专题05 圆中的重要模型之圆中的翻折模型解读与提分精练（北师大版）

专题05圆中的重要模型之圆中的翻折模型圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 19【知识储备】1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60°1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD.由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD，∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA，∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。例1．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，AB为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交AB于点，连结CD．若点与圆心不重合，，则的度数为（

）A． B． C． D．例2．（23-24九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，是的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点D．若，，则的半径长为（）A． B． C． D．例3．（2023·山东青岛·一模）如图，在中，，，以为直径的交于点D，弧沿直线翻折后经过点O，那么阴影部分的面积为．例4．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，AB＝4，则的长度为．例5．（2024·安徽·校联考模拟预测）如图，是的直径，且，点是上一点，连接，过点作于点，将沿直线翻折．若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．例6．（2023·江苏·统考一模）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使折叠后的弧恰好经过圆心O，点P是优弧上的一个动点（与A、B两点不重合），若⊙O的半径是2cm，则△APB面积的最大值是cm2例7．（23-24九年级上·浙江金华·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．(1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数．(3)如图2，如果，，求的长．例8．（2023·广西南宁·统考三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了如下的操作及问题：如图1，同学们先画出半径为的，将圆形纸片沿着弦折叠，使对折后劣弧恰好过圆心，同学们用尺子度量折痕的长约为，并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的．验证如下：如图1，过点作于点，并延长交虚线劣弧于点，∴，由折叠知，，连接，在中，，根据勾股定理得，，∴，通过计算：，同学们用尺子度量折痕的长约为是正确的．请同学们进一步研究以下问题：(1)如图2，的半径为，为的弦，，垂足为点，劣弧沿弦折叠后经过的中点，求弦的长（结果保留根号）；(2)如图3，在中劣弧沿弦折叠后与直径相交于点，若，，求弦的长（结果保留根号）．1．（2023·广西南宁·统考二模）如图，AB是的直径，点C是上一点，将劣弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，连接CD，若，则下列式子正确的是（

）

A． B． C． D．2．（2023·江苏扬州·九年级统考期中）如图，已知MN是⊙O的直径，点Q在⊙O上，将劣弧沿弦MQ翻折交MN于点P，连接PQ，若∠PMQ＝16°，则∠PQM的度数为（）A．32° B．48° C．58° D．74°3．（2023·江苏镇江·九年级统考期中）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC＝20°，将劣弧沿弦AC所在的直线翻折，交AB于点D，则弧的度数等于（）A．40° B．50 C．80° D．1004．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，、为的两条弦，，，将折叠后刚好过弦的中点D，则的半径为（

）

A． B． C．5 D．5．（2022秋·福建莆田·九年级校考期末）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（

）A． B． C． D．6．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，则∠BCD的度数是（

）A．22.5° B．30° C．45° D．60°7．（2024·广东珠海·校考一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝8，将弧AB沿弦AB翻折后恰好经过弦AC的中点D，则弦BC的长为，⊙O的半径为．8．（2023·山东济宁·九年级统考期末）如图，将沿弦折叠交直径于圆心O，则度．

9．（2023·浙江金华·三模）在综合实践课上，小慧将图①中圆形纸片沿直径AB向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦BD向上翻折得到图④．（1）若点E是弧BD的中点，则；（2）若，则．（用关于n的代数式表示）10．（23-24九年级上·山东威海·期末）将的劣弧沿弦折叠、刚好落在半径的中点C处，已知，则．11．（2023·广东惠州·校考二模）如图，，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点，若，．若，则．

12．（2023·福建泉州·统考一模）如图，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点．若，，则＝．13．（2022秋·广西南宁·九年级统考期中）如图，AB是的直径，BC是的弦，先将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD沿AB翻折交BC于点E，若，设，则为°．14．（2024·河南南阳·二模）如图，在扇形中，，半径，点C是上一点，连接，沿将扇形折叠，使得点A落在的延长线上的点D处，连接，则图中阴影部分面积为(结果保留π)．15．（2023·河北·九年级校联考专题练习）已知⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，连接AC，沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．（1）如图1，当经过圆心O时，求的长．（2）如图2，当与AB相切于A时．①画出所在的圆的圆心P．②求出阴影部分弓形的面积．

16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．(1)求证：．(2)求证：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长．

17．（2023·江苏·九年级校考阶段练习）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结．（