的底角．故选：．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．3．（2023秋•磐石市期末）如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向的处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔的北偏东的处，则处与灯塔的距离为A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里【分析】根据方向角的定义即可求得，，则在中利用内角和定理求得的度数，证明三角形是等腰三角形，即可求解．【解答】解：（海里），，，，，（海里）．故选：．【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．4．（2023秋•龙山区期末）如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为A． B． C． D．【分析】等边三角形的三个角都为，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．【解答】解：．故选：．【点评】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三个角都为，和三角形的外角的性质．5．（2023秋•通榆县期末）等腰三角形的一个内角为，则另外两个内角的度数分别是A．， B．，或， C．， D．，或，【分析】已知给出了一个内角是，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论．【解答】解：分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为时，底角；（2）若等腰三角形的底角为时，它的另外一个底角为，顶角为．故选：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．6．（2023秋•二道区校级期末）如图，在正方形网格中，，两点都在小方格的顶点上，如果点也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数．【解答】解：当为腰时，点的个数有2个；当为底时，点的个数有1个，故选：．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．7．（2023秋•梅河口市期末）如图，是等边三角形，是线段上一点（不与点，重合），连接，点，分别在线段，的延长线上，且，点从运动到的过程中，周长的变化规律是A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大【分析】由“”可证，由全等三角形的性质可得，，可得周长，即可求解．【解答】解：，，，，，，，，，且，，，，，周长，点在边上从至的运动过程中，的长先变小后变大，周长先变小后变大，故选：．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明是本题关键．二．填空题（共12小题）8．（2023秋•双阳区期末）如图，的角平分线交于点，交于点，若，，则9．【分析】根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得，然后根据，代入数据计算即可得解．【解答】解：是的平分线，，，，，，，，，．故答案为：9．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并求出是解题的关键．9．（2023秋•宽城区期末）如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点．若，则的大小是55度．【分析】根据尺规作图可得是的垂直平分线，再根据直角三角形的两锐角互余可求得大小．【解答】解：．是等腰三角形，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点．垂直平分，是的平分线，．故答案为：55．【点评】本题考查等腰三角形的性质和尺规作图，熟练掌握垂直平分线的作法是解题关键．10．（2023秋•宁江区期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形是“倍长三角形”，底边长为5，则等腰三角形的周长为25．【分析】由等腰是“倍长三角形”，可知或，若，可得的长为10；若，因，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：等腰是“倍长三角形”，或，若，则三边分别是10、10、5，符合题意，等腰三角形的周长为；若，则，三边分别是2.5、2.5、5，，此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，等腰三角形的周长为25，故答案为：25．【点评】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，读懂题意，理解“倍长三角形”是解本题的关键．11．（2023秋•南关区期末）如图，在三角形钢架中，，是连接点与中点的支架．若，则的大小为50度．【分析】由等腰三角形的性质推出平分，即可求出．【解答】解：，是中点，平分，．故答案为：50．【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的性质．12．（2023秋•双阳区期末）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则26度．【分析】由等腰三角形的性质分别求出，的度数，由外角的性质可求解．【解答】解：设，，，，，，，，，故答案为：26．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．13．（2023秋•洮北区期末）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则2．【分析】先设，则，根据是等边三角形，得出，再利用三角函数求出和的长，即可得出的值．【解答】解：设，则，是等边三角形，．，同理可得，，．故答案为：2．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，用到的知识点是三角函数，难度不大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．14．（2023秋•长春期末）如图，已知是等边三角形，点、、、在同一直线上，且，，则15度．【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质即可求得结果．【解答】解：是等边三角形，，，，，．故答案为：15．【点评】本题考查了等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．15．（2023秋•二道区校级期末）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为2．【分析】先由平行线的性质可得的度数，根据等边三角形的判定和性质定理可得，则可得出的长．【解答】解：直尺的两对边相互平行，，，，，△是等边三角形，．故答案为：2．【点评】此题主要是考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，能够得出是解答此题的关键．16．（2023秋•延边州期末）如图，在中，，是角平分线，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为．【分析】设，根据等腰三角形的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用三角形内角和定理列出关于的方程，进行计算即可解答．【解答】解：设，，，平分，，是的垂直平分线，，，，，，解得：，，故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．17．（2023秋•绿园区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．已知的周长为，且，则的长为．【分析】利用线段的垂直平分线的性质得到，结合已知条件得到，进而求得，即可求出．【解答】解：的垂直平分线交于点，，的周长是，，，．，，故答案为：．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等几何知识；进行线段的等量代换后得到是正确解答本题的关键．18．（2023秋•铁西区期末）如图，为内一点，平分，，垂足为，交与点，．若，，则的长为．【分析】根据平分，，证出，得到，即可．【解答】解：平分，，，，，，，，又，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据已知并结合图形分析是解题的关键．19．（2023秋•浑江区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，若，则的长为10．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出，故可得出，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：在中，，的垂直平分线交于，，，，在中，，，．故答案为：10．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和含的直角三角形的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．三．解答题（共4小题）20．（2023秋•龙山区期末）已知，如图，在中，点在上，点、在上，且，，，问：是否为等腰三角形？为什么？【分析】欲证是否是等腰三角形，利用已知，，证明三角形中两内角是否相等来证是否等腰．【解答】解：是等腰三角形．，，又，，又，，，是等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及平行线的性质；角的等量代换的运用是正确解答本题的关键．21．（2023秋•浑江区期末）如图是等边三角形，是中线，延长到，使．求证：．【分析】根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到．【解答】证明：是等边三角形，是中线，．（等腰三角形三线合一）．又，．又，．．（等角对等边）．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键．22．（2023秋•磐石市期末）如图，在中，，平分，交于点，垂直平分，点为垂足，求证：（1）（2）．【分析】（1）根据题意可以得到，由垂直平分，可得，从而可以得到与的关系，从而可以解答本题．（2）由，平分，垂直平分，可得，由（1）中，可以得到与的关系，从而可以得到与的关系．【解答】解：（1）在中，，平分，垂直平分，，，．在和中．．．．（2），，，．在中，，平分，垂直平分，．．【点评】本题考查三角形的全等、直角三角形中角所对的直角边与斜边的关系、线段垂直平分线的性质，解题的关键是找出所求问题需要的条件，灵活变化，进行解答．23．（2023秋•梨树县期末）如图，在中，垂直平分，分别交于点，交于点，且平分，．（1）求的度数；（2）若，求的长．【分析】（1）是边上的垂直平分线推，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义推角相等，最后得出角的度数；（2）利用角平分线的性质求出的长，再由直角三角形的性质求出的长，进而可得出结论．【解答】解：（1）是边上的垂直平分线，，．平分，，，；（2）平分，，，，垂直平分，．在中，．．．．【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质，熟知在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．等腰三角形中添加辅助线方法（共5题）1．（2023秋•江源区月考）如图，为等边内一点，连接、，延长到点，使；延长到点，使，连接、．（1）求证：；（2）求的度数；（3）若，则度．【分析】（1）证明，再利用全等三角形性质即可得到；（2）根据题意得到，再利用三角形内角和定理即可得到；（3）延长，交于点，得到，再利用三角形内角和定理即可得到．【解答】解：（1）在和中，，，，；（2），等边，，，是等腰三角形，，，；（3）延长，交于点，如图：，且，，，，，故答案为：60．【点评】本题考查全等三角形性质及判定，平行线判断，等腰三角形性质及判定，等边三角形性质，三角形内角和定理等，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．（2020秋•洮北区期末）在中，，，是的角平分线，于点．（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；（2）点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．请你在图2中画出完整图形，并直接写出，与之间的数量关系；（3）如图3，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由．【分析】（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得是等边三角形；（2）延长使得，连接，即可得出是等边三角形，利用即可得出，再利用，即可得出答案；（3）利用等边三角形的性质得出，进而得出，再求出即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1所示：在中，，，，．平分，．．于点．．．是等边三角形；（2）结论：．证明：如图2所示：延长使得，连接，，，是的角平分线，于点，，，又，是等边三角形，，在和中，，，．（3）结论：．证明：延长至，使得．由（1）得，．于点．．．是等边三角形．，．．，．即．在和中，．．，．．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知做出正确辅助线是解题关键．3．（2024秋•双辽市期中）阅读材料：如图，△中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值．（1）深入探究将“在△中，，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，，，垂足分别为、、、，有类似结论吗？请写出结论并证明；（2）理解与应用当点在△外，（1）结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，、、和之间又有怎样的关系，并说明理由．【分析】（1）连接、、，利用计算即可；（2）连接、、，利用计算即可．【解答】解：（1），理由如下：连接、、，则，等边三角形，，，，，，，，；（2），理由如下：连接、、，则，等边三角形，，，，，，，，．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解决此题的关键．4．（2023秋•东辽县期末）如图，在等边三角形中，是上的一点，是延长线上一点，连接、，已知．（1）求证：是等腰三角形．（2）当，时，求的面积．【分析】（1）根据等边三角形的性质，即可证明结论；（2）设，则，得，根据三角形内角和定理可得，过作于，根据等腰直角三角形的性质即可得的长，进而可得结论．【解答】（1）证明：是等边三角形，，，，，，，是等腰三角形；（2）解：设，则，，，，，，如图，过作于，是等腰直角三角形，，，的面积．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质．5．（2020秋•朝阳区校级月考）如图，已知在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，．（1）当点在的什么位置时，？并证明；（2）过点作边上的高，试猜想，，的长之间存在怎样的等量关系？（直接写出你的结论）【分析】（1）根据证，根据全等三角形的性质推出即可；（2）连接，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：（1）当点在的中点上时，，证明：为中点，，，，，，，在和中，，．（2）证明：连接，，，，．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力轴对称之最短路径问题（共6题）一．填空题（共2小题）1．（2022秋•丰满区期末）如图，在中，，，，，平分，如果点，点分别为，上的动点，那么的最小值是．【分析】过点作交于点，交于点，过点作交于点，此时的值最小，再由三角形的面积求出边上的高即为所求．【解答】解：过点作交于点，交于点，过点作交于点，平分，，，此时的值最小，的面积，，的值最小为，故答案为：．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，角平分线的性质，三角形面积公式是解题的关键．2．（2023秋•龙山区校级期末）如图，已知点在锐角内部，，在边上存在一点，在边上存在一点，能使最小，此时．【分析】过的作关于的对称点，作于，交于，此时最短，即可求得的度数．【解答】解：过的作关于的对称点，作于，交于，此时，根据点到直线的距离最短可知最短，，，，，，，．故答案为：．【点评】本题考查了轴对称最短路线问题的应用、点到直线的距离最短，关键是确定、的位置．二．解答题（共4小题）3．（2021秋•双辽市期末）如图，四边形的对角线、相交于点，若为等边三角形，，．（1）求证：垂直平分；（2）求的长；（3）若点为的中点，请在上找出一点，使取得最小值；的最小值为6（直接写出结果）．【分析】（1）先证明，再证明，即可求证；（2）求出，利用直角三角形角所对直角边等于斜边的一半即可求解；（3）连接交于点，连接，的最小值为，求出即可．【解答】解：（1），，，，，，，，，，，垂直平分；（2），平分，，，，，，，，；（3）连接交于点，连接，是的垂直平分线，、关于对称，，，的最小值为，是的中点，，，，故答案为：6．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2022秋•松原期末）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．（1）4，度；（2）当四边形为轴对称图形时，求的长；（3）若是等腰三角形，求的度数；（4）若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度．【分析】（1）根据题意可得，则，即可求出的长，再根据角平分线的性质即可求出的度数．（2）根据轴对称图形的性质即可解答．（3）根据题意可得，分三种情况：当时；当