专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型解读与提分精练（北师大版）

专题11圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.米勒最大张角（视角）模型 1模型2.定角定高模型（探照灯模型） 8 17模型1.米勒最大张角（视角）模型已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。在三角形AC’D中， 又常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。例1．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，甲、乙、丙三名同学比赛定点射门，PQ是球门，且甲、乙、丙三名同学位于以点O为圆心的同一圆弧上，仅从射门角度考虑的话，进球概率最大的是（

）

A．甲 B．乙 C．丙 D．三名同学一样大例2．（24-25九年级上·广东·期中）如图，某雕塑位于河段上，游客在步道上由点出发沿方向行走．已知，，当观景视角最大时，游客行走的距离是多少米？

例3．（23-24九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点．已知点，，是的外接圆．（1）点的横坐标为；（2）若最大时，则点的坐标为．例4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）【问题提出】当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？【数学眼光】如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．【数学思维】小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，．（1）按照小明的思路完成证明过程；【问题解决】（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？（3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示）例5．（2024·山东济宁·一模）如图，抛物线与轴交于点A−2,0、B4,0，且经过点．(1)求抛物线的表达式；(2)在轴下方的抛物线上任取一点，射线、分别与抛物线对称轴交于点、，点关于轴的对称点为，求的面积；(3)点是轴上一动点，当最大时，请直接写出点的坐标．模型2.定角定高模型（探照灯模型）定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=；∴BC=2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立），∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值；∴，当取等号时BC有最小值；∴，当取等号时△ABC有最小值；∴，当取等号时△ABC有最小值。例1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（）A． B． C．3 D．4例2．（2023·陕西渭南·二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为．

例3.（23-24浙江·九年级校考期中）为了迎接新年的到来某市举办了迎新年大型灯光秀表演。其中一个镭射灯距地面30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图：若将两根光线(AB、AC)和光线与地面的两交点的连接的线段(BC)看作一个三角形，记为△ABC，三角形面积的最小值为_______平方米，其周长最小值为_______米。例4.（23-24·重庆·九年级校考期中）如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是边BC、CD上的动点，则△AEF面积的最小值为________.例5．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）【场景发现】小明晚上经过河边时，发现探照灯的照射光线都不是垂直于河边，而是有一个角度，为了寻找原因，小明将这一场景进行数学抽象化如图所示，【模型迁移】在一个矩形院子安装一个摄像头，摄像头的监控角度为，若将摄像头安装在墙的处，，是摄像头与墙壁的交点，如图图所示，阴影部分为摄像头的盲区．

(1)假设探照灯的有效照射角度为，河宽米，米的时候照射的面积最小，最小值为；(2)若米，米，在线段是否存在点，当摄像头在点转动时，摄像头的盲区不变，若存在，等于多少，摄像头的盲区面积为多少？(3)在南北走向的马路上，工作人员要安装一个摄像角度为的摄像头，正好可以监控到整面墙面，以墙面的中点为为原点建立如图所示的坐标系，，马路距离墙面的最小距离为，请写出符合条件的摄像头的坐标．例6．（2024·陕西西安·校考模拟预测）【问题提出】（1）如图1，是等腰直角三角形，，可得到，点D，E分别在边，上，且，把绕点A旋转时，则的值是；【问题探究】（2）如图2，O为矩形对角线的交点，点M为边上任一点，且与边交于点N，若，，求四边形面积的最大值；【问题解决】（3）如图3，是西安市纺渭路的一部分，因燃气管道抢修，需在米，米的矩形平面开挖一个的工作面，其中E、F分别在直线、直线上，且，为缓解该路段对市民正常生活和出行影响，经勘测发现的面积越小越好，求出的面积最小值．1．（2023·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（）A． B． C．3 D．42．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在矩形中，，，点为边上一点，当最大时，求的值．3．（2023上·江苏泰州·九年级统考期末）如图．在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP=．4.（2023·山东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一点，且∠BEC=45°，则四边形ABCD面积的最小值为。5．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为．6．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，在中，，，定长线段的端点E，F分别是边上的动点，O是的中点，连接．设，，y与x之间的函数关系的部分图象如图2所示（最高点为），当时，最大，则a的值为．7．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，墙壁上的展品最高点与地面的距离，最低点与地面的距离，观赏者的眼睛E距地面，经验表明，当水平视线与过P、Q、E三点的圆相切于点E时，视角最大，站在此处观赏最理想，求此时点E到墙壁的距离．8．（2024九年级上·江苏·专题练习）某儿童游乐场的平面图如图所示，场所工作人员想在边上的点P处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果更佳，必须要求最大，已知：，米，米，问在边上是否存在一点P，使得最大？若存在，请求出此时的长和的度数；若不存在，请说明理由．9．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线接近球门，他在哪里射门时射门角度最大？【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门的张角时，在上取一点Q，过A、B、Q三点作圆，发现直线与该圆相交或相切．如果直线与该圆相交，如图1，那么球员P由M向N的运动过程中，的大小______：（填序号）①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时最大，如图2，试证明他们的发现．【实际应用】如图3，某球员P沿垂直于方向的路线带球，请用尺规作图在上找出球员P的位置，使最大．（不写作法，保留作图痕迹）10．（2023·陕西西安·校考模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门AB的张角达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．(1)如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时，，，为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点______；(2)如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门，于点D，，．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．①用含a的代数式表示DQ的长度并求出的值；②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，若此时守门员站在张角内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功．（结果用含a的代数式表示）11．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、两点(在的左侧)，与轴交于点，，点的坐标为．

(1)求、、的坐标及的值；(2)直线经过点，与抛物线交于、，若，求直线的解析式；(3)过点作直线，为直线上的一动点．是否存在点，使的值最大？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．12．（2024九年级下·上海·专题练习）（1）如图①，是的弦，直线l上有两点M、N，点P在上，则、、的大小关系为__________＜__________＜__________；（2）如图②，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，求出点C的坐标；（3）如图③，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点D、C．点M为直线上一点且，为x轴上一条可移动的线段，，连接，点P为直线l上任意一点，连接．求当最小时，的最大值及此时点P的坐标．13．（2023·广东深圳·三模）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？【解决问题】(1)数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，∵是的外角，∴（填“＞”，“＝”或“＜”），∴（填“＞”，“＝”或“＜”）；【问题探究】(2)如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接，请你判断与的数量关系，并说明理由；【问题拓展】(3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）

14．（2024·陕西·二模）（1）如图1，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D，且，，求的最小值；（2）如图2，某公园有一块四边形空地，园区管理人员计划将该空地进行划分，种植不同的花卉，点E，F分别为，上的点，，将其分为三个区域．已知，，，若保持，试求四边形面积的最大值．15．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】(1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____【问题探究】(2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积；【问题解决】(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．16．（2023·吉林长春·模拟预测）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心到弦的距离为4，若的半径为7，则上