湖北省随州市随县2023-2024学年九年级上册联考数学试题

湖北省随州市随县2023-2024学年九年级上册联考数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．每题3分，计33分．）1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．若反比例函数y=kx(A．(−2，−3) B．(−3，3．下列事件中，属于随机事件的有（）①任意画一个三角形，其内角和为360°；②投一枚骰子得到的点数是奇数；③经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；④从日历本上任选一天为星期天．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④4．关于x的方程x²＋mx＋6＝0的一个根为－2，则另一个根是（）A．－3 B．－6 C．3 D．65．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=145°，则∠AOC的大小是（）A．75° B．100° C．70° D．60°6．在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、A．y=3(x−5)2+5C．y=3(x+5)2+57．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC=（）A．80° B．85° C．90° D．95°8．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（）A．6米 B．8米 C．18米 D．24米9．2024元旦将近，九（3）班数学社团在迎新聚会上，大家长都相互握了一次手互祝新年顺利，经统计所有人一共握了66次手，则这次参加聚会的人数是（）A．11 B．12 C．22 D．3310．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+bA．B．C．D．11．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A1BA．73π−783 B．43二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每题3分，计12分．）12．已知a、b、c满足a3=b4=13．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．14．如图，点A是反比例函数y=12x(x>0)的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y=kx15．关于x的一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根，则抛物线y=x三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9题，计75分．）16．请选择适当方法解下列方程：（1）2x(x−3)+x=3 （2）2x17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕C点逆时针旋转90°后得到的△A2B2C．18．邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．（1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是．（2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．19．如图，反比例函数y1=kx(k≠0)与一次函数y（1）则k=，b=，n=（2）观察图像，请直接写出满足y1（3）若Q为y轴上的一点，使QA+QB最小，求点Q的坐标．20．临近春节，随州特产“泡泡青”已经上市，今年万达永辉超市以每件25元的进价购进一批“泡泡青”，当售价为40元时，十月份销售256件，十一、十二月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，十二月份的销售量达到400件．（1）求十一、十二这两个月销售量的月平均增长百分率．（2）经市场预测，2024年一月份的销售量将与十二月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，超市一月份可获利4250元？21．如图，BE是圆O的直径，A在EB的延长线上，∠AOD=∠APC，弦PD垂直于BE于点C．（1）求证：AP为圆O的切线；（2）若OC：CB=1：2，AB=6，求圆22．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为(−32，−10)．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM=212，EN=272，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x−h）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN23．问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE．（1）【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；（2）【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC；（3）【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE.点D在运动过程中，△DEC的周长最小值=(直接写答案)24．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A和B(3，0)两点，与y轴交于C(0，−2)，对称轴为直线x=54，连接BC，在线段BC上有一动点P，过点P（1）求抛物线与直线BC的函数解析式；（2）设点M的坐标为(m，0)，求△PCN面积的最大值；（3）若点P在线段BC上运动，则是否存在这样的点P，使得△CPN与△BPM相似，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请写出理由．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；

B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；

C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意.

故答案为：A.

【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此判断即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：∵反比例函数y=kx(∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，1×（﹣6）＝﹣6，，6×1＝6≠﹣6，则它一定还经过（1，﹣6），故答案为：C.

【分析】将点（2，-3）代入函数解析式，可求出k的值，再根据k=xy=-6，可得到该图象所经过的点的坐标的选项.3．【答案】B【解析】【解答】解：①任意画一个三角形，其内角和为360°，属于不可能事件；②投一枚骰子得到的点数是奇数，属于随机事件；③经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件；④从日历本上任选一天为星期天，属于随机事件．故答案为：B.

【分析】随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件是在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是在一定条件下，一定不发生的事件；据此判断即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：设方程的另一根为x1又∵x∴根据根与系数的关系可得：x1解得：x1=−3，故答案为：A．【分析】设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系可得x5．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，且∠ADC=145°，

∴∠B=180°-∠ADC=35°，

∴∠AOC=2∠B=70°.

故答案为：C.

【分析】由圆内接四边形对角互补可求∠B的度数，再利用圆周角定理可得∠AOC=2∠B，继而得解.6．【答案】D【解析】【解答】解：抛物线y=3x2的顶点为（0，0），

∵抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移5个单位，

∴新坐标系内抛物线的顶点坐标为（-5-，5），

∴新坐标系中此抛物线的解析式为y=3(x+5)7．【答案】B【解析】【解答】∵将三角形ABC绕点A旋转65°得到ADE，∴∠BAD=65°，∠C=∠E=70°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=90°-∠C=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=85°，故答案为：B．

【分析】根据旋转的性质可得∠BAD=65°，∠C=∠E=70°，再结合∠CAD=90°-∠C=20°，最后利用角的运算可得∠BAC的度数。8．【答案】B【解析】【解答】由题意知：光线AP与光线PC，∠APB=∠CPD，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴ABCD=BPPD，故答案为：B【分析】根据光线反射的性质，∠APB=∠CPD，又AB⊥BD，CD⊥BD，可得Rt△ABP∽Rt△CDP，根据相似三角形的对应边成比例列出式子，求出CD的长度。9．【答案】B【解析】【解答】解：设这次参加聚会的人数为x，

根据题意得：12x（x-1）=66，

解得x1=12，x2=-11（舍），

∴这次参加聚会的有12人.

故答案为：B.

【分析】设这次参加聚会的人数为x，则每人握（x-1）次手，共握110．【答案】B【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴为x=-b2a＞0，

∴b＜0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

∴一次函数y=ax+b的图象经过一、三、四象限，反比例函数y=cx的图象位于一三象限，

∴B项符合.

故答案为：B.11．【答案】C【解析】【解答】解：连接BH1，BH，

由旋转可得：△BHO≌△BH1O1，∠HBH1=∠OBO1=120°，BC=BC1=2，

则△BHO的面积=△BH1O1的面积，

∴阴影部分面积=扇形BHH1的面积-扇形BOO1的面积，

∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，

∴AC=3BC=23，AB=A1B=2BC=4，

∵O，H分别为边AB，AC的中点，

∴CH=3，

∴BH=BC2+CH2=7，

∴阴影部分面积=扇形BHH1的面积-扇形BOO1的面积=120π（BH2-BC12）360=120π（7-4）12．【答案】7【解析】【解答】解：设a3=b4=c6=k，∴a=3k，b=4k，c=6k，∴a+bc-b=3k+4k6k-4k13．【答案】60【解析】【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=120°，

∴∠OAB=∠OBA=30°，

当∠CAB=60°时，∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°，

∵OA为半径，

∴AC为⊙O的切线．

故答案为：60.

【分析】由等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA=30°，当OA⊥AC时，AC为⊙O的切线，据此求出∠CAB的度数即可．14．【答案】8【解析】【解答】解：过点A、B分别作y轴垂线，垂足为D、E，则三角形APB的面积等于四边形ABED面积的一半，根据反比例函数系数k与几何面积的关系可列方程：2=12−k解得：k=8，故答案为：8.

【分析】过点A、B分别作y轴垂线，垂足为D、E，根据同底等高的性质得出△APB的面积等于四边形ABED面积的一半求出四边形ABED面积，然后根据反比例函数系数k与几何面积的关系列方程求解即可.15．【答案】三【解析】【解答】解：一元二次方程x2∴抛物线y=x2+x−n顶点横坐标为：x=−b2a=−12×1∴抛物线顶点在第三象限，故答案为：三．【分析】根据题意抛物线y=x2+x−n16．【答案】（1）解：2x(x−3)+x=3，2x(x−3)+x−3=0，(2x+1)(x−3)=0，∴x1=3，（2）解：2x∵a=2，b=−6，c=1，∴b2∴x=−b±∴x1=3+【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；

（2）利用公式法解一元二次方程即可.17．【答案】（1）解：如图，△A（2）解：如图，△A【解析】【分析】（1）把点A，B，C的横纵坐标都乘以2得到A1，B1，C118．【答案】（1）1（2）解：直接使用图中的序号代表四枚邮票，由题意画出树状图，如图所示：由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相等．其中，恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的结果有2种，∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为：212【解析】【解答】解：(1)从4种邮票任取一张共有4种情况，其中“冬季两项”只有1种情况，恰好抽到“冬季两项”的概率是14故答案为：14

【分析】注意画树状图时，要列出所有的等可能事件，不能重复不能遗漏。19．【答案】（1）3；4；1（2）解：0＜x≤1或x≥3（3）解：作A关于y轴的对称点A'，连接A∵A(1，∴A关于y轴的对称点A'设直线A'B的解析式为y=ax+c，将A'∴−a+c=33a+c=1，解得：a=−∴直线A'B的解析式为令x=0，则y=5∴Q(0，【解析】【解答】（1）解：∵反比例函数y1=kx(k≠0)与一次函数y∴k=3，3=−1+b，∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：y1=3将点B(3，n)代入y1故答案为：3，4，1（2）解：由图像可得：满足y1≥y2的取值范围是

【分析】（1）将点A、B的坐标代入y1=kx(k≠0)求出k、n的值，再将点A的坐标代入y2=−x+b求出b的值即可；

（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；

（3）作A关于y轴的对称点A'，连接20．【答案】（1）解：设平均增长率为x由题意得：256×(1+x)解得：x=0.25或∴这两个月的月平均增长百分率为25%（2）解：设降价y元，由题意得：(40−y−25)(400+5y)=4250，整理得：y2解得：y=5或y=−70（舍）；∴当商品降价5元时，商场可获利4250元．【解析】【分析】（1）设平均增长率为x，根据十月份的销售量×（1+增长率）2=十二月份的销售量，列出方程并解之即可；

（2）设降价y元，根据总利润=单件的利润×销售量，列出方程并解之即可.21．【答案】（1）证明：连接OP，如图所示：∵弦PD垂直于BE于点C，∴∠AOP=∠OCD=90°，又∵∠AOD=∠APC，∴△ACP∽△DCO∴∠A=∠D∵OP=OD∴∠OPC=∠D∴∠OPC=∠A∵∠A+∠APC=90°∴∠OPC+∠APC=90°即∠APO=90°∴OP⊥AP，∴AP为圆O的切线；（2）解：∵OC∴设OC=x则CB=2x，OP=OB=3x；在Rt△OPC中，由勾股定理得：CP由（1）中可知∠OPC=∠A，∠OCP=∠ACP=90°∴Rt△OCP∽Rt△PCA∴∴∴即CP∴8解得x=0（舍去），x=1，∴OP=OB=OE=3，∴CP=∵CE=OC+OE=1+3=4∴PC【解析】【分析】（1）连接OP，先证∴△ACP∽△DCO，可得∠A=∠D，结合等腰三角形的性质可推出∠A=∠OPC，从而得出∠APO=∠OPC+∠APC=∠A+∠APC=90°，根据切线的判定定理即证；

（2）可设OC=x，则CB=2x，OP=OB=3x，由勾股定理可得CP2=8x2，再证Rt△OCP∽Rt△PCA，利用相似三角形的性质可得CP22．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=将(0，0)∴抛物线的解析式为y=−令y=−10，则−10=−解得：x∴入水处B点的坐标(4，−10)（2）解：距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为：x=5−将x=72∵−∴该运动员此次跳水失误了（3）解：∵EM=212，EN=∴点M、N的坐标分别为：(9∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x−h）y=a(x−∴当抛物线经过点M时，把点M(9，−10)同理，当抛物线经过点N(12，−10)由点D在MN之间可得：1【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出y=-10时x值，即得点B坐标；

（2）距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为x=5−32=72，把x=72代入解析式求出y值，求出−10516−(−10)23．【答案】（1）解：BD=CE，理由如下：∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，∴AD=AE，∠DAE=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE；（2）证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴∠ADE=∠AED=60°，∴∠ADB=120°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ADB=∠AEC=120°，∴∠BEC=60°，∴∠BEC=∠AED=60°，∴EB平分∠AEC；（3）2+【解析】【解答】解：(3)如图，由旋转的性质可得AD=AE，∠DAE=60°，

∴AD=DE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠B=∠BAC=60°=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴BD=CE，

∴C△DEC=DE+DC+CE=AD+DC+BD=AD+BC，

∵点D是线段BC上的动点，

∴当AD⊥BC时，△DEC的周长有最小值，

∵△ABC是边长为2的等边三角形，AD⊥BC，

∴BD=12BC=1，∠ADB=90°，

∴AD=3BD=【分析】(1)由旋转的性质可得AD=AE，∠DAE=60°，再利用等边三角形的性质得到AB=AC，∠BAC=60°，进而证得∠BAD=∠CAE，然后通过SAS判定△ABD≌