椭圆的标准方程课件高二上学期数学人教A版选择性

选必第一册椭圆的标准方程普宁二实XXX2024.10.2801学习目标1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程．02创设情景03新知探究

前面我们用坐标法研究了直线、圆及它们的位置关系.生产、生活中还有许多非常有用、有趣、我们还不太熟悉的曲线需要研究.

问题1用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆.如果改变截面与圆锥的轴所成的角，会得到怎样的截口曲线呢？课本P104

如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线．我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线（conicsections）．03新知探究

圆锥曲线的发现与研究始于古希腊.当时人们用纯几何的方法研究这些与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的性质的自然推广.17世纪，笛卡尔发明了坐标系，人们开始借助坐标系，运用代数方法研究圆锥曲线.追问1：如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐标法研究直线与圆的基础上，猜想研究的大致思路与构架吗？现实背景曲线的概念曲线的方程曲线的性质追问2：椭圆，在科研、生产和人类生活中随处可见，具有广泛的作用.那么，到底什么是椭圆呢？实际应用

追问：在这一过程中移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？︱MF1︳+︱MF2︳=绳长绳长>|F1F2|03新知探究03新知探究问题3你能用精确的数学语言刻画椭圆吗？

我们把平面内与两个定点F1，F2

的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）.这两个定点叫做椭圆的焦点（focus），两焦点的距离叫做焦距（focusdistance）,焦距的一半称为半焦距.

椭圆大本P97知识点1要填写圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.

(1)已知点M到两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离之和是定值2，则动点M的轨迹是(

)A．一个椭圆 B．线段F1F2C．线段F1F2的垂直平分线 D．不存在大本例1大本P97B题型一 椭圆的定义03新知探究问题3你能用精确的数学语言刻画椭圆吗？

我们把平面内与两个定点F1，F2

的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）.这两个定点叫做椭圆的焦点（focus），两焦点的距离叫做焦距（focusdistance）,焦距的一半称为半焦距.

椭圆

动点M的轨迹是线段F1F2

；动点M没有轨迹A大本例1大本P97(2)已知P，Q为椭圆上两点，且F1，F2为椭圆的两个焦点，当|PF1|＝4时，|PF2|＝8.则Q在运动过程中，|QF1|·|QF2|的最大值为________．36跟踪训练题型一 椭圆的定义03新知探究

问题4：遵循解析几何研究几何图形的基本思路，在了解椭圆的概念后，应建立椭圆的方程，你能猜想建立椭圆方程的大致步骤吗？请尝试建立椭圆的方程.追问1：利用坐标法求椭圆方程的步骤是什么？根据椭圆的几何特征建立适当的直角坐标系—明确椭圆上的点满足的几何条件—将几何条件转化为代数表示列出方程—化简方程—检验方程．︳F1F2︱=2c︱MF1︳+︱MF2︳=2a>2c追问2：如何选取坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？追问2：如何选取坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？

追问3如何用坐标表示椭圆上点的所满足的条件？P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0).

②从简化、美化的角度出发,我们希望继续优化方程：由椭圆的定义可知，2a>2c,即a>c,所以①则①可化为：b=|OB1|=|OB2|（-a,0）追问4:我们知道c=|OF1|=|OF2|，为半焦距。那么a与b分别代表什么？OxyF1F2MA1A2B1B2a=|OA1|=|OA2|从上述探究过程可以看到:（1）椭圆上任一点的坐标都满足方程②；（2）以方程②的解(x，y)为坐标的点都在椭圆上.②特征：方程的左边是平方和，右边是1，“像”直线方程的截距式。标准方程：体现数学式子的简洁美、对称美，内在的每一个字母a,b都赋予它深刻的含义，最能直观体现参数几何意义。椭圆的长轴|A1A2|椭圆的短轴|B1B2|（a,0）（0,-b）（0,b）课本P106思考=|B1F2|03新知探究如果椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，a,b的意义同上，那么椭圆的标准方程又是什么呢？问题5：

xyF1F2MOxyF1F2MO焦点在x轴焦点在y轴表示中心为原点，焦点在y轴上的椭圆，两个焦点分别为F1(0,c),F2(0,-c).其中：03新知探究问题5：对于一个具体的椭圆方程，怎么判断它的焦点在哪条轴上呢？

(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)

a2＝b2＋c2分母哪个大，焦点就在哪个轴上大本P98知识点204课堂练习14题型二 椭圆的标准方程追问：a=____，b=____，c=____;焦点坐标为___________________;焦距＝_____。1068（8，0），（-8，0）16题型二

椭圆的标准方程大本例2大本P98题型二

椭圆的标准方程题型二

椭圆的标准方程大本例2[分析] 焦点在x轴还是y轴？例题小结1．求椭圆的标准方程的需要几个条件？两个，默认已知的条件2．已知椭圆上一点的坐标及焦点坐标求椭圆的标准方程常用两种方法：定义法、待定系数法．思维提升

例题小结04课堂练习题型三

椭圆定义及标准方程的应用问题6：

点P与椭圆C的位置关系有__________、________、___________．点P在椭圆外点P在椭圆内点P在椭圆上大本例3B大本P99CD题型三

椭圆定义及标准方程的应用(-∞,-1)∪(-1,0)03新知探究

椭圆中的焦点三角形大本P100考点1与焦点三角形有关的长度与角度问题1．如图所示，椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成的△PF1F2，通常称其为焦点三角形．2．焦点△PF1F2：(1)|PF1|＋|PF2|＝(2)焦点三角形的周长L＝2a.2a＋2c.04课堂练习大本例1大本P100C03新知探究

椭圆中的焦点三角形(3)在△PF1F2中，由余弦定理可知cos∠F1PF2=

04课堂练习大本例1B

思维提升1．对于涉及椭圆上一点到其焦点的距离问题，常常考虑运用椭圆的定义，即椭圆上一点到两焦点的距离之和为定值2a.2．与焦点三角形有关的长度与角度问题，常考虑定义、正余弦定理相结合求解，注意方程思想的应用．跟踪训练120°03新知探究

椭圆中的焦点三角形（xp，yp）(2)(最大张角定理)当P为短轴的端点时,△PF1F2的面积最大,∠F1PF2最大.

(要会推导)可以通过余弦定理证明推导过程放在下一页PPT，之前没记的，要记设|PF1|=m，|PF2|=n，∠F1PF2=θ大本例204课堂练习跟踪训练304课堂练习1．(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(

)A．当a＝2时，点P的轨迹不存在B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆AC〈课堂达标·素养提升〉大本