专题01 实数精讲精练（解析版）

第01讲实数

1.理解有理数的意义，能用数轴表示有理数

2.借助数轴理解绝对值的意义，掌握有理数的绝对值的方法，知道a的含义

3.掌握有理数的四则运算

4.理解乘方的意义

5.理解有理数的运算律

6.了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根

7.了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根

8.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内的平方根

9.了解无理数和实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应

10.能求实数的相反数与绝对值

11.能估计无理数的大致范围

12.了解近似数的概念

★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴

第1页共75页.

考点1：实数的分类..............................................................3

考点2：数轴的相关计算.........................................................10

考点3：相反数.................................................................16

考点4：绝对值.................................................................20

考点5：科学记数法.............................................................27

考点6：近似数.................................................................31

考点7：实数的大小比较.........................................................37

考点8：平方根、算术平方根、立方根.............................................41

考点9：实数的运算.............................................................48

课堂总结：思维导图............................................................54

分层训练：课堂知识巩固........................................................55

第2页共75页.

考点1：实数的分类

①实数分类

②无理数几种常见类型：

1.开不尽的数型：如5，8等开方开不尽的数；

2.构造型：如0.1010010001…；

3.π及含π的数：如π，π＋4等．另外依靠勾股定理的计算，估算无理数的大小.

4.三角函数

第3页共75页.

【例题精析1】｛无理数-判断★｝在下列实数中，无理数是()

1

A．sin45B．C．0.3D．tan45

3

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数

与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

21

【解答】解：A．sin45，是无理数，故本选项符合题意；B．是分数，属于有理数，故本选项不

23

合题意；C．0.3是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；D．tan451，是整数，属于有理数，

故本选项不合题意；故选：A．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；

以及像0.1010010001，等有这样规律的数．

【例题精析2】｛实数概念综合★｝下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根

号的数；③负数没有立方根；④64的平方根是8．其中正确的有()

A．0个B．1个C．2个D．3个

【分析】直接利用实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义分别分析得出答案．

【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，符合题意；②无理数是无限不循环小数，原说法不合题

意；③负数也有立方根，原说法不合题意；④648的平方根是22，原说法不合题意．故选：B．

【点评】此题主要考查了实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义，正确掌握相关定

义是解题关键．

【例题精析3】｛实数分类★｝下列说法正确的是()

A．正整数、负整数统称为整数B．正分数、负分数统称为分数

C．正数、负数统称为有理数D．整数、分数、小数都是有理数

【分析】根据有理数的定义及其分类求解可得．

【解答】解：A．正整数、零、负整数统称为整数，故本选项不合题意；B．正分数、负分数统称为分数，

说法正确，故本选项符合题意；C．正有理数、0、负有理数统称为有理数，故本选项不合题意；

D．整数、分数、小数都是有理数，说法错误，无限不循环小数不是有理数，故本选项不合题意；故选：B．

【点评】本题考查了有理数，掌握有理数的相关定义是解答本题的关键．

【例题精析4】｛无理数-程序图★★｝（凉山州·中考真题）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x

第4页共75页.

为64时，输出的y是()

A．22B．32C．23D．8

【分析】把x64代入数值转换器中计算确定出y即可．

【解答】解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8，8是有理数，结果8为无理数，

y822．故选：A．

【点评】此题考查了实数，弄清数值转换器中的运算是解本题的关键．

【例题精析5】｛实数概念综合★｝（河北·中考真题）如图为张小亮的答卷，他的得分应是()

A．100分B．80分C．60分D．40分

【分析】根据绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数进行计算即可．

1

【解答】解：1的绝对值为1，2的倒数为，2的相反数为2，1的立方根为1，1和7的平均数为3，

2

故小亮得了80分，故选：B．

【点评】本题考查了实数，掌握绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数的定义是解题的关键．

【例题精析6】｛实数-新定义★★｝（2020•长沙）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这

个节日的昵称是“(Day)”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接

近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发

展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7

位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：

①圆周率是一个有理数；

②圆周率是一个无理数；

③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；

第5页共75页.

④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．

其中表述正确的序号是()

A．②③B．①③C．①④D．②④

【分析】根据实数的分类和的特点进行解答即可得出答案．

【解答】解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，

所以表述正确的序号是②③；故选：A．

【点评】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“”的意义是解题的关键．

第6页共75页.

1

【对点精练1】｛无理数-判断★｝（2020•遂宁）下列各数3.1415926，9，1.212212221，，2，

7

2020，34中，无理数的个数有3个．

【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，找出无理数的

个数．

【解答】解：在所列实数中，无理数有1.212212221，2，34这3个，故答案为：3．

【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的掌握无理数的三种形式：①开方开不尽得到的无限不循环

小数，②无限不循环小数，③含或由构造的无限不循环小数．

【对点精练2】｛实数概念综合★★｝下列说法：①0.25的平方根是0.5；②任何数的平方都是非负数，

因而任何数的平方根也是非负数；③任何一个非负数的平方根都不大于这个数；④平方根等于本身的

数是0．其中正确的是()

A．④B．①②C．②③D．③

【分析】根据平方根的定义即可求出答案．

【解答】解：①负数没有平方根，故①不符合题意．②一个正数的平方根有两个，且互为相反数，故②不

1111

符合题意．③的平方根为，此时的平方根大于，故③不符合题意．④平方根等于本身的数是0，

4244

故④符合题意．故选：A．

【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．

【对点精练3】｛实数分类★｝下列说法中，正确的是()

【知识拓展】（自然数：。）

A．正有理数和负有理数统称有理数B．一个有理数不是整数就是分数

C．零不是自然数，但它是有理数D．正分数、零、负分数统称分数

【分析】根据有理数的分类，可得答案．

【解答】解：A、整数和分数统称有理数，故A错误；B、整数和分数统称有理数，故A正确；

C、零是自然数，是有理数，故C错误；D、正分数、负分数统称分数，故D错误；故选：B．

【点评】本题考查了有理数，利用了有理数的意义．

【对点精练4】｛实数-新定义★★★｝（2021•随州）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研

制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，

第7页共75页.

22355

他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密

7113

率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：

bdbd

设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有x，其中a，b，c，d为正整数），

acac

bd15722

则是x的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一

ac507

1572217917917922

个更为精确的近似分数为：；由于3.1404，再由，可以再次使用

5075757577

73

“调日法”得到的更为精确的近似分数现已知2，则使用两次“调日法”可得到2的近

52

似分数为．

【分析】根据“调日法”逐次进行计算求解．

737310

【解答】解：2，利用一次“调日法”后可得到2的一个更为精确的近似分数为：，

52527

10100100710

且2，2再次使用“调日法”得到2的更为精确的近似分数为：

7494957

7101717

．故答案为：．

571212

【点评】本题考查简单的推理与证明，根据“调日法”的定义进行计算是解决本题的关键，是基础题，考

查了计算能力．

第8页共75页.

22

【实战经典1】（2021•永州）在0，，0.101001，，38中无理数的个数是1个．

7

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数

与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．

22

【解答】解：0，382，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；0.101001是有限小数，属于有

7

理数；无理数有，共1个．故答案为：1．

【点评】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理

数，无限不循环小数为无理数．如，2，0.8080080008（每两个8之间依次多1个0)等形式．

31

【实战经典2】（通辽·中考真题）实数tan45，38，0，，9，，sin60，0.3131131113

53

（相邻两个3之间依次多一个1)，其中无理数的个数是()

A．4B．2C．1D．3

【分析】掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，结合题意判断

即可．

31

【解答】解：在实数tan45，38，0，，9，，sin60，0.3131131113（相邻两个3之间依次

53

3

多一个1)中，无理数有：，sin60，0.3131131113（相邻两个3之间依次多一个1)，共3个，

5

故选：D．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，熟记无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，

③含有的数是解题的关键．

第9页共75页.

考点2：数轴的相关计算

（1）三要素：原点、正方向、单位长度

（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大

第10页共75页.

【例题精析1】｛数轴的几何意义★★｝（泰安·中考真题）如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对

应的点分别为M，N，P，Q，若nq0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是()

A．pB．qC．mD．n

【分析】根据nq0可以得到n、q的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最

大，本题得以解决．

【解答】解：nq0，n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，绝对值最大的点P表示的数p，

故选：A．

【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．

【例题精析2】｛实数的几何意义★｝如图，数轴上点C所表示的数是()

A．13B．22C．3.6D．3.7

【分析】利用数轴表示数得到OA3，利用基本作图得到AB2，再利用勾股定理计算出OB，从而得到OC

的长，然后利用数轴表示数的方法得到C点表示的数．

【解答】解：OA3，AB312，OB13，OCOB13，

点C表示的数是13，故选：A．

【点评】本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系；以及勾股定理的基本计算．也考查

了基本作图．

【例题精析3】｛数轴的计算★｝（2021•福州模拟）若实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图

所示，则①a4；②bd0；③|a|c2；④cd的结论中，正确的是()

A．①②B．①④C．②③D．③④

【分析】①根据在数轴上，右边的点表示的数比左边的大即可判断；②根据异号两数的加法法则判断；

③注意到c是一个真分数，所以c21，而|a|3，从而作出判断；④先判断c2与d的大小，再开方即可．

第11页共75页.

【解答】解：①根据在数轴上，右边的点表示的数比左边的大可知：a4，符合题意；

②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，取d的符号正号，所以bd0，不符合题意；

③|a|3，c21，|a|c2，不符合题意；④c21，d2，c2d，cd，符合题意；故选：B．

【点评】本题考查了实数与数轴，解题的关键是注意到c是一个真分数，所以c21．

【对点精练1】｛实数的几何意义★｝（成都中考真题）如图，数轴上点A表示的实数是．

第12页共75页.

【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．

【解答】解：由图形可得：1到A的距离为12225，则数轴上点A表示的实数是：51．

故答案为：51．

【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出1到A的距离是解题关键．

【对点精练2】｛数轴的计算★｝（2019•北京）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，

将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若COBO，则a的值为()

A．3B．2C．1D．1

【分析】根据COBO可得点C表示的数为2，据此可得a213．

【解答】解：点C在原点的左侧，且COBO，点C表示的数为2，a213．故选：A．

【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．

【对点精练3】｛数轴的计算★★★｝有一题目：点P、Q、M分别表示数1、1、5，三点在数轴上同

时开始运动，点P运动方向是向左，运动速度是2/s；点Q、M的运动方向是向右，运动速度分别1/s、

3/s，如图，在运动过程中，甲、乙两位同学提出不同的看法：

甲：3PM5PQ的值不变；

乙：5QM3PQ的值不变；

下列选项中，正确的是()

A．甲、乙均正确B．甲正确、乙错误

C．甲错误、乙正确D．甲、乙均错误

【分析】设运动时间为ts，用含t的代数式表示PM、PQ、QM，代入3PM5PQ和5QM3PQ计算即

可得到答案．

【解答】解：设运动时间为ts，点P、Q、M分别表示数1、1、5，

P运动后表示的数是12t，Q运动后表示的数是1t，M运动后表示的数是53t，

PM(53t)(12t)5t6，PQ(1t)(12t)3t2，QM(53t)(1t)2t4，

3PM5PQ3(5t6)5(3t2)8，5QM3PQ5(2t4)3(3t2)t2，

3PM5PQ的值不变，5QM3PQ的值随t的增大而增大，甲正确、乙错误，故选：B．

第13页共75页.

【点评】本题考查数轴上点表示的数，解题关键是掌握数轴上点移动后表示的数的规律：左减右加．

【实战经典1】（2021•广州）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且ab0，若AB6，则

点A表示的数为()

第14页共75页.

A．3B．0C．3D．6

【分析】根据相反数的性质，由ab0，AB6得a0，b0，ba，故ABb(a)6．进而推

断出a3．

【解答】解：ab0，ab，即a与b互为相反数．又AB6，ba6．2b6．b3．

a3，即点A表示的数为3．故选：A．

【点评】本题主要考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键．

【实战经典2】（2019•福建）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是4和2，点C是线段AB的中

点，则点C所表示的数是．

【分析】根据A、B两点所表示的数分别为4和2，利用中点公式求出线段AB的中点所表示的数即可．

1

【解答】解：数轴上A，B两点所表示的数分别是4和2，线段AB的中点所表示的数(42)1．

2

即点C所表示的数是1．故答案为：1

【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．

第15页共75页.

考点3：相反数

（1）概念：只有符号不同的两个数

（2）代数意义：a、b互为相反数a+b=0

（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等

第16页共75页.

【例题精析1】｛相反数的定义★｝下列两个数互为相反数的是()

189

A．0.5和B．()和()C．和3.14D．20和(20)

298

【分析】将每组中的两个数进行求和运算，根据结果和互为相反数的意义进行判断即可．

11

【解答】解：因为0.50，所以0.5与是互为相反数，因此选项A符合题意；

22

8989

因为()()0，因此()和()不是互为相反数，因此选项B不符合题意；

9898

因为3.140.0015926，因此选项C不符合题意；因为20(20)202040，因此20和(20)

不是互为相反数，所以选项D不符合题意；故选：A．

【点评】本题考查互为相反数，掌握互为相反数的意义是正确判断的前提．

【例题精析2】｛相反数的定义★★｝下列说法正确的是()

A．符号相反的两个数互为相反数B．一个数的相反数一定是正数

C．一个数的相反数一定比这个数本身小D．一个数的相反数的相反数等于原数

【分析】利用相反数的意义对每个选项进行辨别，对于错误的选项可以举出反例，选出正确选项．

【解答】解：相反数是只有符号不同的两个数，零的相反数仍旧是零．

3和5的符号相反，但3和5不是相反数，

A选项错误；5的相反数是5，B选项错误；2的相反数是2，22，

C选项错误；一个数的相反数的相反数是它本身，D选项正确；故选：D．

【点评】本题主要考查了相反数的意义，熟记相反数的定义是解题的关键．

【例题精析3】｛相反数的代数意义★｝若3a4与2b6互为相反数，则4b6a的值为4．

【分析】直接利用相反数的性质得出3a42b60，进而得出答案．

【解答】解：3a4与2b6互为相反数，

3a42b60，3a2b2，4b6a2(2b3a)4．故答案为：4．

【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．

【例题精析4】｛相反数-符号化简★｝下列化简正确的是()

A．(2)2B．(3)3C．(3)3D．(2)2

【分析】根据相反数的定义解答即可．

【解答】解：A、(2)2，原计算错误，故此选项不符合题意；

B、(3)3，原计算正确，故此选项符合题意；

C、(3)3，原计算错误，故此选项不符合题意；

第17页共75页.

D、(2)2，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：B．

【点评】此题主要考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的定义．相反数的定义：只有符号不同的两个

数叫做互为相反数．

【对点精练1】｛相反数的定义★｝若一个数的相反数等于它本身，那么这个数一定是()

第18页共75页.

【知识拓展】（倒数等于它本身：；绝对值等于它本身：。）

1

A．0B．1C．1D．

2

【分析】根据相反数的定义解答．

【解答】解：0的相反数是0，如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是0．故选：A．

【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

【对点精练2】｛相反数的定义★｝已知a与b互为相反数，则下列式子：①ab0；②ab；③ab；

a

④0，其中一定成立的是()

b

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】直接利用相反数的定义得出答案．

a

【解答】解：a与b互为相反数，①ab0，正确；②ab，正确；③ab错误；④0(a0)，

b

原式错误，故选：B．

【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．

【对点精练3】｛相反数的代数意义★｝如果a和b互为相反数，c和d互为倒数，那么10cdab10

【分析】直接利用相反数和倒数的定义得出ab0，cd1，进而得出答案．

【解答】解：a和b互为相反数，c和d互为倒数，

ab0，cd1，10cdab10(ab)10．故答案为：10．

【点评】此题主要考查了相反数和倒数，正确掌握相关定义是解题关键．

b4

【对点精练4】｛相反数的代数意义★｝若3a4b与a5b互为相反数，则的值为．

a9

【分析】直接利用相反数的定义进而得出等式，进而得出a，b的关系．

b44

【解答】解：3a4b与a5b互为相反数，3a4ba5b0，则4a9b0，故．故答案为：．

a99

【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．

【实战经典1】（2021•烟台）若x的相反数是3，则x的值是()

1

A．3B．C．3D．3

3

第19页共75页.

【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

【解答】解：3的相反数是3，x3．故选：A．

【点评】本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．

1

【实战经典2】（2021•深圳）的相反数()

2021

11

A．2021B．C．2021D．

20212021

【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．

1111

【解答】解：()，则的相反数是．故选：B．

2021202120212021

【点评】本题考查了相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，

一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．

考点4：绝对值

（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离

（2）运算性质：

a,a0ab,ab

aab

a,a0ba,ab

第20页共75页.

（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0

【例题精析1】｛绝对值的定义★｝下列说法中错误的个数是()

①绝对值是它本身的数有两个，是0和1②一个有理数的绝对值必为正数

③0.5的倒数的绝对值是2④任何有理数的绝对值都不是负数．

A．0B．1C．2D．3

第21页共75页.

【分析】根据绝对值的定义，可得答案．

【解答】解：①绝对值是它本身的数有非负数，故①说法错误；

②0的绝对值等于0，故②说法错误；③0.5的倒数是2，2的绝对值是2，故③说法正确；

④任何有理数的绝对值都是非负数，故④说法正确；故选：C．

【点评】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义求解是解题关键，注意选错误的．

y

【例题精析2】｛运算性质★★｝若|x1|3，|y|5，0，那么xy的值是()

x

A．2或0B．2或0C．1或3D．7或9

【分析】根据绝对值、有理数的除法法则、有理数的减法解决此题．

yy

【解答】解：|x1|3，|y|5，x13，y5．x4或2，y5．又0，0．

xx

x与y异号．当x4时，y5，此时xy4(5)9；当x2时，y5，此时xy257．综

上：xy9或7．故选：D．

【点评】本题主要考查绝对值、有理数的除法、有理数的减法，熟练掌握绝对值、有理数的除法法则、有

理数的减法法则是解决本题的关键．

【例题精析3】｛运算性质★｝若2a3时，化简|a2||a3|()

A．1B．2a5C．1D．52a

【分析】直接利用绝对值的性质化简求出答案．

【解答】解：2a3，|a2||a3|a23a1．故选：A．

【点评】此题主要考查了绝对值的性质，正确利用a的取值范围化简是解题关键．

【例题精析4】｛运算性质★★｝若实数a、b、c满足|ab|1，|ac|7，则|bc|的值为()

A．6B．7C．6或8D．6或7

【分析】根据条件得：ab1，ac7，然后分四种情况分别计算即可．

【解答】解：|ab|1，|ac|7，ab1，ac7，

当ab1，ac7时，bcac(ab)716，原式6；

当ab1，ac7时，bcac(ab)716，原式6；

当ab1，ac7时，bcac(ab)718，原式8；

当ab1，ac7时，bcac(ab)718，原式8；故选：C．

【点评】本题考查了绝对值的定义，体现了分类讨论的数学思想，分类做到不重不漏是解题的关键．

|a||b|c

【例题精析5】｛运算性质★★｝若abc0，则的值为()

ab|c|

第22页共75页.

A．3或1B．3或0或1C．3或0D．0或1

【分析】分4种情况分别计算，根据绝对值的性质化简即可得出答案．

【解答】解：若a，b，c都是正数，那么原式1113；若a，b，c中有1个负数，不妨设a是负数，

那么原式1111；若a，b，c中有2个负数，不妨设a，b是负数，那么原式1(1)11；

若a，b，c都是负数，那么原式1(1)(1)3；故选：A．

【点评】本题考查了绝对值的性质，体现了分类讨论的数学思想，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的

绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键．

【例题精析6】｛绝对值-非负性★｝若|m2||n7|0，则|mn|()

A．2B．7C．8D．9

【分析】根据非负数的性质列式求出m、n，然后代入计算即可得解．

【解答】解：由题意得，m20，n70，解得m2，n7，所以，|mn||27|9．故选：D．

【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一

个加数也必为零．

【例题精析7】｛几何意义★★★｝|x4||x2|的最小值是6．

【分析】根据绝对值的定义解决此题．

【解答】解：|x4|表示x对应的点到4对应的点的距离，|x2||2x|表示2对应的点到x对应的点

的距离，|x4||x2|表示x对应的点到4对应的点、2对应的点的距离之和．

|x4||x2|的最小值是2(4)6．故答案为：6．

【点评】本题主要考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．

【例题精析8】｛几何意义★★★｝式子|x3||x4|有最小值，其最小值是7．

【分析】|x3||x4|表示在数轴上表示数x的点到表示数3与表示数4的距离之和，因此当x在3与4

之间时，这个距离之和最小，最小值为3与4之间的距离7．

【解答】解：|x3||x4|表示在数轴上表示数x的点到表示数3与表示数4的距离之和，

因此当4„x„3时，这个距离之和最小，最小值就是3与4之间的距离，为7，

当4„x„3时，|x3||x4|有最小值，最小值是7．故答案为：7．

【点评】本题考查了绝对值的非负数性质．解题的关键是明确数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点

距离的计算方法是正确计算的前提．

第23页共75页.

【对点精练1】｛运算性质★｝下列各式的结论成立的是()

A．若|m||n|，则mnB．若|m||n|，则mn

C．若mn，则|m||n|D．若mn0，则|m||n|

【分析】根据绝对值的性质逐一判断即可．

【解答】解：A．若|m||n|，则mn或mn，故原说法错误，选项不符合题意；

第24页共75页.

B．若|m||n|，则mnm，，故原说法错误，选项不符合题意；

C．若mnm，则|m||n|，故原说法错误，选项不符合题意；

D．若mn0，则|m||n|，正确，选项符合题意；故选：D．

【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．

【对点精练2】｛运算性质★｝若|x|5，|y|2且x0，y0，则xy()

A．7B．7C．3D．3

【分析】由绝对值的定义，得x5，y2，再根据x0，y0，确定x、y的具体对应值，最后代入

计算xy的值．

【解答】解：|x|5，|y|2，x5，y2，

x0，y0，x5，y2，xy3．故选：D．

【点评】主要考查了绝对值的运算，先确定绝对值符号中x、y的取值再去计算结果．注意绝对值等于一个

正数的数有两个；两个负数，绝对值大的反而小．

【对点精练3】｛运算性质★｝已知|a|3，|b|2，|ab|ba，则ab1或5．

【分析】首先根据绝对值的性质，求出a、b的值，然后代值求解即可．

【解答】解：|a|3，|b|2，a3，b2；又因为|ab|ba，当a3，b2时，ab5；

当a3，b2时，ab1．故ab的值为1或5．故答案为：1或5．

【点评】此题主要考查绝对值的性质：绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是

它的相反数；0的绝对值是0．

【对点精练4】｛绝对值符号化简★★｝已知1x2，则|x3||1x|2．

【分析】结合绝对值的性质进行化简求解即可．

【解答】解：1x2，x30，1x0，|x3||1x|(x3)|1x|3x(1x)2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了绝对值的性质，解答本题的关键在于熟练掌握绝对值的性质．

【对点精练5】｛运算性质★｝已知3y2，化简|y2||y3|5．

【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后化简即可．

【解答】解：3y2，|y2||y3|2yy35．故答案为：5．

【点评】本题考查了整式的加减、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．

【对点精练6】｛绝对值-非负性★｝若|a1||b3|0，则ab3．

【分析】根据绝对值的非负性解决此题．

第25页共75页.

【解答】解：|a1|…0，|b3|…0，当|a1||b3|0时，a10，b30．

a1，b3．ab3．故答案为：3．

【点评】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键．

【对点精练7】｛绝对值-非负性★｝|2x4||x2y8|0，则(xy)20211．

【分析】根据非负数的性质列出二元一次方程组，求解得到x、y的值，再代入代数式进行计算即可得解．

2x40①

【解答】解：根据题意得，，

x2y80②

由①得，x2，把x2代入②得，22y80，解得y3，(xy)2021(23)20211．故答案为：1．

【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用非负数的性质．解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，

能够正确利用非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0求出x、y的值．

【对点精练8】｛几何意义★★★｝适合|a5||a3|8的整数a的值有()

A．4个B．5个C．7个D．9个

【分析】此方程可理解为a到5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案．

【解答】解：|a5|表示a到5点的距离，|a3|表示a到3点的距离，由5到3点的距离为8，

故5到3之间的所有点均满足条件，即5„a„3，又由a为整数，

故满足条件的a有：5，4，3，2，1，0，1，2，3共9个，故选：D．

【点评】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，关键是利用数轴进行解答．

【实战经典1】（2021•阿坝州）|3|的绝对值为()

A．3B．0C．3D．3

【分析】利用绝对值的意义解答即可．

【解答】解：|3|3，|3|3．故选：C．

【点评】本题主要考查了绝对值的意义，熟记负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．

第26页共75页.

【实战经典2】（2021•大庆）下列说法正确的是()

A．|x|