高考数学二轮总复习题型专项集训题型练6大题专项（四）文

题型练6大题专项(四)立体几何综合问题1.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,∠CBB1=60°,点A在侧面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O,E为AB的中点.(1)求证:OE∥平面ACC1A1;(2)若AC与平面BB1C1C所成角为45°,且BC=2,求点E到平面ACC1A1的距离.2.如图,已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)设O为△A1B1C1的中心.若AO=AB=6,AO∥平面EB1C1F,且∠MPN=π3,求四棱锥BEB1C1F的体积3.(2022全国甲,文19)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.(1)求证:EF∥平面ABCD;(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).4.如图,△ABC的外接圆O的直径为AB,CD⊥平面ABC,BE∥CD.(1)求证:平面ADC⊥平面BCDE;(2)试问在线段DE和BC上是否分别存在点M和F,使得平面OMF∥平面ACD?若存在,确定点M和点F的位置;若不存在,请说明理由.5.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3.(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH∥平面PAD;(2)求证:PA⊥平面PCD;(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.6.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AC,过点A的平面与棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G(E,F,G三点均不在棱的端点处).(1)求证:平面PAB⊥平面PBC.(2)若PC⊥平面AEFG,求PFPC的值(3)直线AE是否可能与平面PCD平行?证明你的结论.答案：1.(1)证明:如图,连接BC1,AC1,因为O为B1C的中点,所以O为BC1的中点.又E为AB的中点,所以OE∥AC1.又OE⊄平面ACC1A1,AC1⊂平面ACC1A1,所以OE∥平面ACC1A1.(2)解:因为AO⊥平面BB1C1C,所以∠ACO=45°.因为BC=2,∠CBB1=60°,所以AO=1,AC=2,AC1=2,S△所以S△设点O到平面ACC1A1的距离为d,因为V三棱锥所以13d·S△ACC1=13AO·S△OCC1,即因为OE∥平面ACC1A1,所以点E到平面ACC1A1的距离为2172.(1)证明:因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1,故AA1∥MN.因为△A1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN,故B1C1⊥平面A1AMN.又B1C1⊂平面EB1C1F,所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(2)解:AO∥平面EB1C1F,AO⊂平面A1AMN,平面A1AMN∩平面EB1C1F=PN,故AO∥PN.又AP∥ON,故四边形APNO是平行四边形,所以PN=AO=6,AP=ON=13AM=3,PM=23AM=23,EF=13因为BC∥平面EB1C1F,所以四棱锥BEB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离.作MT⊥PN,垂足为T,则由(1)知,MT⊥平面EB1C1F,故MT=PMsin∠MPN=3.底面EB1C1F的面积为12×(B1C1+EF)×PN=12(6+2)×6=所以四棱锥BEB1C1F的体积为13×24×3=243.(1)证明:如图,过点E作EE'⊥AB于点E',过点F作FF'⊥BC于点F',连接E'F'.∵底面ABCD是边长为8的正方形,△EAB,△FBC均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直,∴EE'⊥平面ABCD,FF'⊥平面ABCD,且EE'=FF',∴四边形EE'F'F为平行四边形,∴EF∥E'F'.又E'F'⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.(2)解:过点G,H分别作GG'⊥CD,HH'⊥DA,交CD,DA于点G',H',连接F'G',G'H',H'E',AC.由(1)及题意可知,G',H'分别为CD,DA的中点,几何体EFGHE'F'G'H'为长方体,故该包装盒由一个长方体和四个全等的四棱锥组合而成.∵底面ABCD是边长为8的正方形,∴AC=82+82=82(cm),E'F'=H'E'=12AC=42cm,EE'=AE∴该包装盒的容积为V=VEFGHE'F'G'H'+4VAEE'H'H=E'F'·E'H'·EE'+4×13SEE'H'H·14AC=42×42×43+4×13×42×43×22=4.(1)证明:∵△ABC的外接圆O的直径为AB,CD⊥平面ABC,BE∥CD,∴AC⊥BC,AC⊥DC.∵BC∩DC=C,∴AC⊥平面BCDE.∵AC⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面BCDE.(2)解:存在点M和F,使得平面OMF∥平面ACD.取BC的中点M,DE的中点F,连接OM,MF,OF.∵O是AB的中点,∴OM∥AC,MF∥CD.∵AC∩CD=C,OM∩MF=M,AC,CD⊂平面ACD,OM,MF⊂平面OMF,∴平面OMF∥平面ACD.5.(1)证明:如图,连接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH.又由BG=PG,故GH∥PD.又因为GH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以GH∥平面PAD.(2)证明:取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,又因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA⊂平面PAC,故DN⊥PA.又已知PA⊥CD,CD∩DN=D,所以PA⊥平面PCD.(3)解:连接AN,由(2)中DN⊥平面PAC,可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为△PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=3,又DN⊥AN,在Rt△AND中,sin∠DAN=DNAD所以,直线AD与平面PAC所成角的正弦值为336.(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.因为四边形ABCD为正方形,所以AB⊥BC,所以BC⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PBC.(2)解:连接AF.因为PC⊥平面AEFG,所以PC⊥AF.又