奇特的普朗克常数从理论到数学上的推导过程

奇特的普朗克常数从理论到数学上的推导过程一、引言普朗克常数作为量子力学中的重要物理常数，其在数学上的推导过程一直备受关注.1900年德国物理学家普朗克在研究黑洞辐射时遇到了难题.当时计算黑体辐射需要用到两个公式，一个在短波辐射中适用，另一个在长波辐射中适用.然而，普朗克在一次偶然的数学计算中，将这两个公式强行拼成了一个公式.他发现这个黑体辐射公式能够很好地解释一切波长的能量辐射问题，但前提是能量的辐射不是连续不断的，而是一段一段的，由能量的最小单位（量子）传递.每一份能量子等于普朗克常数乘以辐射电磁波的频率.这一理论的提出，开辟了物理学的新领域——量子力学.基于此，普朗克根据能量辐射公式推导出了普朗克常数.另一方面，海森堡于

1927年提出了不确定性原理.该原理指出，不可能同时精确确定一个基本粒子的位置和动量.粒子位置的不确定性和动量不确定性的乘积必然大于等于普朗克常数除以4π，即ΔxΔp≥h/4π.这表明微观世界的粒子行为与宏观物质有很大不同.考虑到量子力学的不确定性原理，一些基本量度，如长度和时间具有不确定性，而不确定的程度由普朗克常数确定.从该常数可以定出最小的长度量子，即普朗克长度；同时作为时间量子的最小间隔即普朗克时间，也是最短的时间，没有比这更短的时间存在.在客观现实中，各种物理量之间存在着关系，这说明它们的结构必然由若干统一的基础成分所组成，这些基本构成成分统称为量纲.由于物理学研究物质在时空中的演化和运动，所以一切定量问题最终离不开质量、时间和长度这三种基本量.因此，最适宜选取

M、T、L作为这三种基本量的量纲，一切其他导出量的量纲可按定义或客观规律表成这三种基本量的量纲组合.1899年马克斯・普朗克提出了一套特殊的单位制，他试图通过光速、约化普朗克常数、牛顿引力常数这三个基本物理学常数来构建长度、时间、质量、能量等基本物理量的基本单位，这些基本单位统称为普朗克量纲.通过量纲分析计算可发现，当测量物体位置的精准度达到普朗克长度以下时，会出现一个矛盾性问题：要测量一个物体的位置，我们得用照在其上的光反射，如果对它的位置要测到很高的精确度，我们必须用更短波长的光子，但这样这些光子的能量会更高.如果这光子的能量高到一个程度，它们就会在撞到物体时产生黑洞，而这个黑洞可以“吞噬掉”光子而让实验失败.因此在任何结合广义相对论与量子力学的量子引力理论中，若在时间短于普朗克时间、距离小于普朗克长度的尺度下，时间和长度等量纲就会失去意义.在氢原子中，电子和质子作为围绕其质心经典轨道运动，属两体问题，数学上可以通过电子相对于质子运动的描述将两体问题单体化，同时要求采用电子的有效质量代替电子质量，对电子相对于质子的运动的计算分析结果进行修正，这是经典理论对两体轨道运动的标准而准确处理方法.二、理论出发点1.普朗克发起的量子学理论1900年德国物理学家普朗克在研究黑洞辐射时遇到了难题.当时计算黑体辐射需要用到两个公式，一个在短波辐射中适用，另一个在长波辐射中适用.然而，普朗克在一次偶然的数学计算中，将这两个公式强行拼成了一个公式.他发现这个黑体辐射公式能够很好地解释一切波长的能量辐射问题，但前提是能量的辐射不是连续不断的，而是一段一段的，由能量的最小单位（量子）传递.每一份能量子等于普朗克常数乘以辐射电磁波的频率.这一理论的提出，开辟了物理学的新领域——量子力学.基于此，普朗克根据能量辐射公式推导出了普朗克常数.根据普朗克提出的量子学理论，科学家们得出了物理学上最小的距离单位普朗克长度.这关系称为普朗克关系，它由引力常数、光速和普朗克常数的相对数值决定，是物理学意义上最小的距离单位.然后，又通过普朗克常数又推断出了普朗克温度、普朗克时间等物理常数.普朗克公式的推导也为我们理解普朗克常数提供了重要的线索.首先，考虑一个边长为

L的正方体盒子，里面充满了电磁辐射，能够发出形成受盒子大小限制的驻波.波长可以表示为：i=2L/ni（ni是非零自然数，i代表笛卡尔坐标系的三个维度）.根据量子力学，一个给定态的能量可以用：En=N+1/2hc²/λ²，其中h代表普朗克常量，N代表这种态的个数，或是光子数，或是给定能量数.其次考虑光子气的统计力学.为了推导光子气的能量密度，我们首先需要知道在给定温度下，一种光子气的能量状态可能和哪些物理量有关.我们求助于统计力学，揭示的公式如下：PN=e⁻ᵉ/ᵏᵀ/Z(β)，这里β代表的是热力学能量的倒数，即：

β=1/kBT，Z（β）是一个因子，被称为分割函数.其公式如下：Z=∑ₙ₌₀⁰⁺e⁻ᵉ/ᵏᵀ=1/1-e⁻ᵉ/ᵏᵀ，其中：

ε=hc²/λ²=hc/λ=hν，即单个光子的能量.根据统计力学，一种给定态的平均能量（其和平均光子数有关）可表示为：ε=-dlnZ/dβ=e⁻ᵉ/ᵏᵀ/1.光子气的能量密度为：U=∫₀⁰⁺Eg(ε)dε=∫₀⁰⁺e⁻ᵉ/ᵏᵀ/1g(ε)dε，g(ε)是指状态密度的函数，它给出了在单位能量间隔和+dε中，允许存在的态的个数.可表示为：g(ε)dε=8πL³h³c³/ε²dε，所以单位体积的能量为：

U/L³=∫₀⁰⁺8πh³c³/ε²e⁻ᵉ/ᵏᵀ/1dε，被积函数是光谱能量密度，该式还可以用波长和频率表达：

U/L³=∫₀⁰⁺u(λ,T)dλ=∫₀⁰⁺u(ν,T)dν.黑体辐出度假设黑体的一侧被挖了一个小孔，所有从这个小孔辐射出的辐射波都以光速前进.而且这些辐射出的波以

2π的半球立体弧度均匀分配，并且有一半能量是朝外发射的.所以光谱辐出度可以被定义为：U(λ,T)=1/2u(λ,T)c²=2hc²/λ⁵/ehc/λkBT-1.2.基于不确定性原理1927年海森堡提出不确定性原理，即不可能同时精确确定一个基本粒子的位置和动量，其乘积必然大于等于普朗克常数除以4π.由该原理可定出最小长度量子即普朗克长度，以及最短时间量子即普朗克时间.不确定性原理反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中一个极为重要的关系.它包括多种表示式，其中有两个是：ΔxΔp≥h/4π和ΔEΔt≥h/4π.前一式子表明，当粒子被局限在

x方向的一个有限范围∆x内时，它所对应的动量分量Px必然有一个不确定的数值范围∆Px，两者的乘积满足ΔxΔp≥h/4π.换言之，假如x的位置完全确定，那么粒子可以具有的动量Px的数值就完全不确定.当粒子处于一个

Px数值完全确定的状态时，我们就无法在x方向把粒子固定住，即粒子在x方向的位置是完全不确定的.后一式子表明，若一粒子在能量状态E只能停留∆t时间，那么，在这段时间内粒子的能量状态并非完全确定，它有一个弥散；只有当粒子的停留时间为无限长时（稳态），它的能量状态才是完全确定的.关于基本粒子的不确定原理，有人指出对于基本粒子：

ΔxΔp=h.基本粒子是相互绕转的两个正、负元电荷，遵循的规律是

M²R=Q=3.95×10⁻⁸⁵，其中M是基本粒子的质量、R是基本粒子的空间半径、Q是常数.基本粒子的角动量：

L=mvR=h，所以h=mvR，这个结论可以变形为ΔRΔp=h，即基本粒子位置的不确定性和动量不确定性的乘积等于普朗克常数，这样就把海森堡的不确定性原理推向极致，即基本粒子位置的不确定性和动量不确定的乘积是确定的.同时也论证了不存在完全相同的两个基本粒子.海森堡不确定性原理也被认为是纯数学现象.傅里叶变换是描述时间信号和频率信号之间双重关系的工具，信号可以用时间或频率表示的正弦波来构造，所有波和物质（共轭变量）都必须遵从一系列的不确定性原理，真正导出这些原理的是一个数学事实.傅里叶变换的标度特性意味着，如果我们在时间上压缩信号，相当于在频率空间（水平）上扩展信号，反之亦然.通过维度进行分析可以看出，如果把时间展宽变大，频率展宽就会变小，反之亦然.普朗克时间是物理学中最短的时间尺度，约为

5.391247×10⁻⁴⁴秒.它是由自然常数组合而成的一种时间单位.通常通过以下公式定义：tP=√(hG/c⁵)，其中G是引力常数，表示两个质量间的引力作用；h是普朗克常数，表征量子力学中能量与频率的关系；c是光速，表示光在真空中的传播速度.普朗克时间与量子力学中的不确定性原理紧密相关，当时间间隔极其短暂（接近普朗克时间的数量级），那么系统的能量不确定性将非常大，甚至达到无限大.这会导致时空的极端弯曲，可能形成黑洞或其他极端时空结构.普朗克时间可以被视为量子效应和引力效应共同作用下的一个极限时间.超过这一极限，时空结构可能不再遵循经典物理学的规则，而需要新的量子引力理论来描述.在广义相对论中，时空不是固定的，而是可以根据质量和能量的分布发生弯曲和扭曲.在普朗克尺度下，时空的这种弯曲和扭曲达到了极限，时空不再是连续的，而是量子化的.普朗克时间的推导基于普朗克单位制，这是一组使用自然常数的单位系统.普朗克单位制中的单位完全由引力常数、普朗克常数、光速和库仑常数决定.这些常数通过数学组合可以推导出普朗克时间.普朗克时间具有重要的物理意义，在普朗克时间尺度下，时空充满了量子涨落，可能会产生微小的黑洞或其他极端现象.同时，普朗克时间也为我们提供了一种理解宇宙起源的新视角，在大爆炸理论中，宇宙诞生时的极短瞬间称为“普朗克时代”，这个时期的时间尺度恰好是普朗克时间.虽然目前的科技手段还无法直接测量这么短的时间，但科学家们通过测量自然界中的其他物理常数来推导普朗克时间，并在粒子加速器实验中，通过研究高能物理现象和极端条件下的粒子行为，能够间接验证普朗克尺度的理论预测.三、普朗克尺度的推导过程量纲分析可检查物理方程计量正确性并寻找规律线索.物理学研究物质在时空中的演化和运动，选取

M、T、L作为基本量纲.普朗克提出特殊单位制，试图通过光速、约化普朗克常数、牛顿引力常数构建基本物理量单位，即普朗克量纲.首先，通过量纲分析计算可发现，当测量物体位置的精准度达到普朗克长度以下时，会出现一个矛盾性问题.要测量一个物体的位置，我们得用照在其上的光反射，如果对它的位置要测到很高的精确度，我们必须用更短波长的光子，但这样这些光子的能量会更高.如果这光子的能量高到一个程度，它们就会在撞到物体时产生黑洞，而这个黑洞可以“吞噬掉”光子而让实验失败.许多资料中都对普朗克尺度的量纲分析进行了深入探讨.例如，在“简析普朗克尺度的推导过程”中提到，统一信息论采信了普朗克尺度等量纲，主要是因为普朗克量纲是建立在一个接近于纯自然化的过程.通过量纲分析可以看出，普朗克质量的意义大约是一个史瓦西半径等同于康普顿波长的黑洞所带有的质量，这黑洞的半径大约是普朗克长度.在“以量纲分析重新发现普朗克公式-”和“以量纲分析重新发现普朗克公式-”中，强调量纲分析在黑体辐射研究中的重要性，以及如何通过量纲分析辅助推导出正确的辐射公式.同时，还提到了量纲分析往往会产生一些无量纲的未知函数或未知系数，这时需要借助其他知识诸如已知特例或实验规律.“普朗克尺度和普朗克时间”中指出，普朗克通过三个基本物理学常数：光速、约化普朗克常数和牛顿引力常数来构建长度、时间、质量、能量等基本物理量的基本单位.普朗克尺度和普朗克时间在量子力学和引力理论中具有重要意义.综上所述，通过量纲分析可发现，在任何结合广义相对论与量子力学的量子引力理论中，若在时间短于普朗克时间、距离小于普朗克长度的尺度下，时间和长度等量纲就会失去意义.四、结论普朗克常数的数学推导过程复杂而神秘，通过不同的理论出发点和推导方法，我们可以更深入地理解这个重要的物理常数在量子力学中的地位和作用.首先，从普朗克发起的量子学理论和海森堡提出的不确定性原理这两个关键的理论出发点，以及量纲分析和罗教明教授的推导方法等多个角度来看，普朗克常数的推导过程丰富多样且相互印证.普朗克发起的量子学理论为普朗克常数的推导奠定了基础.通过对黑体辐射问题的研究，普朗克发现能量的辐射是不连续的，而是以量子的形式传递.这一理论的提出，不仅开辟了量子力学这一新领域，还让我们能够根据能量辐射公式推导出普朗克常数.同时，基于普朗克常数，我们又可以推断出普朗克长度、普朗克温度和普朗克时间等物理常数.海森堡的不确定性原理也为普朗克常数的推导提供了重要线索.该原理指出，不可能同时精确确定一个基本粒子的位置和动量，其乘积必然大于等于普朗克常数除以

4π.这表明微观世界的粒子行为与宏观物质有很大不同，而普朗克常数则在其中起到了关键的作用.通过不确定性原理，我们可以定出最小长度量子即普朗克长度，以及最短时间量子即普朗克时间.普朗克时间与量子力学中的不确定性原理紧密相关，当时间间隔极其短暂，接近普朗克时间的数量级时，系统的能量不确定性将非常大，甚至达到无限大.这会导致时空的极端弯曲，可能形成黑洞或其他极端时空结构.量纲分析在普朗克常数的推导过程中也发挥了重要作用.通过量纲分析可以检查反映物理现象规律的方程在计量方面是否正确，甚至可以寻找物理现象某些规律的线索.普朗克提出了一套特殊的单位制，试