固体物理知识概要

第一章=[T+j+k)

(2)体心立方(body-centeredcubic,bcc):原胞基矢

每个晶胞有2个等效格点。常见金属：碱金属晶体，过渡金属晶体，Cr,M。,W.

体心立方原胞体积为：ai(aixm)=a3/2

%=/+/一〃)

最近邻原子数：8个

(3)面心立方(face-centeredcubic,fee)原胞基矢6=](/+〃)

每个晶胞有4个等效格点。常见金属：贵金属Cu、Ag、Au、Al、Ni、Pb等。

面心立方原胞体积为：ai-(52x33)=a3/4

(=-(/+A)

最近邻原子数：12个i2

7大晶系,14种布拉菲格子，32种宏观对称操作。

〃3=#+力

密积累配位数

配位数：一个原子四周最近邻的粒子数。

致密度：晶胞中粒子所占的体积与晶胞体积之比。比值越大，积累越密。

粒子被看作为有肯定半径的刚性小球。最近邻的小球相互相切。两球心间的距离等于两最近邻粒子间的距离。

1.同种粒子构成的晶体

原子半径相同，刚球半径也相同.一般采纳密积累。配位数为12、8。

2.不同粒子组成的晶体

(1)氯化钠(CsCI)

Cs+离子半径为r,Cl-离子半径为R,则

r=0.73R配位数为8。

(2)氯化钠(NaCI),Na+离子半径为r,Cl-离子半径为R,则

r=0.41R配位数为6.

晶列、晶面、密勒指数；

晶向：晶格可看成是在任意方向上由无穷多的平行直线组成的，全部的格点都落在这些直线上。每

一条这栏的直线称为晶格的一个晶列。晶列的方向称为晶格的晶向。

晶向的表示：晶向指数[hhh]:任取一个格点作为原点0。作晶胞基矢a、b、c,考虑某晶列上

的一个格点P,该格点的位矢为：llal+12a2+13a2且111213为三个互质整数,则该晶向指数为

[lihI3]8

晶面：晶格可在任意方向上分割成无穷多的平行平面组成，使得全部的格点都落在这些平面上。全

部相互平行的平面构成一族，称为晶格的晶面。

晶面的表示：在晶胞基矢a、b、c下，一晶面与它们的截距分别为l'a、mbn'c

111,

—•—7•-7=/.ni.n

若有互质整数I、m、n使/mn(Imn)称为晶体的密勒指数(Miller

indices).若某晶面指数为负数，则在此数上面加一横杠。

若取原胞基矢,则互质整数(hlh2h3)称为晶面指数。

=2:6:3

/-3加'=1〃三2

右图晶面描述312晶面密勒指数为：(263)

倒格子

取原胞基矢al、a2、a3,定义三个新矢量bl、b2、b3,满意：Qd为原胞的体积.

bl、b2、b3称为晶体的倒格子基矢。相对地，al、a2、a3称为晶体的正格子基矢。2九(。3X。])_27t

bl、b2、b3相互独立，可构成一新的矢星空间，称倒格子空间。

在倒格子空间中作矢量2n(axa)27r

Gh:b.=~l———2=—(«ixa,)

Gh=hlbl+h2b2+h3b3a}(«2x«3)Cd

当取遍全部的整数hl、h2、h3后，得到的点阵称为倒格子点阵。bl、b2、b3构成的平行

六面体称为倒格子原胞，其体积为Qr,

Qr=bl-(b2xb3).Gh称为倒格矢(ReciprocalLatticeVector)0

倒格子与正格子之间的关系

[2元i=j

%4=2吟={..tj=1.2,3

(1)基矢关系01*1

(2)格矢之间的关系凡0=2加1其中m为任意整数

c,但

(3)原抱之间的关系Cd

(4)倒格子矢量Gh与晶面面间距dh的关系

设Gh=hlbl+h2b2+h3b3,dh为晶面指数为(hlh2h3)的一族晶面间的面间距,

布里渊区

任取一倒格点为原点，作全部倒格矢Gh的垂直平分面，这些平分面之间围成的区域称为

布里渊区.包含有原点的区域称为第一布里渊区。

其次章

1.两原子间的相互作用能、力表达与图示表达。

最近邻两原子的距离为r,f(r)为两者间的的相互作用力，u(r)为相应的势能，

f(r)=-^^u(r)=_；+2

&rr式中，a、b〉0,n>m>0。第一项为吸引能，

其次项为排斥能。

f(r)=_a吗=0

当晶体稳定，达到平衡时，r=r0,这时有：°0cr|r'

gf(r)I=_c2u(r)I=0

临界距离：在r=rm时有：5r忆一6r;"一

结合能Eb:肯定温度为零时，N个原子组成晶体后的总能量E与这N个原子在自由状态下

的总能量Ea之差：Eb=E-Ea

结合能表示了N个原子组成晶体时所向外释放出的能量

计算出相邻两原子间的平衡距离r0及结合能：

Eb=U(rO)

2.晶体弹性性质

(K=l)

(1)压相系数K与体弹性模量KK

1必7、au

定义压缩系数：VT由绝热状况下dU=-PdVU即为晶体内相互作用能。

K=1=-V(—)T=v(£2^)r

体弹性模量：又四员

(2)抗张强度

6f叫_62V「

晶体能所承受的最大张力。它应等于原子间最大的吸引力。此时r=刖。6r’•6「

P.里

抗张强度5V(V=Vm)

2.晶体结合的基本类型及特性

1.离子晶体：离子键(结合)：正负离子之间的静电库仑吸引力与电子间的库仑排斥力共同作用下的结合力。

依靠离子键结合的晶体称为离子晶体。常见有NaCI晶体，CsCI晶体

咐=±(士汕3)

24k两尊

两离子间的相互作用能(2)离子晶体的总相互作用能

离子晶体特点：依靠静电库伦力结合，有较大的结合能，~800kJ/moL密积累。有较大的稳定性。高熔点、高硬度，小膨

胀系数。电子定域，绝缘体。可见区透亮,近红外有特征汲取。

2.共价晶体：共价键：相邻两原子共有一对三旋相反的电子。由共价键结合的晶体称为共价晶体。一些分子依靠共价键结合，如H2

分子、有机分子等。

共价结合具有饱和性和方向性。：饱和性即一个原子只有有限的价键，方向性：价键只发生在某个方向上。

共价晶体特点：共有化一对电子,结合能较大,102-103kJ/mol0有较大的稳定性。高熔点、高硬度，小膨胀系数，电子定域,绝缘

体和半导体。近红外有特征汲取。

3.金属晶体：正离子实与共有化的价电子间的库仑吸引力以及正离子实之间、价电子之间的库仑排斥力共同作用下的相互作用称为金

属键或金属结合。金属键结合的晶体称为金属晶体。金属键没有方向性。金属晶体一般采纳密积累结构。金属结合属强结合，有较大

的稳定性。碱金属，过渡元素的晶体

特点：电子广延。具有较好的导电性、导热性、展延性。对电磁波有剧烈汲取。

4.分子晶体:原子或分子的电偶极矩之间的吸引力与原子分子之

情性京子校性分子.也性分子口性分子

间电子云的排斥力共同作用下的相互作用。范德瓦尔斯分子力：

@@

色散力：两惰性原子间的相互作用能。

诱导力：极性分子与其在非极性分子上诱导产生偶极矩。u崂时凄化

弥散力：非极性分子之间瞬时偶极之间作用力。NH3,S02,HCI

以向偈国能

5.氢键晶体：通过氢原子结合在一起的晶体称为氢键晶体。

负电性大的原子与氢原子之间的相互作用。

色散力(伦敦力)静电力法导力

对于0、F、N原子，其特点是猎取电子力量大,因此负电性大；

而H有矢去电子的倾向。

对存在0、F、N离子的分子简洁与H产生氢键结合，

氢键通式：X-H……Y式中x和丫代表F,。，N等电负性大、原子半径较小的非金属原子.X和丫可以是两种相同的元素，

也可以是两种不同的元素。

特点：分子键与氢键一不交换电子。是一种弱结合，具有方向性。

3.原子负电性

原子的电离能：原子失去一个电子而成为一个正离子所需的能量。(电离一个电子所需的能量)

原子的亲和能：一个原子俘获一个电子而成为一个负离子所释放出的能量。(俘获一个电子所释放的能量)

原子的负电性=0.18x(电离能+亲和能)

负电性与晶体结合类型

1.碱金属的负电性最低，价电子最简洁摆脱原子的束缚而形成共有化电子，所以构成最典型的金属晶体。

2.当负电性增大时，原子束缚电子的力量增加，猎取电子的力量也增加，因而易形成共价结合，构成共价晶体。

3.当一类原子的负电性较大，另一类较小时，则一般地构成离子晶体。

4.当原子具有稳定的闭壳层结构时，电子不发生转移，原子便依靠较弱的范德瓦尔斯力，形成分子晶体。

第三章

晶格振动假设：L晶体中的粒子仅在平衡位置(晶格格点)四周作微小的热运动；2.这种形式的运动都可等效于三个方向上的直线振

动.

一维单原子链：有N个质量为m的相同原子组成的一维单原子链，相邻两原子的间距为a.a:一维晶体的晶格常数。

假定：1.振动只发生在链的方向；2.振幅相同；3.频率相同

2.简谐近似(HarmonicApproximation)与最近邻近似(Nearest-NeighborApproximation)

晶体中的粒子都是在平衡位置四周作小运动，各粒子的位移相对晶格常数是小的，可忽视高阶项，即作简谐近似。

-u

..m/J=iPitfiCUmfl)m=P(llz+U9T-2lla)

简谐近似后：du由最近邻近似后：du

3.周期边界条件：1r=4

(1).方程的解为格波解：Un

每个原子都围绕各自的平衡位置作简谐运动。

振幅A和频率(，相同，位相不同。

q称为波矢(WaveVector).

相邻两原子的位相差为qa0

长声学波代表的是原胞质心的振动。

结论：波矢q的数目等于原胞数N。匀称分布在第一布里渊区内的N个点。

一维双原子链有两支格波：一支声学波，一支光学波。

晶体的犯立振动模式数等于晶体的自由度飘

综合结论：设晶体有N个原胞,每个原胞内有P个不等价原子。

1.晶格版动的波矢（q的取值数）数目等于晶体的原胞数N.

2.独立荒动模式数（。曲取值数）等于晶体的自由度数3PNO

3.格波的支数等于原胞的自由度数（3P支）。

4.声学波支数等于晶体的维数。对于三维晶体，有3支声学波，其余均为光学波，共3P-3支。

例1：分析由N个原胞组成的钠晶体的振动格波。

例2:分析由N个原胞组成的氯化钠、单晶硅晶体的振动格波。

sL

1NNNQdV_______——

旦=&'=砌■=丽=西（2兀）22兀

倒格子‘空间”中波矢q的"密度"为：三维寸_二维一维______

声子

晶格振动的量子化能量力行称为第i个振动模式下的声子数。

声子具有动量的属性：

振动波矢q的方向代表了声子的传播方向，

力q称为声子的准动量。它不是晶格的真实动量。

声子是一种准粒子，不满意粒子数守恒.

晶格热运动表述为晶格声子的产生及湮灭。热能的传导表述为声子的集中.晶体热平衡时，产生的声子数与湮灭数达到相等。

热平衡下平均声子数：

_3PN]

豆=2（万+%）方%

平均振却能：1=1〜

模式密度：刎=处出嘤dn=“密度”x两等频值之间的长度dq=

1

其中，模式密度一般可表示为：g⑹-PEI

NA

N=yi^a®）d3

约束条件：Vi

一维状况

二维状况

三维状况

晶格热容量。

固体热容组成：工.晶格振动贡献2.电子运动的贡献。除非温度极低，电子热容很小。

=

4~h^―En=七F-TT/充(#、：=3ZZ:1峋卜、(/q、)1_+方*Q^(_6

晶格总能量:右图式子，其中e一1

比热容一般表达式：

3Pr方Sj(q)

=SJgj®"%(q>-toj(q)

g(q)

方①j(q)

g(0)dco(q)

jj加：(q)

3P

=kBZjgj(s)d%(q

j

(eklT-1)2

???经典状况：设有N个原子构成的晶体。晶体自由度(DegreeofFreedom)=3N;平均热运动能量=3NkfT晶体热容量：

3Nke

实际:高温趋向常数，低温趋向0

爱因斯坦模型:假设品格振动频率相同。

色

c、,=评］=3PNkB件_岫

0=

大ITJj2E~r~

则：(eF爱因斯坦特征温度：kB

结论：在温度较高的状况下，即当T»0E时，Cv。3PNkB与经典状况相同。而在低温下,T«0E,这时有

C-3PNkB用e-T

即当温度趋于零时，热容量也趋于零。这基本上与试验结果相符。

但试验上精确当温度趋于零时，热容量是以T3的方式趋于零(称为T3定律)。这是由于在低温时，声学波对热容的贡献是主要的，

而爱因斯坦模型实际忽视了这一声学波对热容的贡献。

德拜(Debye)模型

假设：德拜将晶体看作为各向同性的连续介质，把格波看作为介质中的弹性波。支为纵波，速度为c+;两支偏振方向相互垂直的横

波，速度为C//O为简洁起见，假定它们的都相等为c0依据弹性波理论频率与速度和波矢间的关系为⑴=cq

/、dnVco2

g(CO)=——=----2-3co=N

模式密度：dco2TIC则由束缚条件o

方0方①nCO0nCO方

X=---------=----------------=-------n="3D

KBTkTcoTcoD

BDD德拜温度

T，T4x

3Xe

Cv=9NkB(—)f上Jdx

%o(ex-1)2

化简得至J

当—争.分子上ex.l分母上expl—x

T6D/T

32

9NkB(—)fxdx=3Nk

CvxB

与经典全都。

Cv«9NkB(X)3fX%'dx二

x2

0(e-1)

%aoo

T

:生NkBocT3

5B

当温度T很低时，TND，与试验相符合。

第四章

方2方2

L绝热近似。2M22M_V2+lyy_^+lyy__+

前提:一般地，m<<Ma,电子的速a2M—4兀％£占2年管4%£小耶

度及动能远大于原子核的速度和动

2

7e

能。其次项为0,第四项可认为是常T①仇…，凡…)=E①。;…,J…)

数V0-记力

a

V。25卢.

247t£08rRap

离子的波函数与电子的位置无关。

晶体波函数=电子波函数X离子实波函数

2.平均场近似、单电子近似：电子间的相互作用仅与

自身坐标有关；

3,固体物理最基本的假定：晶体周期场假定

V(f)=Q(f)+u(r)

则

V('r+Rn)7=V'(r)7Rn是晶格平移矢量。

2

h2

[,V2+V(r)]W)=Ei|/(r)

经上述近《以之后得到简化后的方程：2m

w(r)=u(r)e设,

4.布洛赫定理：假如势场V(r)是晶格格矢Rn的周期函数，则波函数方程的解必定满意"k''

平移算符与哈密顿量有共同的本征函数，为叭r),

VKr)二e%i(r)

晶格中电子的波函数可表为“£('+《！)—以(')

山⑺为晶格的周期函数。

22

%(，+/)『==u

k

可以得到在晶体中，各原胞内对应点处的电子几率相等。？？

5,波矢〃的物理意义:波矢k用于表征电子态，不同的k对应不同的波函数和相应的能量本征值.表征晶体电子布洛赫

波波的波矢.

方A是自由电子的动量，但不是晶体中电子的动量。不是布洛赫波的动量本征值，但又具有动量的量纲和属性。称为晶体电子的准

动量。

(1)波矢的取值数目(=原胞数N)。N=NIN2N3

0)k在倒格子空间内(布里渊区)分布的状况.

4

NJN2N3k.Rz=27rx整数

满怠波矢k的取值在倒格子空间表示为一个“代表

点"。这些点的分布是匀称的。

三维二维一维io

〃的“分布密度”

6,能带理论

能带的一般求解：傅立叶级数法。

甲式，）=+＞（"+6）建9

波函数傅里叶级数绽开1

V（r）=X\，（&）产"V（Gz）=ljV⑺/"dr

势能傅里叶级数绽开：Gv

代入简化的方程运算可以得到：

力2

五(A+GAE⑸0卒％—

其次方程

det后-GJ-E⑹儿+V(G「q)=。

上述方程满意

由此解出E与k的关系，即电子的能带：

i

对每一个En（k）,通过式，有可解出一组ank（G）,E

即波函数、ynk（r）.能量本征值En（k）与n和k有关。

------------55（万E$(A)

对于每个给定的n,En（k）包含了不同的k圻对应的E5---

不同的能级。

1.在这些能级中，相邻的两个能级间隔很小，几乎是

E----------中4（"EK*)--------------里“⑴）

连续的（称为准连续），形成一个能带。4

2.在相邻两个能带中（如第n个能带和第n+1个

能带）之间有可能不重叠，即相邻两个能带之间消失匚-str)E(Ar)

33甲35（万

了能量禁戒区，称为禁带。

TZTZ/右、

七2（广）七2⑻

3.全部的En（k）称为晶体的能带结构。52，甲幼（力

P

7.能带与波函数的性质：七】%Cr)Ei(A)，,次（刀

E（k）=E（-k）原子中的电子能级和波函数晶体中的电子能级

tta（能带）和波函数41

x.心*（,）=乂-«）定态方

h2

(V2+2i^V)+V(r)u=[E(k)-E°W]u,(r)0方V+2i方左

2mk

程：

EV+GmhE”⑹

2Vn/UGm（，）=Wn式，）

波函数与能量是倒格矢Gl的周期函数.

相差］王意倒格矢的两个状态（波函数）描确是相同的状态。

1.倒格子空间中（或〃空间中）相差一个或多个倒格矢的电子态表示的是同一电子态。

2.为了使〃与电子态有一一对应的关系，将倒格子空间分划成不同的区域，并将片的

值限制在某个区域内，在这个区域中，全部的波矢k—对应与某个能带上的电子

态.

3.这个区域外的波矢可通过平移一个或多个倒格矢，使在区域中的一个等价波矢对应

与其他相应能带的电子态。这样的区域称为布里渊区。

4.用于代表全部电子态的波矢k,并包含有原点的区域，称为第一布里渊区。

…八(2兀)3

bx^b2xb3)=——

第一布里渊区体积为：V

k=K4+k?3+k3b3=U4+蜻％+

N1

N风（在布里渊区则:

4,赳吟，得今%吟，/%与吟,

2

N=N1N2N3=晶体原胞数

K取值有

k的取值数等于晶体总的原胞数。

每个能带中共有N不同的电子态，考虑到自旋，则共有2N个不同的电子态。

1)能带的简约图式

将k限制在第一布里渊区内，各能带都有相

应的能量对应，每个能带都用第一布里渊区

中的k值表示。

(2)能带的扩展区图式

按能量的大小，把各能带分别限制在第一、

其次、第三等区域内。

(3)能带的重复图式

将每个能带在第一布里渊区的图形作周期性

重复绽开。

能及分布的特点：(1)k空间中能带在布里渊区边界附件外凸(畸变)；

(2)k空间中能带在布里渊区边界两侧不连续(突变)；

(3)等能面与布里渊区边界正交。

由于：

8•由电子近似

模型特点：晶格对电子的影响除了个别地方(格点四周)外，其相互作用是较小的。

电子的行为在大部分区域都类似于自由电子.

晶格周期势对电子的作用是个小量，可以表示为微扰作用。

(1)k、k'距布里渊较远：

E±=E：±|Vn|=*出土1Vli|

(2)k、k在边界上：a

AEn=2|Vn|AEn即为禁带宽度Eig

能量产生突变：

IVlV(,)—V(G产

其中II即为Q中的'⑹)。

使用傅里叶反变换。

微扰结果：在k=(nn/a)处能量发生了突变。

突变的大小为2|Vn|,即为周期势场中第n个傅立叶重量肯定值的2

倍。

这能量发生突变的区域称为能隙(或称禁带).

原先连续的自由电子能量分布(能谱)分裂为被各能隙分开的很多不

同的能带。由于波矢k的取值是不连续的，所以各能带是有密集分布

的很多能级构成的。参见下图。

例题：

V(x)m*b2_(x_na)2]na-b<x<na+b

0(n-l)a+b<x<na-b

(i)画出势能曲线，并求平均值。

(2)用近电子模型求第一，其次禁带的宽度。

9紧束缚近似，物理思想

假如晶格中的电子受邻近离子的相互作用较强，则它主要受到该离子的作用，电子基本上在这离子四周运动(受该离子的束缚)，而

其他离子产生的晶格场对该电子的作用较小，可看作为一个小的微扰作用。这样的一种模型称为紧束缚近似。

由于电子在离子四周运动，作为零级近似，将它们看作为一原子系统，零级波函数为这一原子中的电子本征波函数

最近邻近似下的能带表达式和］计算

J(Pi*(r)AU(r)(Pi(r)dr=—p

v

P为晶体场积分'n为相互作用积分原子的能级£i

求解过程

熟悉一维、二维情况。

画出晶格格点一＞任取一点作为原点一

找出最近邻，写出坐标一＞写出各项。对称点

一＞化简，写出最后表达式E(k)函数

―作略图表示

X

例3.二维正方格子的晶格常数为a,用紧秘近似求s态电子能谱E（k）（只计算最近邻相互作用）、带宽以及带顶、带底的有效质量。

能带与原子能级：

晶体中电子的能带是由孤立原子的能级演化而来。

孤立原子中的每一能级，在结合为晶体的过程中，由于各个原子之间产生了相互作用，使得分裂为能带。

原子间间距越小，相互作用就越大，能级分裂也就越宽。

每一能级演化为一个能带；不同的能级分期能带宽度各有不同；

相邻的能带可能回发生重叠。

对于s态电子，形成一个能带。对于三重简并的p电子，形成3个交叠的能带。而对于d电子,则由于是五重简并，因而形成5个交

叠的能带。

10准经典运动

一、晶体中电了的平均速度

有确定的能量；

没有确定的动量，或没有确定的速度;

但有确定的速度取某肯定值的几率;

或,有确定的平均速度。

v=v/+vy+vAr=

xyz1

1V=-VAE(ZT)

h

-d（软）

外场与波矢的关系、准动量dt

倒有效质量张量、有效质量与能带的关系。mn

切力•国偌异舛付：P'=一i为V+i力VInu

有效质量与质量区分：

有效质量不同于性质量.有效质量包含了晶格场对电子的作用。

由于电子在晶格中不同的位置，受到的晶格场的方向与外力的方向不同，所以它与电子的方向有关，或者说与电子的波矢k有关，也

因此它在一般的状况下是个张量。

当晶格场与外力的方向全都时，有效质量是正的；

当方向相反而大4而等时，它的值为无穷大；

当方向相反时，并且晶格场大于外力时,它具有负的值。

只有在自由空间中，有效质量等于惯性质量。这时，准动量也等于电子的真实动量。

平均加速度m_____

由准经典运动方程，平均加速度与外力的关系，力中仅与外力有关，与晶格场无关。

晶格场是周期场，接近离子实的地方远大于外场，而在两离子实之间可小于外场。

因此当外场晶格场方向相同，大小相等或不等时m*>0

当外场晶格场方向相反，大小相等时mx=0

当外场晶格场方向相反，且晶格场大于外场时m*=8

11.满带电子在外电场作用下的导电性。

单电子近似下，每个价电子占据波矢为k的电子态的几率相同；

在满意泡利原理的要求下，电子从小到大依次占据各能级的电子态（波矢k）;

在热平衡时，电子占据k态和-k态的几率相等。

E(A)=E(—A)

由能带理论，能量E是波矢k的偶函数，速度v是波矢k的奇函数

假如在同一能级上有一k态的电子和一•k态的电子，则由它们所贡献的电流为零。

f二Y£

当给晶体施加一外电场后，晶体中的电子我IJ—电场力

dkes

电子的波矢k随时间的变化为dth电子的波矢k随时间的变化为常数。

在k空间(或倒格子空间)中，电子的状态代表点都以相同的“速度"运动。

状态的分布保持不变，只是将原先匀称分布的代表点作整体的平移。

I.满带状况

在电场作用下，全部的波矢在k空间内匀称地从一个状态迁移到另一个状态。某一个电子波矢可以越过布里渊区的边界迁移到另一布

里渊区。

这相当于移出的电子又从边界的另一边移入该布里渊区。整个的电子状态的分布及对称性不变。

满带电子不导电。该能带称为价带

II.未满带状况：

在这种状况中，电子只占据了部份能级。在外电场作用下，电子的移动转变了原先的对称分布，使得在沿电场方向的电子数目与逆电

场方向的电子数目不相等，因而只能部份》无肖电子的电流，从而总的电流不为零。因此：未满带电子可以导电.相应地该能带也称之

为导带。

12.固体导电性的能带解释

一个晶体是的导电性，取决于该晶体中电子在能带中的分布状况.

假如晶体中的能带要么被电子全部占据,要么没有被电子全部占据(空带)，而且相邻的能带没有发生重叠，则该晶体是绝缘体；

假如晶体中的能带只是被电子部分占据，则该晶体为导体。

由原子中内壳层电子构成的能带都是满带，所以它们不导电；晶体的导电性仅取决于由价电子能级绽开的能带的状况。

由能带理论知，若晶体有N个原胞，则每个能带共有N个不同的波矢k,每个波矢k可允许2个自旋相反的电子。因此每个能带可

容纳2N个电子。

对于有N个原子组成的一价碱金属(Li、Na、K、Cs等，价电子为ns电子)，由于它们采纳的是体心立方或面心立方结构，所以原

胞数等十原子数N。晶体共有N个价电子。

由ns能级演化成的能带中的状态只被这些电子占据了一半，这能带是半满的，因而这类晶体是典型的金属晶体。

对于二价碱土金属(Ba、Ca、Mg、Zn等，价电子为ns2),虽然晶体共有2N个价电子，但由于它们的上下两个ns和nd构成的能

带是重叠的，所以这两个能带都是部份填满的(半满)，因此这些晶体仍旧是金属晶体。

对于金刚石类(C、Si、Ge等)的晶体，每个原胞有2个不等价的原子，每个原子共有4个价电子.

13空穴

在半导体一类的晶体中，当价带中的一个电子被热激发到上能带上后，价带中的电子数为2N-1个。

设被激发的电子的波矢为k,它的速度为v(k),其电流为-ev(k);其余2N-1个电子对外界的宏观电流为I2N-1,在没有外电场的状

况下，晶体的总电流应为零,即

+[YV(4)]=0即12NT二ev(左)

空穴的物理意义周旨：一个k状态空看的能带所产生的电流与一个带正电荷e,以该状态k、速度为v(k)运动着的粒子所产生的电流

或其他性质相同.

空穴也是一种准粒子。它也有相应的有效质量、动量、能量等单粒子的物理属性。

dv(k)_eE

dt%*(左)

空穴的有效质量为mh*(k),在外场E作用下，它的运动方程为

m*(^)=-m*(Zr)

穴的有效质量与电子的有效质量符号相反，即he

14.能态密度

电子在能带中的填充状况，不仅是要知道其中的电子数目，更重要的是要了解电子在E

能带中分布，即在每个能级上电子占据的状况，准确地说是每个能级上有多少个电子

可占据的状态。

设某能级上有3(E)个状态(不计自旋态)，

带顶

总状态数=»>(E)=N(N为原胞数)

E=带底

这样可表述为在某个能量值四周，单位能量间隔中有多少个状态。这就是能态密度。

明显，能态密度也是能量E的函数。

能带的状态密度gn(E)定义为

由于电子的能量E是k的函数。所以，在k空间中，E(k)=常数1是一个等能面。E

(k+dk)=E(k)+dE=常数2是另一个等能面。

=—^-yxdVk

（2兀）3

两等能面间的状态数dsn为

AVk=ldSdkJLa，为等能面上的面积元，du为两等能面间的垂直距离

VVr

dc）=---xdV.=----xJdSdk,二

nnrkr1

（2兀）3（2兀）3

dEn

二—xfdS

（2兀）3|V,E