无穷限反常积分敛散性及审敛法则教案

无穷限反常积分敛散性及审敛法则一、教学目标分析在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。让学生反常积分在一些实际问题中的应运。二、学情/学习者特征分析学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。三、学习内容分析1.本节的作用和地位通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。2．本节主要内容.无穷限反常积分的定义与计算方法.无穷限反常积分的性质.无穷限反常积分的比较审敛法则.条件收敛与绝对收敛.重点难点分析教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则；教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。.课时要求：2课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。五、教学策略在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。六.教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。七、教学过程一、无穷限反常积分的定义定义1设函数/定义在无穷区间［」•’上，且在任何有限区间［.「,］上可积．如果存在极限lim广f（x］dx-J则称此极限了为函数「在［」■’上的无穷限反常积分（简称无穷积分，记作’「…"，并称「…八收敛.如果极限不存在，亦称发散.,,r、：， 1 ,, Pf{x}dx-lim/门牙）4尤类似地，可定义’在（上的无穷积分：・对于「在（「’上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：""" 其中为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．注：'："小收敛的几何意义是：若‘‘.在।上为非负连续函数，则介于曲线1二丫，直线1'-以及嘴由之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积L

例1例1讨论无穷积分' 1',---, '的收敛性.例2讨论下列无穷积分的收敛性：'「， ' "二、无穷积分的性质由定义知道，无穷积分J" 收敛与否，取决于积分上限函数J在：一时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则．定理11.1无穷积分J 收敛的充要条件是：任给＞0,存在G〉一只要‘•.二"，便有f(x)dx-1'FfX)小=jf(x)dx<s此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质．性质1若J 与।"'J都收敛，'J为任意常数，则L"•二二：二\旌工也收敛，且「…」一心”性质2若『在任何有限区间［日，〃上可积，且有I"胤必收敛，收敛，并有f(x)f(x)小邑j|/(jc)|dx由收敛，根据柯西准则（必要性，任给「;，存在G＞，，当|“刘|“刘小三J|外幻也.利用定积分的绝对值不等式，又有[f(x}dx「ff刈欣u再由柯西准则（充分性，证得J "收敛又因U：m刈IT‘",令"'•取极限，立刻得到不等式.收再由柯西准则（充分性，证得J "收敛又因U：m刈IT‘",令"'•取极限，立刻得到不等式.收”.圻必收敛时，称'为绝对收敛.分，它自身也一定收敛．但是它的逆命题不成立为条件收敛．性质3指出：绝对收敛的无穷积称收敛而不绝对收敛的无穷积分性质3若''•在任何有限区间［口」上可积，「"h同敛态（即同时收敛或同时发散，且有J ；l,l：A=J；：^1'，'+-1f(x)dx性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出1'j"'收敛的另一充要条件：任给石＞0，存在仃之。，当u＞G时，总有事实上，这可由|f(事实上，这可由|f(=j*片)以+jf(田支代结合无穷积分的收敛定义而得.三、比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法.由于U首先给出无穷积分的绝对收敛判别法.由于U*刈心关于上限。是单调递增的，因此1 '收敛的充要条件是J 3''存在上界.根据这一分析，便立即导出下述比较判别法：定理11.2（比较法则设定义在［・''上的两个函数「和:・都在任何有限区间［.「」上可积，且满足

因此则当J."收敛时J必收敛(或当J发散时，J.必发散．例3讨论.1'的收敛性.广上二三「生。解：由于''I' ，而 为收敛，故 为绝对收敛．当选用I「作为比较对象」,时，比较判别法有如下两个推论(称为柯西判别法．推论1设「定义于［］(■■-"且在任何有限区间［.…'］上可积，则有：m刈［二［3")m刈［二［3"),八।(i当■ ，且尸।时,j收敛;(ii当卜?且时,1 发散.推论2设定义于［•1'•'，在任何有限区间［；1」上可积，且‘*""’.则有：(i当11 ，时，］收敛；(ii当11 ' '时，」发散.推论3若「和二都在任何［.,•”上可积c,则有推论3若「和二都在任何［.,•”上可积c,则有(ii当LL时，由I收敛可推知I''''「也收敛;二I""发散可推知1 也发散.四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法．定理11.3（狄利克雷判别法若•"'i.在［・''上有界，在［」-‘：上当''当''■时单调趋于U，则无穷积分I收敛．定理11.4（定理11.4（阿贝尔（Abel判别法若। a、收敛，二'.'在［•:•'上单调有界，则无穷积分J 收敛.用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法．产cosx,y…例5讨论」J,—(^)例5讨论」与.的收敛性.解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论．下面分两种情形来讨论：（i当、时一sin靠|vI（i当、时一sin靠|vI绝对收敛.这是因为'■而'1・'当”>1时收敛，故由比较法则推知收敛.,sin（ii当I'厂・时I5条件收敛.这是因为对任意:;〉1有，而,当时单调趋于I"、'，而,当时单调趋于I"、'',故由狄利克雷判别法推知」-工当」「时总是收敛的.，其中另一方面，由于是收敛的而是发散的，因此当「厂,时该无穷积分，其中另一方面，由于是收敛的而是发散的，因此当「厂,时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的．.Ysinxidx,,广一，一_—qrj八〃人，，， ［sinx2dx,\cos.Ysinxidx例6证明下列无穷积分都是条件收敛的.J 」证：前两个无穷积分经换元；.-•得到小， 2,sini(.«- 2广'rf{sin(Xr=]—~pdt,lcos内斯二I,血由例5知它们是条件收敛的.对于第三个无穷积分，经换元；■而得rjtsitix4dx=—[sinJdt'1