福建省龙岩市长汀县城区六校2024-2025学年九年级上学期第一次联考数学试题(含答案)

2024—2025学年第一学期长汀城区10月月考数学试题一、精心选一选：（每小题4分，共40分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程配方后变形为（）A．B．C．D．3．关于x的一元二次方程的根的情况是（）A．实数根的个数由b的值确定B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．5．将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（）A．B．C．D．6．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线B．图象与x轴没有交点C．顶点坐标为D．当时，y随x的增大而减小7．当时，与的图象大致是（）A．B．C．D．8．根据下列表格的对应值：x3.233.243.253.26-0.06-0.020.030.07判断方程（，a、b、c为常数）的一个解x的范围是（）A．B．C．D．9．如图，将VABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（），得到VADE，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上，则下列结论不一定正确的是（）A．B．C．D．10．已知二次函数（a、b、c为常数，且）的图象经过，，，N（d，6t）四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（）A．B．C．2D．4二、细心填一填：（每小题4分，共24分）11．已知点A（1，a）与点是关于原点O的对称点，则________．12．方程的解是________________．13．若实数a，b是一元二次方程的两根，则________．14．新冠病毒在无防护下传播速度很快，已知有1个人感染了病毒，经过两轮传染后共有625个人感染了病毒，若每轮传染中平均一个人传染m个人，则可列方程为________________．15．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O按逆时针旋转，点B的对应点的坐标为________．16．如图所示，二次函数（）的图象的对称轴是直线，且经过点（0，2）．有下列结论：①；②；③（m为常数）；④和时函数值相等；⑤若，，在该函数图象上，则；⑥．其中错误的结论是________（填序号）．三、深思细答：（共86分）17．（8分）解方程：（1）．（2）；18．（8分）已知m是方程的一个根，（1）则代数式的值为________．（2）若，分别是是方程的两个根，求的值。19．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程的一个根是，求方程的另一个根．20．（10分）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，．（1）画出关于原点O成中心对称的图形；（2）P（a，b）是的AC边上一点，将平移后点P的对称点，请画出平移后的；（3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为________．21．（8分）已知抛物线C：的部分图象如图所示，顶点A（2，1），与x轴右侧交于点B（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）方程的解为________________；（3）当时，请观察函数图象，直接写出x的取值范围________．22．（10分）如图，中，，点O是内一点，将旋转后能与重合（1）旋转中心是点________；（2）若，旋转角是________度；（3）若，请判断的形状并说明理由．23．（10分）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）．（1）求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；（2）求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价-总成本-研发费用）；（3）公司决定每销售1件该产品就捐赠m元（）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围．24．（12分）根据以下素材，探索完成任务如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案？素材1长汀城区近期在主要桥梁上安放了救生圈。图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离水平面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示．某时测得水面宽20m，拱顶离水面最大距离为10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．素材2为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）素材图任务1确定桥拱形状根据图2，求抛物线的函数表达式．任务2拟定设计方案求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．任务3探究救生绳长度当水位达到最高时，上游有个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，，点P是BC上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转，得到PE．【初步感知】（1）在点P的运动过程中，试探究与的数量关系．【深入研究】（2）连接CE，在点P的运动过程中，试探究的值．【拓展延伸】（3）AE与CD相交于点F，在点P的运动过程中，试探究的周长是否为定值，若是，求出的周长；若不是，请说明理由．参考答案：题号12345678910答案CBBABBDCAB11．答案为：1．12．答案为：，．13．答案为：8．14．答案为：．15．答案为：16．答案为：①⑤．17．解：（1）∵，，∴∴方程有2个不相等的实数根∴即，，（2）∴或∴，18．（1）2019（2）由题意得：，19．解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根∴即：整理得：∴（2）∵方程有一个根是将代入方程得：∴则原方程为解得：，∴方程的另一个根是（学生用韦达定理解也可，相应给分）20．解：（1）如图所示，即为所求；（2）如图所示，即为所求．（3）对称中心的坐标为（2，1）．21．（1）由图象可知抛物线顶点A（2，1），∴设抛物线解析式为，抛物线与x轴右侧交于点（3，0）∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）抛物线对称轴为直线，B（3，0）的对称点是（1，0），∴方程的解为是，；故答案为：，；（3）抛物线与a轴的交点为（1，0）和（3，0），观察函数图象，当时，x的取值范围为故答案为22．解：（1）旋转中心是点B，（2）∵，∴，∴，∵将旋转后能与重合，∴，∴，∵旋转角是40度，故答案为：40；（3）是等边三角形，∵，，∴是等边三角形，∴，∵将旋转后能与重合，∴，∵，∴是等边三角形．23．（1）解：设y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式是，将（12，20），（32，0）代入得：，解得，∴；（2）解：根据题意得：，∵，∴时，S取最大值，最大值为101，答：，第一年年利润的最大值时101万元；（3）解：由（2）得出依题意，记扣除捐赠后的利润为W则∴，开口向下，对称轴∵公司决定每销售1件该产品就捐赠m元（）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，∴∴24．（12分）（1）如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为（），抛物线经过（10，0），（0，5），得，解得∴．（2）解：在，当，，解得或，∴点如图，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴成轴对称，∴左侧可挂3个，右面可挂3个，则此时最中间的两个救生圈的水平距离为，符合题意，∴桥面一共可以挂6个救生圈，最右侧位于点G上方1m处，即该点的坐标为（10，1）．（3）解：如图，当水位达到最高时，水位线为，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1