2024-2025学年高中数学第三章概率3.3.1几何概型学案含解析新人教A版必修3

PAGE3．3几何概型3．3.1几何概型[目标]1.了解几何概型与古典概型的区分；2.理解几何概型的定义及其特点；3.会用几何概型的概率计算公式求简洁的几何概型的概率．[重点]几何概型的特点及概念的理解．[难点]应用几何概型的概率公式求概率．学问点一几何概型的概念[填一填]假如每个事务发生的概率只与构成该事务区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．几何概型的特点如下：(1)无限性，即在一次试验中，基本领件的个数是无限的；(2)等可能性，即每个基本领件发生的可能性是均等的．[答一答]1．古典概型和几何概型有何异同点？提示：相同点：古典概型与几何概型中每一个基本领件发生的可能性都是相等的．不同点：古典概型要求随机试验的基本领件的总数必需是有限多个；几何概型要求随机试验的基本领件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何学问有关．2．下面两个事务是几何概型吗？(1)一个人骑车到路口，恰好红灯；(2)一个人种一颗花生，发芽．提示：(1)满意无限性和等可能性，是几何概型；(2)种一颗花生全部可能出现的结果只有两种，发芽和不发芽，不满意无限性，发芽与不发芽的概率不相等，不满意等可能性，故不是几何概型．学问点二几何概型的概率公式[填一填]在几何概型中，事务A的概率计算公式为P(A)＝eq\f(构成事务A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).[答一答]3．几何概型的概率计算与构成事务的区域形态有关系吗？提示：几何概型的概率只与构成事务的区域的长度(面积或体积)有关，而与构成事务的区域形态无关．4．概率为0的事务是否肯定是不行能事务？概率为1的事务是否肯定会发生？提示：在几何概型中，若事务A的概率P(A)＝0，则A不肯定是不行能事务，如：事务A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不行能事务；同样地，若事务A的概率P(A)＝1，则A也不肯定是必定事务．类型一几何概型的推断[例1]推断下列概率模型，为几何概型的是________．①在区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率；②在区间[－10,10]内任取一个数，求取到肯定值不大于1的数的概率；③在区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1cm的概率．[解析]①中概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]有无限多个点，且区间内每个数被取到的机会相等；②中概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满意无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满意等可能性)；③中概率模型不是几何概型，因为在区间[－10,10]内的整数只有21个(是有限的)，不满意无限性特征；④中概率模型是几何概型，因为在边长为4cm的正方形和半径为1cm的圆内均有多数个点，且这两个区域内的任何一个点被投到的可能性相等，故满意无限性和等可能性．[答案]①②④推断一个概率模型是否为几何概型，通常只须要考虑所给的试验中基本领件的个数是否是无限的即可，这与古典概型的考查点不一样，同时要留意，基本领件的“等可能性”的推断也是不能忽视的.[变式训练1]推断下列试验是否为几何概型，并说明理由．(1)明天某个市区降水的概率；(2)设A为圆周上肯定点，在圆周上等可能地任取一点与之连接，求弦长超过半径的概率．解：(1)不是几何概型，因为其不具有等可能性；(2)是几何概型，因为其具有无限性与等可能性，符合几何概型的特征．类型二几何概型的概率计算命题视角1：“长度型”几何概型[例2](1)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满意|x|≤m的概率为eq\f(5,6)，则m＝________.(2)公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率．[分析]乘客在0～10分钟之间的每一时刻到达，都是一个基本领件，基本领件有无穷多个，而每一个基本领件的发生都是等可能的，符合几何概型的条件．[解析](1)由几何概型知：eq\f(5,6)＝eq\f(m－－2,6)⇒m＝3.(2)解：乘客在0～10分钟之间的任何一个时刻到达车站是等可能的，因此本题属于几何概型．设事务A为“乘客候车时间不超过6分钟”，汽车每隔10分钟一趟，若事务A发生，则乘客必需在[4,10]时间段内到达汽车站，所以P(A)＝eq\f(10－4,10)＝eq\f(3,5).[答案](1)3(2)见解析解答此类问题的关键是将全部基本领件及事务A包含的基本领件转化为相应长度，进而求解.此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.[变式训练2]在区间[－π，π]上随机选取一个实数x，则事务“sinx≥eq\f(1,2)”发生的概率为eq\f(1,3).解析：解三角不等式sinx≥eq\f(1,2)在区间[－π，π]的解集为：[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]，设“在区间[－π，π]上随机选取一个实数x，则事务‘sinx≥eq\f(1,2)’”事务为A，则此事务为几何概型中的线段型，则P(A)＝eq\f(\f(5π,6)－\f(π,6),π－－π)＝eq\f(1,3).命题视角2：“角度型”几何概型[例3]如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM<AC的概率．[解]在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°.设A＝{在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM<AC}．则全部可能结果的区域角度为90°，事务A的区域角度为67.5°，∴P(A)＝eq\f(67.5,90)＝eq\f(3,4).在解答本题的过程中，易出现用线段来代替角度作为区域度量来计算概率的错误，导致该种错误的缘由是忽视了基本领件的形成过程.[变式训练3]如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．解：设事务A为“∠AOC和∠BOC都不小于30°”，则事务A表示的区域角度为30°，全部可能结果的区域角度为90°，所以P(A)＝eq\f(30,90)＝eq\f(1,3).命题视角3：“面积型”几何概型[例4](1)已知长方形ABCD中，AB＝4，BC＝1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为________．(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，求满意x2＋y2≤4的概率．[解析](1)依据几何概型得：取到的点P到M的距离小于1的概率为eq\f(d,D)＝eq\f(半圆的内部面积,矩形的面积)＝eq\f(\f(1,2)×π×12,4×1)＝eq\f(π,8).(2)解：在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，充溢的区域是边长为4的正方形区域，其中满意x2＋y2≤4的是图中阴影区域(如图所示)，S阴＝π×22＝4π，所以P＝eq\f(4π,16)＝eq\f(π,4).[答案](1)eq\f(π,8)(2)见解析解与面积有关的几何概型的关键是找出或构造出随机事务所对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，进而将事务的概率转化为面积的比值.[变式训练4](1)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(B)A.eq\f(1,4) B.eq\f(π,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(π,4)解析：设正方形边长为2，则圆半径为1，则正方形的面积为2×2＝4，圆的面积为π×12＝π，图中黑色部分的面积为eq\f(π,2)，则此点取自黑色部分的概率为eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).(2)如图，矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒500粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为230粒，由此可以估计出阴影部分的面积约为(C)A.eq\f(16,5) B.eq\f(27,5)C.eq\f(23,5) D.eq\f(32,5)解析：由几何概型的概率公式，得eq\f(S,10)＝eq\f(230,500)，所以阴影部分的面积约为eq\f(23,5)，故选C.命题视角4：“体积型”几何概型[例5]已知半径为1的球在棱长为3的正方体内运动，求正方体内任一点可作为球心的概率．[解]如图所示，正方体的棱长为3，P，Q，R，S分别是所在棱的三等分点．一个半径为1的球在这个正方体内运动，当球与正方体的侧面BCC1B1相切时，球心在截面PQRS上，向右不行能再超过这个截面了．正方体共有六个侧面，球心可以到达的位置都是这种状况．球心的改变区域是以正方体A1B1C1D1­ABCD的对称中心为对称中心、六个面分别与正方体A1B1C1D1­所以所求概率为P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).求解与体积有关的几何概型问题，应分清题中的条件，提炼出几何体的形态，并找出总体积是多少以及所求的事务占有的几何体是什么形态，并计算出体积.[变式训练5](1)在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下视察，则发觉大肠杆菌的概率为0.005.(2)已知半径为2eq\r(3)的球内有一内接正方体，若在球内任取一点，则该点在正方体内的概率为eq\f(2\r(3),3π).解析：(1)大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是随意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升有大肠杆菌为事务A，则事务A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P(A)＝eq\f(2,400)＝0.005.(2)设内接正方体的棱长为a，则有eq\r(3)a＝4eq\r(3)，∴a＝4，由题意得概率为eq\f(V正方体,V球)＝eq\f(43,\f(4,3)π·2\r(3)3)＝eq\f(2\r(3),3π).1．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率是(D)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)解析：记“射线OA落在∠xOT内”为事务A，射线OA落在直角坐标系的每个位置的可能性是一样的，因为周角是360°，∠xOT＝60°，所以P(A)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).故选D.2．已知FH是圆O的直径，点G是圆O上不同于F、H的动点，将一颗豆粒随机地扔到圆内，用A表示事务“豆子落到三角形GFH内”，则P(A)的最大值等于(B)A.eq\f(4,π) B.eq\f(1,π)C．2 D.eq\f(2,π)解析：设圆O的半径为R，当△GFH为等腰直角三角形时面积最大，为eq\f(1,2)(eq\r(2)R)2＝R2.所以P(A)的最大值为eq\f(1,π).故选B.3．在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为(D)A.eq\f(6,π) B.eq\f(3,2)πC.eq\f(3,π) D.eq\f(2\r(3),3π)解析：由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝eq\f(\r(3),2)，球的体积V2＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3),2)π，则此点落在正方体内部的概率P＝eq\f(V1,V2)＝eq\f(2\r(3),3π).4．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为eq\f(1,4).解析：若方程有实根，则Δ＝1－4n≥0，即n≤eq\f(1,4)，又n∈(0,1)，所以所求概率为eq\f(\f(1,4),1)＝eq\f(1,4).5．由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x－2≤0))确定的平面区域记为Ω1，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x＋y≥－2))确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，求该点恰好在Ω2内的概率．解：由题意作图，如图所示，Ω1的面积为eq\f(1,2)×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7,4)，则所求的概率P＝eq\f(\f(7,4