高考数学二轮总复习题型专项集训题型练5大题专项（三）理

题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.第五代移动通信技术(简称5G)是最新一代蜂窝移动通信技术,也是继2G、3G和4G系统之后的延伸.5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接.某大学为了解学生对5G相关知识的了解程度,随机抽取男、女学生各50名进行问卷测评,所得分数的频率分布直方图如图所示,并规定得分在80分以上为“比较了解”.(1)求a的值,并估计该大学学生对5G比较了解的概率.(2)已知对5G比较了解的样本中男女比例为4∶1.完成下列2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为对5G比较了解与性别有关.性别比较了解不太了解合计男性女性合计(3)用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人,再从6人中随机选取2人,求至少有1人得分低于40分的概率.附:K2=n(ad-P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.8282.(2022新高考Ⅱ,19)在某地区进行某种疾病调查,随机调查了100位这种疾病患者的年龄,得到如下样本数据频率分布直方图.(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(2)估计该地区一人患这种疾病,其年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口数的16%,从该地区任选1人,若此人的年龄位于区间[40,50),估计此人患这种疾病的概率(精确到0.0001).3.《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”.在法律体系中居于基础性地位,也是市场经济的基本法.某中学培养学生知法懂法,组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果,现从高一、高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩(单位:分),绘制成茎叶图如图所示.(1)通过茎叶图分析哪个年级的学生学习效果更好.(不要求计算,分析并给出结论)(2)根据学生的竞赛成绩,将其分为四个等级:测试成绩(单位:分)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)等级合格中等良好优秀①从样本中任取2名同学的竞赛成绩,在成绩为优秀的情况下,求这2名同学来自同一个年级的概率.②现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈,记X为抽到高二年级的人数,求X的分布列和数学期望.4.(2022四川石室中学模拟)某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣,从某大学随机抽取了600人进行调查,经统计男生与女生的人数之比为11∶13,对冰壶运动有兴趣的人数占抽取的总人数的23,女生中有75人对冰壶运动没有兴趣(1)完成下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关?性别是否有兴趣合计有兴趣没有兴趣男女75合计600(2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人,若从这8人中随机选出3人作为冰壶运动的宣传员,设X表示选出的3人中女生的人数,求X的分布列和数学期望.附:K2=n(ad-P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.8285.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:支付金额/元(0,1000](1000,2000]大于2000支付方式仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率.(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望.(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.6.某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度,从品尝过该菜品的学生和教师中分别随机调查了20人,得到师生对该菜品的满意度评分如下:教师:6063656769757777797982838687899293969696学生:4749525455576365666674747577808283849596根据师生对该菜品的满意度评分,将满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立,根据所给数据,用事件发生的频率估计相应事件发生的概率.(1)设数据中教师和学生评分的平均值分别为μ1和μ2,方差分别为η1和η2,试比较μ1和μ2,η1和η2的大小(结论不要求证明).(2)从全校教师中随机抽取3人,设X为3人中对该菜品非常满意的人数,求随机变量X的分布列及数学期望.(3)求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率.7.某汽车公司拟对甲款高端汽车发动机进行科技改造,根据市场调研与模拟,得到科技改造投入x(单位:亿元)与科技改造直接收益y(单位:亿元)的数据统计如下:x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当0<x≤17时,建立了y与x的两个回归模型:模型①:y^=4.1x+11.8;模型②:y^=21.3x14.4;当x>17时,确定y与x满足的线性回归方程为y^=0.(1)根据下列表格中的数据,比较当0<x≤17时模型①、②的相关指数R2,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测对甲款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.回归模型模型①模型②回归方程y^=4.1x+11.y^=21.314.4∑182.479.2附:相关指数R2=1∑i=1n(yi(2)为鼓励科技创新,当科技改造投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴收益10亿元,以回归方程为预测依据,比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.附:用最小二乘法求线性回归方程y^=b^x+a(3)科技改造后,甲款汽车发动机的热效率X大幅提高,X服从正态分布N(0.52,0.012),公司对科技改造团队的奖励方案如下:若发动机的热效率不超过50%,则不予奖励;若发动机的热效率超过50%但不超过53%,则每台发动机奖励2万元;若发动机的热效率超过53%,则每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.(附:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μσ<ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545)

题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.解(1)根据频率和为1,得(0.004+0.008+0.020+0.028+0.020+a+0.004)×10=1,解得a=0.016;计算得分在80分以上的频率为(0.016+0.004)×10=0.20,所以估计该大学学生对5G比较了解的概率为0.20.(2)根据题意知,对5G比较了解的人数有100×0.2=20,其中男性为20×44+1性别比较了解不太了解合计男性163450女性44650合计2080100计算K2=100×(16×46-所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为对5G比较了解与性别有关.(3)用分层抽样法从得分在50分以下的样本中抽取6人,其中在区间[30,40)内的有2人,记为A,B,在区间[40,50)内的有4人,分别记为c,d,e,f.从这6人中随机选取2人,所有可能的结果有AB,Ac,Ad,Ae,Af,Bc,Bd,Be,Bf,cd,ce,cf,de,df,ef共15个,则至少有1人得分低于40分的结果有AB,Ac,Ad,Ae,Af,Bc,Bd,Be,Bf共9个,故所求的概率P=92.解(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄为(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁).(2)由题图,得这100位这种疾病患者中年龄位于区间[20,70)的频率为(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,故估计该地区一人患这种疾病,其年龄位于区间[20,70)的概率为0.89.(3)设事件B为“任选1人年龄位于区间[40,50)”,事件C为“任选1人患这种疾病”,则P(C|B)=P(BC)P(B)=0故若此人的年龄位于区间[40,50),估计此人患这种疾病的概率为0.0014.3.解(1)由题中茎叶图知,高二年级的学生成绩的平均分高于高一年级学生成绩的平均分,高二年级的学生成绩比较集中,而高一年级的学生成绩比较分散,所以高二年级的学生学习效果更好.(2)①记事件A为“从样本中任取2名同学的竞赛成绩为优秀”,事件B为“这两个同学来自同一个年级”,则P(A)=C112C402,P所以在成绩为优秀的情况下,这2名同学来自同一个年级的概率为P(B|A)=P②由题意X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=C43C103=130P(X=2)=C62C41C10所以X的分布列为X0123P1311数学期望为E(X)=0×130+1×310+24.解(1)根据题意,男生有275人,女生有325人,对冰壶运动有兴趣的有400人,对冰壶运动没有兴趣的有200人,对冰壶运动没有兴趣的男生有125人,对冰壶运动有兴趣的男生有150人,对冰壶运动有兴趣的女生有250人,得到如下2×2列联表.性别是否有兴趣合计有兴趣没有兴趣男150125275女25075325合计400200600所以K2=600×(150×75-125所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.(2)由(1)知对冰壶运动有兴趣的有400人,其中男生有150人,女生有250人,则用分层抽样的方法从中抽取8人,抽到的男生人数为8×150400女生人数为8×250400=所以X的所有可能取值为0,1,2,3,所以P(X=0)=C33C83=156P(X=2)=C31C52C8所以X的分布列为X0123P115155所以E(X)=0×156+1×1556+25.解(1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有10030255=40人.所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为40100=0.4(2)X的所有可能值为0,1,2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”,事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”.由题设知,事件C,D相互独立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(CD∪CD)=P(C)P(D)+P(C)·P(D)=0.4×(10.6)+(10.4)×0.6=0P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得P(E)=1答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.6.解(1)μ1=120×(60+63+65+67+69+75+77+77+79+79+82+83+86+87+89+92+93+96+96+96)=80μ2=120×(47+49+52+54+55+57+63+65+66+66+74+74+75+77+80+82+83+84+95+96)=69η1=120×[(6080.55)2+(6380.55)2+…+(9680.55)2+(9680.55)2]η2=120×[(4769.7)2+(4969.7)2+…+(9569.7)2+(9669.7)2]≈所以μ1>μ2,η1<η2.(2)教师对菜品非常满意的概率P=520=14,则随机变量XX可取0,1,2,3,且P(X=k)=C3kpk(1p)3所以P(X=0)=C301401-1P(X=2)=C321421-1所以分布列为X0123P272791所以数学期望E(X)=0×2764+1×2764+2(3)记事件C:教师的满意度等级高于学生的满意度等级,用A1,A2,A3分别表示教师对该菜品“不满意”“满意”“非常满意”,用B1,B2,B3分别表示学生对该菜品“不满意”“满意”“非常满意”,且A1,A2,A3,B1,B2,B3相互独立,则P(A1)=520,P(A2)=1020,P(A3)=520,P(B1)=1020,P(B2)=820,P(B所以P(C)=P(A2B1)+P(A3B1)+P(A3B2)=10即教师的满意度等级