第2章 有理数的运算全章复习与测试（原卷版）

第2章有理数的运算全章复习与测试【知识梳理】一．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．二．有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．三．有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．（2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．四．有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．五．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•＝1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．六．有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•（b≠0）（2）方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．七．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．八．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．九．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．十．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．【考点剖析】一．有理数的加法（共6小题）1．（2022秋•兰溪市期末）比﹣2大1的数（）A．﹣3 B．﹣1 C． D．22．（2022秋•汉阳区校级期末）若x的相反数是2，|y|＝5，则x+y的值为（）A．﹣7 B．7或3 C．7或﹣3 D．3或﹣73．（2023•秀洲区校级二模）计算：（﹣2）+3的结果是（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．54．（2022秋•长兴县月考）若两个有理数A、B满足A+B＝8，则称A、B互为“吉祥数”．如5和3就是一对“吉祥数”．回答下列问题：（1）求﹣5的“吉祥数”；（2）若3x的“吉祥数”是﹣4，求x的值；（3）x和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由．5．（2022秋•新昌县期中）设计一个可用加法计算的实际问题，要求用一个正数和一个负数的加法来解决，写出算式并说明结果的实际意义．6．（2021秋•越城区期中）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼．（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？二．有理数的减法（共2小题）7．（2022秋•鹿城区期中）计算1﹣3的结果是（）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣28．（2021秋•吴兴区期中）阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段AB＝1＝0﹣（﹣1）；线段BC＝2＝2﹣0；线段AC＝3＝2﹣（﹣1）问题（1）数轴上点M、N代表的数分别为﹣9和1，则线段MN＝；（2）数轴上点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，则线段EF＝；（3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为m，求m．三．有理数的加减混合运算（共5小题）9．（2020秋•吴兴区校级期中）下列各式可以写成a﹣b+c的是（）A．a﹣（+b）﹣（+c） B．a﹣（+b）﹣（﹣c） C．a+（﹣b）+（﹣c） D．a+（﹣b）﹣（+c）10．（2022秋•衢江区校级月考）下列各式中与2﹣3+4相等的是（）A．2﹣（+3）﹣（+4） B．2﹣（+3）﹣（﹣4） C．2+（﹣3）+（﹣4） D．2+（﹣3）﹣（+4）11．（2022秋•衢江区校级月考）设[a]表示取a的整数部分，例如：．（1）求的值；（2）令{a}＝a﹣[a]，求．12．（2022秋•椒江区校级月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；①|7﹣21|＝；②||＝；（2）用合理的方法计算：||+||﹣|﹣|；（3）用简单的方法计算：|﹣1|+|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+||．13．（2022秋•南湖区校级月考）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离AB＝|a﹣b|，利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和﹣1的两点之间的距离为．（2）数轴上表示x和﹣1两点之间的距离为．若x表示一个有理数，且﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝．（3）数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c．其中AB＝2020，BC＝1000，如图2所示．①若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算a+b+c的值．②若O是原点，且OB＝18，求a+b﹣c的值．四．有理数的乘法（共4小题）14．（2020秋•温州月考）计算8×（﹣）的结果是（）A．16 B．﹣16 C．﹣4 D．415．（2022秋•温州期末）计算：﹣＝．16．（2022秋•西湖区校级期中）已知：|a|＝2，|b|＝5，若|a﹣b|＝a﹣b，则ab＝17．（2022秋•湖北期末）如果4个不等的偶数m，n，p，q满足（3﹣m）（3﹣n）（3﹣p）（3﹣q）＝9，那么m+n+p+q等于．五．有理数的除法（共4小题）18．（2012秋•台州期中）计算：的结果是（）A．﹣8 B．8 C．2 D．﹣219．（2022秋•余杭区校级月考）（1）÷（﹣）÷（﹣0.25）；（2）﹣99×34．20．（2022秋•杭州月考）（1）；（2）﹣99×34．21．（2022秋•越城区期中）阅读下题解答：计算：．分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式＝﹣．根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．六．有理数的乘方（共3小题）22．（2022秋•永康市期中）﹣32的值等于（）A．﹣9 B．9 C．6 D．﹣623．（2019秋•萧山区期中）计算：23＝．24．（2022秋•宁波期中）已知|a|＝7，b2＝4，c3＝﹣8，（1）若a＜b，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．七．非负数的性质：偶次方（共2小题）25．（2020秋•金东区校级月考）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则ab＝．26．（2022秋•兰溪市期中）已知（a﹣2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）a+b的值．八．有理数的混合运算（共21小题）27．（2022秋•杭州期末）计算：（1）15+（﹣13）+18；（2）﹣10.25×（﹣4）；（3）﹣12÷4×3；（4）﹣23×3+2×（﹣3）2．28．（2022秋•南湖区校级月考）简便计算：（1）（﹣）+（﹣3.75）+（+3）+（﹣）．（2）（﹣+）×（﹣30）．29．（2022秋•青田县期中）小明有五张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题．（1）从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是．（2）从中抽出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，（例如﹣3×（﹣5﹣3+0）＝24与（﹣5﹣3+0）×（﹣3）＝24视为同一种方法），请你再写出两种不同的运算式子．30．（2022秋•青田县期中）规定一种新的运算：a★b＝a×b﹣a﹣b+1，例如3★（﹣4）＝3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）+1．请计算下列各式的值：（1）2★5；（2）（﹣2）★（﹣5）．31．（2022秋•鹿城区期中）小明在计算“+﹣”给出了以下解答：解：记S＝+﹣．因为20S＝20（+﹣）＝20×+20×﹣20×＝10+12﹣25＝﹣3．所以S＝﹣，即+﹣＝﹣．请你模仿小明的计算方法计算：﹣+．32．（2022秋•杭州期中）出租车司机小张某天上午某个时段的营运全是在东西走向的文一路上进行．如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车里程（单位：km）如下：+5，﹣3，+6，﹣7，+6，−2，﹣5，+4，+6，﹣8（1）将第几名乘客送到目的地时，小张刚好回到上午出发点？（2）将最后一名乘客送到目的地时，小张距上午出发点多远？在出发点的东面还是西面？（3）若出租车的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则小张在这天上午这个时段一共收入多少元？33．（2022秋•仙居县期末）计算：（1）﹣2+3﹣5；（2）（﹣1）2×5﹣（﹣2）3÷4．34．（2021秋•金华期末）计算：（1）﹣8+4÷（﹣2）；（2）﹣2÷[（﹣2）﹣（﹣4）]．35．（2022秋•浦江县月考）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：2③＝，（﹣）⑤＝；深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（2）试一试：仿照如图的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝；5⑥＝；（﹣）⑩＝．（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于；（4）算一算：24÷23+（﹣16）×2④．36．（2022秋•浦江县月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求2x2+的值．37．（2022秋•东阳市期中）计算：．38．（2022秋•鄞州区期中）已知a、b互为相反数（a，b不为0），c、d互为倒数，|m|＝2，且m＞0，求2a+2b+﹣（cd）2022﹣3m的值．39．（2022秋•宁海县校级期中）（1）若用A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示：化简：|c+a|﹣|a+b|﹣|c﹣b|；（2）有理数a、b、m、n、x满足下列条件：a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为最小的正整数，求2022（m+n）+2021x3﹣2020ab的值．40．（2022秋•余姚市月考）对有理数a，b，定义运算a∀b＝，请计算（﹣2）∀[（﹣1）∀3]的值．41．（2022秋•浦江县月考）计算：（1）﹣11﹣（﹣8）+（﹣13）+12；（2）；（3）；（4）；（5）．42．（2021秋•武义县期末）（1）下面计算对吗？若不对，哪一步开始错，请说明理由，并改正．74﹣22÷70＝74﹣4÷70……．①＝70÷70……．②＝1…．③（2）用简便方法计算，在括号内填乘法运算律．＝（）＝（乘法结合律）＝＝．43．（2022秋•青田县期中）计算下列各题：（1）（﹣8）﹣（﹣5）+（﹣9）；（2）﹣32﹣50÷（﹣5）2﹣1．44．（2022秋•镇海区校级期中）对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4．（1）填空：（0]＝；（2022]＝；（﹣]＝；（2）若a，b都是整数，且（a﹣1]和（b+2]互为相反数，求代数式（a+b]2的值．45．（2022秋•桐乡市期中）下面是亮亮同学计算一道题的过程：15÷5×（﹣3）﹣6×（）＝15÷（﹣15）﹣6×+6×……①＝﹣1﹣9+4……②＝﹣6……③（1）亮亮计算过程从第步出现错误的；（填序号）（2）请你写出正确的计算过程．46．（2022秋•鹿城区期中）有6筐卷心菜，每筐以20千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图：回答下列问题；（1）与基准质量比较，6框卷心菜的总计超过或不足多少千克？（2）若卷心菜每千克售价5.8元，则出售这6筐卷心菜可卖多少元？47．（2021秋•瑞安市期中）王红有5张写着以下数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各题：（1）从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字乘积最大，乘积的最大值为．（2）从中抽取除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除等混合运算，使其结果等于24，每个数字只能用一次，请写出两种不同的符合要求的运算式子．九．近似数和有效数字（共3小题）48．（2022秋•东阳市期中）由四舍五入法得到的近似数1.20万，对其描述正确的是（）A．1.20万精确到十分位 B．1.20万精确到百分位 C．1.20万精确到万位 D．1.20万精确到百位49．（2021秋•临海市月考）对于近似数3.07万，下列说法正确的是（）A．精确到0.01 B．精确到百分之一 C．精确到万位 D．精确到百位50．（2022秋•鹿城区校级期中）近似数5.20精确到位．一十．科学记数法—表示较大的数（共2小题）51．（2022秋•南浔区期末）12月4日晚上，神舟14号飞船即将从空间站返回东风着陆场．中国的空间站离地球的距离约320000米．320000用科学记数法表示为（）A．32×104 B．0.32×106 C．3.2×105 D．32×10552．（2022秋•临海市期末）我国倡议的“一带一路”惠及约为4400000000人，用科学记数法表示该数为．【过关检测】一、单选题1．下列运算结果为1的是（

）A．|-3|-|+4| B．|(-3)-(-4)| C．|-3|-|-4| D．|+3|-|-4|2．下列计算中正确的是（

）A． B．C． D．3．下列计算结果为负数的是（

）A． B． C． D．4．小红的妈妈买了4筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为+0.25，﹣1，+0.5，﹣0.75，小红快速准确地算出了4筐白菜的总质量为（）A．﹣1千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克5．已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a、b同号D．a、b异号，且正数的绝对值较大6．如果|a+2|+(b－1)2=0，那么(a+b)2019的值等于()．A．－1 B．－2019 C．1 D．20197．在数5，－2，7，－6中，任意三个不同的数相加，其中最小的和是(

)A．10 B．6 C．－3 D．－18．若，则的值是A． B．48 C．0 D．无法确定9．如果ab≠0，那么的值不可能是（

）A．0

B．1

C．2

D．-210．为求1＋2＋22＋23＋…＋22008的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22008，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22009，因此2S－S＝22009－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22008＝22009－1．仿照以上推理计算出1＋3＋32＋33＋…＋32018的值是(

)A．32019－1 B．32018－1 C． D．二、填空题11．我市某日的气温是﹣4℃～5℃，则该日的温差是________℃．12．定义一种新运算：a⊗b＝b2－ab，如：1⊗2＝22－1×2＝2，则(－1⊗2)⊗3＝________.13．已知四个数：-2，-3，4，-1，任取其中两个数相乘，所得的积的最小值是_______．14．某种