第四章-湍流流动

第四章湍流流动1一、关于湍流流动的基本概念当流体在高速流动时，流体质点不仅在流动方向上运动，而且在垂直于流动方向的方向上存在着运动。这造成质点的流线和迹线十分复杂，难以用数学式简单的描述。该流动状态称为湍流。1、临界雷诺准数当Re<2000时，流体呈层流，当Re>4000时，流体呈湍流。Rec=4000——定义为湍流流动的下限，即临界雷诺准数。2在湍流中任一点的流动参数（速度、压力），其大小和方向（速度）随时间在无规则的变动。严格的讲，湍流中根本不存在稳定状态。通过取一定时间段中的平均值（时均值）作为其参数值。X方向上的时均速度定义为：时均压力定义为：ux，P为瞬时速度及压力，是时间的函数。式中：，为时间θ内的时均值。2、时均量与脉动量3

瞬时参数值等于时均值与脉动值之和。如：——脉动速度分量;——脉动压强.根据以上定义，在时间θ内脉动值的平均值应为零，即：4同理：脉动值有正、负之分，其总和为零。通常所指的稳态流动是指平均值不随时间变化。53、湍流时的连续性方程对于不可压缩性流体，其连续性方程为：∴代入连续性方程中，有：6

时均速度，瞬时速度，脉动速度分量均符合连续性方程。经过推导整理可得：74.湍流时的微分动量衡算方程

——（1）上式两边同乘，有：——（2）又∵X方向的微分动量衡算方程8(1)+(2)得：上式可改写为：

——（3）

9或改写为：

——（4）

­——质量力——法向应力——x方向切向应力（作用面垂直于y）——x方向切向应力（作用面垂直于z）10对上式各项取时均值：②

①稳定流动，时均速度不随时间变化③11④同理：以上各式代入（4）式有：

12或：（——法向应力）（——切向应力）（——切向应力）——湍流时的x方向动量衡算方程13令：

及

湍流应力的定义式动量衡算方程为：

——（5）上述式中的“负”号表示

的方向相反，即脉动方向相反.14——湍流时，法向、切向应力的时均值。

（相当于层流时的应力值）——脉动速度产生的法向、切向应力时均值。

（或附加应力时均值）——湍流流动时x方向总法向应力。——涡流粘性产生的附加法向应力。——湍流时，总时均法向、切向应力的平均值。156.涡流粘度与混合长宗旨：为求解上述方程，必须确立雷诺应力（脉动速度分量）与时均速度梯度之间的关系。①湍流的统计学说。利用统计学的原理建立雷诺应力与时均速度之间的关系，这无疑是一条正确的途径，但到目前为止，统计学说还未达到直接、有效地解决工程实际问题的阶段。②半经验半理论的方法。该方法是在理论分析的基础上，先假设建立湍流时动量传递的机理及模型，然后结合实验结果，建立雷诺应力与时均速度之间的关系。尽管目前这类方法尚存在某些欠缺，但仍是解决实际工程问题的一条有效途径。在这方面普兰德（Plandtl）提出的混合长概念被普遍应用，又称为普兰德动量传递理论。16（１）涡流粘度（涡流运动粘度或表观运动粘度）波希涅斯克（Boussinesg）按照类似于层流时的牛顿粘性定律，建立了雷诺应力与时均速度之间的关系。对于平行湍流而言：总应力：

式中：——称为流体的湍流运动粘度（简称：涡流粘度）或表观运动粘度。

17①涡流黏度与牛顿黏性定律中的动力黏度所表达的含义相同，但本质不同。②涡流黏度不是流体的物性，而是与流道中流体所处的位置、流速及边壁的粗糙度等因素有关的，是表示湍流中流体脉动程度的一个参数。随时间和空间的变化很大，甚至有数量级的差别。除壁面附近外，涡流黏度远大于分子黏度。说明：③目前还没有纯理论能求算出来，而只能根据时均速度分布图，由实验确定。按照普兰德混合长的概念可以较好解释其意义。18（２）普兰德混合长（Plandtlmixinglength）普兰德从湍流扩散与气体分子扩散作用之间的类比提出了混合长理论。湍流动量传递理论有三点假设，普兰德混合长是其中的一条假设。定义：所谓普兰德混合长l，是指湍流流体中的流体微团保持原来x方向上的时均速度（动量）原样不变时所脉动的距离。①Plandtlmixinglength19设想某一瞬时，位于A点的流体微团，以y方向的脉动速度向上脉动，经过一段距离后到达B点，如果此时该流体微团仍保持x方向上的时均速度不变，则这个脉动距离称为普兰德混合长。

当质点由A脉动到达B点，由于其保持原速度不变，与B点所在的流体质点产生一个速度差，即：该速度差可看作是B点处的湍流脉动速度分量u’x

。20所以，一般而言u’xu’y的乘积为“负”。同理，在C点处较高速度的流体微团脉动至较低速度的D点处时，也有－

u’xu’y

。如图所示：A点在x方向上的时均速度（动量）总是小于B点处的，因此当A点处流体微团沿y方向向上脉动（脉动速度为u’y），经过一个混合长到达B点时，由于其仍保持原来的速度不变，将使B点处的流体微团产生一个向左的脉动速度－u’x。21

普兰德混合长在某种程度上与气体分子的平均自由程概念相类似，但两者之间有着本质的不同。气体分子自由程是由气体分子的热运动引起的，是分子尺度上的微观运动，且不受流体运动状态的影响；而混合长是由湍流运动引起来的流体微团脉动，是微团尺度上的微观运动，与分子尺度相比是宏观上的运动。其大小不超过流道的尺寸。22在一般情况下u’x与u’y总存在如下关系式：其中：C1为比例常数。或由于y方向上的脉动速度u’y是由x方向上的脉动度造成的，且x方向在B,D之间形成“空缺”的体积等于上、下两层流体（y方向）填补来的流体体积，从动量的角度来看，二者动量相当，所以二者的脉动速度也相当。即u’y与u’x具有相同的数量级。②关于数量级的问题：23③普兰德的第三点设想如图所示：流体微团在y方向上产生脉动速度u’y时，必然使流体微团在x方向上也产生脉动速度u’x

。普兰德认为：这个u’y的大小应该正比于y层流体和（y－l’）层或（y+l’）层流体层在x方向上的时均速度差：即：24也可以写成：式中：C2为比例系数。写成等式为：25④普兰德混合长根据上述三点设想，可以得出普兰德动量传递理论的表达式：∵∴26由于普兰德混合长l比涡流粘度ve好估计得多，所以湍流应力变得易于计算。l的大小至少应不大于流道的尺寸，所以的大小有一个大致的范围。大量的实验证明，在管道中，湍流速度分布下的普兰德混合长与速度无关，只取决于位置，有如下的关系式：此称为普兰德混合长。式中：或其中：y为离开壁面的距离；K为通用常数，等于0.4。即：27（3）湍流粘度与普兰德混合长之间的关系在此处看成力，其方向与的符号有关。（涡流粘度式）∵对于一维流动又∵——(1)——（2）28如图所示，A点微团脉动至B点时，为“正”，，A点微团受到的剪应力与x同向为正号；A点微团脉动至C点时：为“