第03讲 二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质（原卷版）

第03讲二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质【知识梳理】一、二次函数与之间的相互关系1.顶点式化成一般式

从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．2.一般式化成顶点式．对照，可知，．∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．要点诠释：1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

二、二次函数的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法.其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．要点诠释：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，三、二次函数的图象与性质1.二次函数图象与性质函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值，2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bab＞0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac＞0与x轴有两个交点b2-4ac＜0与x轴没有交点四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点诠释：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．【考点剖析】题型一、二次函数的图象与性质例1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．【变式】把一般式化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.例2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）A． B． C． D．例3.抛物线与y轴交于(0，3)点：(1)求出m的值并画出这条抛物线；(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；(3)x取什么值时，抛物线在x轴上方？(4)x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？【变式】某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x…﹣2﹣1012…y…﹣11﹣21﹣2﹣5…由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）-11B.-2C.1D.-5题型二、二次函数的最值例4．求二次函数的最小值.【变式】用总长60m的篱笆围成矩形场地．矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化．当L是多少时，矩形场地的面积S最大？例5.分别在下列范围内求函数的最大值或最小值．(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3．题型三、二次函数性质的综合应用例6．已知二次函数的图象过点P(2，1)．（1）求证：；（2）求bc的最大值．【变式】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）1个B.2个C.3个D.4个例7.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤例8.一条抛物线经过A（2，0）和B（6，0），最高点C的纵坐标是1．（1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P(除点A、B、C、E外)，先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线的距离；(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律．【变式】已知二次函数（其中a>0，b>0，c<0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．以上说法正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【过关检测】一、单选题1．（2023·浙江温州·统考二模）将二次函数的图象向左平移m个单位后过点，则m的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023春·浙江·九年级阶段练习）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江温州·统考二模）若把二次函数（）的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，此二次函数图象的对称轴是（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线4．（2023春·浙江·九年级阶段练习）已知抛物线（是常数，且）过点如果当时，则；若时，则；则的值是（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）其中正确结论有（

）个A．2 B．3 C．4 D．56．（2023·浙江杭州·统考二模）已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（

）①当时，函数图象的顶点坐标为；②当m≠0时，函数图象总过定点：③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；④若函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④二、填空题7．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）在同一坐标系中画出函数和的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质______．8．（2019秋·浙江·九年级统考阶段练习）抛物线的图象如图，当x____________时，y0．9．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）若将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的函数表达式为，则h=______；k=______．10．（2023秋·浙江·九年级期末）二次函数，当x满足时，函数的最大值为，则m的值为__________.11．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市锦绣中学校考期中）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是____．12．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是_______．13．（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）二次函数的最大值是___________，最小值是___________．14．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在之间（包含端点），则的取值范围为___________．三、解答题15．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）抛物线与y轴交点坐标是．(1)求出m的值并画出这条抛物线；(2)求抛物线与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；(3)当x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？16．（2023·浙江温州·统考二模）已知抛物线经过点，．(1)求抛物线解析式及对称轴．(2)关于该函数在的取值范围内，有最小值，有最大值1，求m的取值范围．17．（2022·模拟预测）已知二次函数．(1)用配方法将此函数化为的形式，并直接写出该函数图象的顶点坐标；(2)画出此函数的图象，并结合图象直接写出时的取值范围．18．（2023·浙江嘉兴·统考一模）已知二次函数的图象经过点．(1)求该函数解析式．(2)将函数图象向下平移1个单位，再向左平移n个单位后，经过点，求n的值．(3)若点在该函数图象上，当时，函数的最小值大于，请求出m的取值范围．19．（2023·浙江丽水·统考一