2022年新教材高中数学第八章立体几何初步53平面与平面平行练习（含解析）

平面与平面平行【基础全面练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．平面α∥平面β，点A，C在平面α内，点B，D在平面β内，若AB＝CD，则AB，CD的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能【解析】选D.夹在两个平行平面间的平行线段相等，但夹在两个平行平面间的相等线段可以平行、相交或异面．2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1A.MN∥AP B．MN∥BD1C．MN∥平面BB1D1D D．MN∥平面BDP【解析】选C.由题意，取B1C1的中点E，连接EM，NE，B1D1M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，所以BB1∥NE，B1D1∥EM，EM∩NE＝E，BB1∩B1D1＝B1，所以平面EMN∥平面BB1D1D，那么MN∥平面BB1D1D.3．已知直线l，m，平面α，β，下列结论正确的是()A．l∥β，l⊂α⇒α∥βB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β【解析】选D.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C14．如图，已知四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为()A．1B．eq\f(3,2)C．3D．2【解析】选A.连接AC，交BD于O，连结OF，因为四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，所以AO＝OC，因为点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，又PC⊂平面APC，平面APC∩平面BDF＝OF，所以OF∥PC，所以λ＝1.二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1【解析】因为平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1.又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD.同理可证AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．答案：平行四边形6．(2021·自贡高一检测)已知平面α∥平面β，点S是α，β外一点，过S的两条直线AB，CD分别交α于A，C，交β于B，D，若SA＝2，SB＝4，CD＝6，则SC＝________．【解析】当两个平面在点S的同侧时，如图1所示：由面面平行的性质定理可得AC∥BD，所以eq\f(SA,AB)＝eq\f(SC,CD)，由SA＝2，AB＝SB－SA＝2，CD＝6，解得SC＝6；当点S在两个面的中间时，如图2所示：由AC∥BD，可得eq\f(SA,SB)＝eq\f(SC,SD)＝eq\f(1,2)，所以SC＝eq\f(1,2)SD，所以SC＝eq\f(1,3)CD＝2，综上知，SC的值为6或2.答案：2或6三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，在四棱锥P­ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD.【证明】因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以点O为BD的中点．又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD.又OF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以OF∥平面PCD，因为点O，E分别是AC，PA的中点，所以OE∥PC，又OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以OE∥平面PCD.又OE⊂平面EFO，OF⊂平面EFO，且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD.8．如图，AB是圆柱OO1底面的直径，PA是圆柱OO1的母线，C是圆O上的点(异于A，B两点)，Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.【证明】连OG并延长交AC与M，连接QM，QO.由G为△AOC的重心，得M为AC中点，由Q为PA中点，得QM∥PC.又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，所以平面OMQ∥平面PBC，因为QG⊂平面OMQ，所以QG∥平面PBC.【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．如图，在三棱台A1B1C1­ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内的一个动点，且有平面BDM∥平面AA.平面B．直线C．线段，但只含1个端点D．圆【解析】选C.因为平面BDM∥平面A1C平面BDM∩平面A1B1C1平面A1C∩平面A1B1C1＝A1所以DM∥A1C1，过D作DE1∥A1C1交B1C1则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).2．(多选题)(2021·青岛高一检测)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1A．直线A1B B．直线BB1C．平面A1DC1 D．平面A1BC1【解析】选AD.对于A，由于A1B∥D1C，且A1B⊄平面ACD1，D1C⊂平面ACD1，可得直线A1B∥平面ACD对于B，由于B1B∥D1D，且D1D∩平面ACD1＝D1，可得直线B1B不平行平面ACD1；对于C，由于A1D与AD1相交，A1D⊂平面A1DC1，可得平面A1DC1不与平面ACD1平行；对于D，由于A1B∥D1C，C1B∥D1A，A1B，C1B⊂平面A1BC1且相交，可得平面A1BC1∥平面ACD二、填空题(每小题5分，共10分)3．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E【解析】由题意得A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，所以A1E∥平面BCF1E1.同理，A1D1∥平面BCF1E1.又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1答案：平行4．如图，四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH与PE的位置关系是____________，GH＝____________．【解析】因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD，因为E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，所以G是PD的中点，因为PA＝PB＝AB＝2，所以PE＝2×sin60°＝eq\r(3).所以GH＝eq\f(1,2)PE＝eq\f(\r(3),2).答案：平行eq\f(\r(3),2)三、解答题(每小题10分，共20分)5.如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°.求证：平面BCE∥平面ADF.【证明】因为四边形ABCD为矩形，所以BC∥AD，又BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，所以BC∥平面ADF.因为△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，所以∠BAF＝∠ABE＝45°，所以AF∥BE，又BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，所以BE∥平面ADF.又BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，BC∩BE＝B，所以平面BCE∥平面ADF.6．(2021·大兴高一检测)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝eq\f(1,2)AD，E是PD的中点．(1)求证：BC∥AD；(2)求证：CE∥平面PAB；(3)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由．【解析】(1)在四棱锥P­ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD，(2)取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝eq\f(1,2)AD，又由(1)可得BC∥AD，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥EF，BC＝EF，所以四边形BCEF是平行四边形，所以CE∥BF，因为CE