2024-2025学年新教材高中数学第6章统计4用样本估计总体数字特征4.1样本的数字特征学案含解析北师大版必修第一册

PAGE§4用样本估计总体的数字特征4.1样本的数字特征学习目标核心素养1.会求样本的众数、中位数、平均数、方差、标准差．(重点)2．能用样本的数字特征估计总体的数字特征，并作出合理说明和决策．(难点)1．通过对数据特征数的计算，培育数学运算素养．2．通过利用数据的特征数估计总体分布，培育数据分析素养．1．众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：把一组数据按从小到大的依次排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数称为这组数据的中位数．(3)平均数：假如n个数x1，x2，…，xn，那么eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)称为这n个数的平均数．2．方差(1)公式：s2＝eq\f(（x1－\x\to(x)）2＋（x2－\x\to(x)）2＋…＋（xn－\x\to(x)）2,n)．(2)意义：方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度．3．标准差s＝eq\r(s2)＝eq\r(\f(（x1－\x\to(x)）2＋（x2－\x\to(x)）2＋…＋（xn－\x\to(x)）2,n))．思索：1.众数、中位数和平均数各有什么优点和缺点？提示：三种数字特征的优缺点比较：名称优点缺点众数①体现了样本数据的最大集中点；②简洁计算①它只能表达样本数据中很少的一部分信息；②无法客观地反映总体的特征中位数①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；②简洁计算，便于利用中间数据的信息对极端值不敏感平均数代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般状况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息任何一个数据的变更都会引起平均数的变更．数据越“离群”，对平均数的影响越大2．标准差、方差的意义是什么？提示：标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．c＞b＞aD[将数据从小到大排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，则平均数a＝eq\f(1,10)(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，中位数b＝15，众数c＝17，明显a＜b＜c.]2．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成果分布如图，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成果的标准差，则有()甲乙丙A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1D[所给图是成果分布图，平均分是75分，在题图甲中，集中在75分旁边的数据最多，题图丙中从50分到100分匀称分布，全部成果不集中在任何一个数据旁边，题图乙介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.]3．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．6[eq\f(4＋6＋5＋8＋7＋6,6)＝6.]众数、中位数、平均数的简洁运用【例1】下面是某快餐店全部职位一周的收入表：老板大厨二厨选购 员杂工服务生会计6000元900元700元800元640元640元820元(1)计算全部职位的周平均收入；(2)这个平均收入能反映全部职位的周收入的一般水平吗？为什么？(3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表该店职位的周收入的水平吗？[解](1)周平均收入eq\x\to(x)1＝eq\f(1,7)(6000＋900＋700＋800＋640＋640＋820)＝1500(元).(2)这个平均收入不能反映全部职位的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特殊高，这是一个异样值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．(3)去掉老板的收入后的周平均收入eq\x\to(x)2＝eq\f(1,6)(900＋700＋800＋640＋640＋820)＝750(元).这能代表该店职位的周收入水平．利用样本数字特征进行决策时的两个关注点(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在很多较大的极端值；反之，说明数据中存在很多较小的极端值．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．在一次中学生田径运动会上，参与男子跳高的17名运动员的成果如表所示：成果(单位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成果的众数、中位数与平均数．[解]在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.题表里的17个数据可看成是按从小到大的依次排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是eq\x\to(x)＝eq\f(1,17)(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝eq\f(28.75,17)≈1.69(m).所以17名运动员成果的众数、中位数、平均数依次为1.75m，1.70m，1.69m．标准差、方差的计算及简洁应用【例2】甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)依据计算结果推断哪台机床加工零件的质量更稳定．[解](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＞seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，所以乙机床加工零件的质量更稳定．标准差、方差的意义(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞).标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为eq\x\to(x)A和eq\x\to(x)B，样本标准差分别为sA和sB，则()A．eq\x\to(x)A>eq\x\to(x)B，sA>sB B．eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B，sA>sBC．eq\x\to(x)A>eq\x\to(x)B，sA<sB D．eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B，sA<sBB[eq\x\to(x)A＝eq\f(1,6)(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，eq\x\to(x)B＝eq\f(1,6)(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝eq\f(35,3)≈11.67.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(A))＝eq\f(1,6)[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(B))＝eq\f(1,6)[(15－eq\f(35,3))2＋(10－eq\f(35,3))2＋(eq\f(25,2)－eq\f(35,3))2＋(10－eq\f(35,3))2＋(eq\f(25,2)－eq\f(35,3))2＋(10－eq\f(35,3))2]≈3.47.故eq\x\to(x)A＜eq\x\to(x)B，sA＞sB.]数据的数字特征的综合应用[探究问题]1．对一组数据进行统计分析，应当从哪几个方面进行？提示：平均数反映数据的平均水平，用众数反映数据的最大集中点，用中位数反映数据的集中趋势和一般水平，用标准差或方差反映数据的离散程度．2．对比两组数据时，要从哪几个方面进行？提示：从众数、中位数、平均数和方差等几个方面．【例3】在一次科技学问竞赛中，某学校的两组学生的成果如下表：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212请依据你所学过的统计学问，推断这两个组在这次竞赛中的成果谁优谁劣，并说明理由．[思路点拨]分别求出这两组数据的众数、中位数、平均数和方差，从这几个方面进行统计分析．[解](1)甲组成果的众数为90，乙组成果的众数为70，从成果的众数比较看，甲组成果好些．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq\f(1,50)×4000＝80，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq\f(1,50)×4000＝80.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))<seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，∴甲组成果较乙组成果稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成果的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成果在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成果在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成果较好．(4)从成果统计表看，甲组成果大于等于90分的有20人，乙组成果大于等于90分的有24人，所以乙组成果集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成果较好．1．假如从甲、乙两组学生中选择一组代表学校外出参与全市的科技学问竞赛，依据往年的竞赛成果，该学校的竞赛水平均高于其它参赛学校，假如你是竞赛教练员，请问你选择哪一组学生代表学校参与竞赛？为什么？[解]选择甲组学生代表学校参与竞赛．因为甲、乙两组的学生的平均成果相同，都是80，且往年的竞赛成果，该学校的竞赛水平均高于其它参赛学校，所以要想稳拿冠军，就须要参赛学生稳定发挥就可以了，因为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))<seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，所以甲组成果较乙组成果稳定，故选择甲组．2．假如从甲、乙两组学生中选择一组代表学校外出参与全市的科技学问竞赛，依据往年的竞赛成果，该学校的竞赛水平均不如其它参赛学校，假如你是竞赛教练员，请问你选择哪一组学生代表学校参与竞赛？为什么？[解]选择乙组学生代表学校参与竞赛．因为甲、乙两组的学生的平均成果相同，都是80，且照往年的竞赛成果，该学校的竞赛水平均不如其它参赛学校，要想获得冠军只有选择发挥不很稳定的一组参与竞赛才有可能，因为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))<seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，所以乙组成果不稳定，又乙组中高分人数较多，所以选择乙组．数据分析的要点(1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去确定哪一组的成果好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．(2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是依据须要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是依据提出的标准而定的．1．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．2．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性，用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案．1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的． ()(2)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据． ()(3)若变更一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生变更． ()[提示](1)错误．一个样本的平均数和中位数是唯一的．若数据中有两个或两个以上出现得最多，且出现次数一样多，则这些数据都叫众数，若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数，可见一个样本的众数可能多个，也可能没有．(2)错误．样本的平均