2024年广东省深圳市中考数学二模试题汇编《图形的变化》含答案

试题PAGE1试题广东省深圳市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-05图形的变化一．选择题（共15小题）1．（2024•龙华区二模）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知∠MAD＝22°，∠FCN＝23°，则∠ABC的大小为（）A．44° B．45° C．46° D．47°2．（2024•龙岗区二模）2023年将注定载入中国汽车发展史，我国新能源汽车产业飞速发展，自主品牌开启出海大时代．下列是新能源汽车的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2024•罗湖区二模）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2，CE＝3，则BF等于（）A．6 B．7 C．8 D．94．（2024•罗湖区二模）由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看得到的平面图形是（）A． B． C． D．5．（2024•光明区二模）中国古典花窗图案丰富多样，极具观赏价值．下列各图是中国古典花窗基本图案，其中是轴对称图形的为（）A． B． C． D．6．（2024•南山区二模）在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ＝（）A．5−12 B．3−5 C．5−7．（2024•盐田区二模）《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义，这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列地铁图标中，是中心对称图形的是（）A．武汉地铁 B．重庆地铁 C．成都地铁 D．深圳地铁8．（2024•南山区二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，∠CDA＝∠CAB．若BC＝4，tanB=34，则A．94 B．125 C．159．（2024•罗湖区二模）2022北京冬奥会延庆赛区正在筹建的高山滑雪速滑雪道的平均坡角约为20°，在此雪道向下滑行100米，高度大约下降了（）米．A．100sin20° B．100cos20° C．100sin20°10．（2024•福田区二模）如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知∠BCA＝90°，∠BAC＝α，BC＝h，则AB的长为（）A．ℎsinα B．ℎcosα C．hsinα D．h11．（2024•福田区二模）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物CD的高度，如图，建筑物CD前有一段坡度为i＝1：2的斜坡BE，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37°，接着小明又向下走了45米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为45°，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度AB＝EF＝1.5米，则建筑物CDA．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米12．（2024•福田区二模）如图，在▱ABCD中，∠B＝40°，AB＝AC，将△ADC沿对角线AC翻折，AF交BC于点E，点D的对应点为点F，则∠AEC的度数是（）A．80° B．90° C．100° D．110°13．（2024•龙华区二模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点，连接BE，作∠BEF＝120°，交CD边于点F，若AEEC=1A．233 B．103 C．414．（2024•南山区二模）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．15．（2024•光明区二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，点O是对角线BD的中点，将△BCD绕点O旋转180°得到△DEB，DE交边AB于点F，若∠A+∠E＝165°，AD＝10，CD=72，则线段BCA．102 B．112 C．122二．填空题（共10小题）16．（2024•罗湖区二模）如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子BC＝3m，小明的影子B'C'＝1.5m，已知小明的身高A'B'＝1.7m，则树高AB＝．17．（2024•福田区二模）如图，正方形ABCD的边长为4，F为对角线AC上一动点，延长BF，AD交于点E，若BF•BE＝24，则CF＝．18．（2024•龙岗区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3BC，点E、F分别是AB、AC边上的点，将△AEF沿EF翻折，点A的对应点D恰好落在BC的延长线上，且DE平分∠BDF．若AD＝6，则BD长为．19．（2024•南山区二模）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连接AD，把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，DB′与AC交于点E，若BD＝2，AD=32，∠ADB=45°，则△ADE的面积是20．（2024•光明区二模）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AB＝1.2，CD＝0.9，AB与CD间的距离为2.1，则点O到AB的距离为．21．（2024•宝安区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC边上的中点，将△ABD沿BD翻折至△EBD，连接CE，若CEBD=23，则tan22．（2024•光明区二模）在△ABC中，tanB=12，∠ACB+2∠B＝90°，线段CD平分∠ACB．已知CD=42，则线段BC23．（2024•南山区二模）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC=3，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED=32，则线段DE24．（2024•福田区二模）如图，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB=2，点C是矩形BCGF与△ABC的公共顶点，且CE＝1，CG＝3；点D是CB延长线上一点，且CD＝2．连接BG，DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则mn的值为25．（2024•宝安区二模）如果5a＝3b（a、b都不等于零），那么ab=三．解答题（共5小题）26．（2024•南山区二模）（1）问题呈现：如图1，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°且ABBC=ADDE=34（2）类比探究：如图2，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接BD，EC，延长EC交BD于点F，设AB＝6，求EF的长；（3）拓展提升：如图3，在等边△ABC中，AB＝6，AD是BC边上的中线，点M从点A移动到点D，连接MC，以MC为边长，在MC的上方作等边△MNC，求点N经过的路径长．27．（2024•龙华区二模）【项目式学习】项目主题：合理设计智慧泉源项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LED发光地砖灯，用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直高度进行合理调整．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习．任务一测量建模（1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）；任务二推理分析（2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，h与d之间存在一定的数量关系．求出h与d之间的数量关系式；任务三设计方案（3）现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域ABCD，AB＝1.4米，BC＝0.4米，增设后的俯视图如图3所示，AB与原水柱落点形成的圆相切，切点为AB的中点P．若要求增设的矩形区域ABCD被喷泉喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加米．28．（2024•龙华区二模）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，F为CE的中点，将线段AF绕点F顺时针旋转90°至线段GF，连接CG．某数学学习小组成员发现线段CE与CG之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．【特例分析】当点E与点B重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：思路一思路二第一步如图2，连接AG，AC，证明△ACG∽△AEF；如图3，将线段CF绕点F逆时针旋转90°至HF，连接AH，证明△AFH≌△GFC；第二步利用相似三角形的性质及线段CE与EF之间的关系，得到线段CE与CG之间的数量关系.利用全等三角形的性质及线段CE与AH之间的关系，得到线段CE与CG之间的数量关系.图形表达（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明；②写出线段CE与CG之间的数量关系式：；【深入探究】（2）如图，当点E与点B不重合时，（1）中线段CE与CG之间的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；【拓展延伸】（3）连接AG，记正方形ABCD的面积为S1，△AFG的面积为S2，当△FCG是直角三角形时，请直接写出S129．（2024•龙岗区二模）综合与实践在四边形ABCD中，将AB边绕点A顺时针旋转α至AE（0°＜α＜2∠BAD），∠BAE的角平分线所在直线与直线DE相交于点F，AF与BC边或CD边交于点M．【特例感知】（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，旋转角α＝60°，则∠AFE＝；【类比迁移】（2）如图2，若四边形ABCD是正方形且90°＜α＜180°，试探究在旋转的过程中∠AFE的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；【拓展应用】（3）如图3，若四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，在旋转的过程中，当线段DF与线段AB存在2倍的关系时，请直接写出CM的长．30．（2024•南山区二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），请画出平移后对应的△A2B2C2；（3）求△A1C1C2的面积．

广东省深圳市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-05图形的变化参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2024•龙华区二模）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知∠MAD＝22°，∠FCN＝23°，则∠ABC的大小为（）A．44° B．45° C．46° D．47°【解答】解：∵某一时刻在阳光照射下，AD∥BE∥FC，且∠MAD＝22°，∠FCN＝23°，∴∠MAD＝∠ABE＝22°，∠EBC＝∠FCN＝23°，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝45°．故选：B．2．（2024•龙岗区二模）2023年将注定载入中国汽车发展史，我国新能源汽车产业飞速发展，自主品牌开启出海大时代．下列是新能源汽车的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；B．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．原图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．3．（2024•罗湖区二模）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2，CE＝3，则BF等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，点A，D之间的距离为2，∴BE＝CF＝2，∵CE＝3，∴BF＝CF+BE+CE＝2+2+3＝7，故选：B．4．（2024•罗湖区二模）由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看得到的平面图形是（）A． B． C． D．【解答】解：从上面看得到的平面图形为：．故选：B．5．（2024•光明区二模）中国古典花窗图案丰富多样，极具观赏价值．下列各图是中国古典花窗基本图案，其中是轴对称图形的为（）A． B． C． D．【解答】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．6．（2024•南山区二模）在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ＝（）A．5−12 B．3−5 C．5−【解答】解：根据黄金分割点的概念，可知AP＝BQ=5−12则PQ＝AP+BQ﹣AB=5−12故选：C．7．（2024•盐田区二模）《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义，这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列地铁图标中，是中心对称图形的是（）A．武汉地铁 B．重庆地铁 C．成都地铁 D．深圳地铁【解答】解：A、B、C中的图形不是中心对称图形，故A、B、C不符合题意；D、图形是中心对称图形，故D符合题意．故选：D．8．（2024•南山区二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，∠CDA＝∠CAB．若BC＝4，tanB=34，则A．94 B．125 C．15【解答】解：∵BC＝4，tanB=3∴AC＝3，∴AB=AC∵∠CDA＝∠CAB，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∴ACBC∴34∴AD=15故选：C．9．（2024•罗湖区二模）2022北京冬奥会延庆赛区正在筹建的高山滑雪速滑雪道的平均坡角约为20°，在此雪道向下滑行100米，高度大约下降了（）米．A．100sin20° B．100cos20° C．100sin20°【解答】解：由题意得：AB⊥BC，在Rt△ABC中，∠ACB＝20°，AC＝100米，∴AB＝AC•sin20°＝100sin20°（米），∴高度大约下降了100sin20°米，故选：C．10．（2024•福田区二模）如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知∠BCA＝90°，∠BAC＝α，BC＝h，则AB的长为（）A．ℎsinα B．ℎcosα C．hsinα D．h【解答】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝α，BC＝h，∴AB=BC∴AB的长为ℎsinα故选：A．11．（2024•福田区二模）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物CD的高度，如图，建筑物CD前有一段坡度为i＝1：2的斜坡BE，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37°，接着小明又向下走了45米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为45°，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度AB＝EF＝1.5米，则建筑物CDA．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米【解答】解：设CD＝x米．延长AB交DE于H，作AM⊥CD于M，FN⊥CD于N，如图所示：在Rt△BHE中，∵BE＝45米，BH：EH＝1：2，∴BH＝4（米），EH＝8（米），∵四边形AHDM是矩形，四边形FEDN是矩形，∴AM＝DH，AH＝DM，FN＝DE，FE＝DN＝1.5（米），在Rt△CFN中，∵∠CFN＝45°，∴CN＝FN＝DE＝（x﹣1.5）（米），∵AM＝DH＝（8+x﹣1.5）（米），CM＝（x﹣5.5）（米），在Rt△ACM中，∵∠CAM＝37°，∴AM=CM∴8+x﹣1.5≈x−5.5∴x≈41.5（米），∴CD≈41.5米，故选：D．12．（2024•福田区二模）如图，在▱ABCD中，∠B＝40°，AB＝AC，将△ADC沿对角线AC翻折，AF交BC于点E，点D的对应点为点F，则∠AEC的度数是（）A．80° B．90° C．100° D．110°【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠B＝40°，AB＝AC，且AD∥BC，∴∠B＝∠ACB＝40°，∠BAD＝140°，∴∠DAC＝∠ACB＝40°，由折叠的性质可知，∠DAC＝∠FAC＝40°，∴∠AEC＝180°﹣（∠ACB+∠FAC）＝180°﹣（40°+40°）＝100°．故选：C．13．（2024•龙华区二模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点，连接BE，作∠BEF＝120°，交CD边于点F，若AEEC=1A．233 B．103 C．4【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD是等边三角形，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，BC＝AC，∴∠CBE+∠BEC＝180°﹣60°＝120°，∵∠BEF＝120°，∴∠CEF+∠BEC＝120°，∴∠CEF＝∠CBE，∵∠ECF＝∠BCE，∴△CEF∽△CBE，∴CF：CE＝CE：BC，∵AEEC∴令AE＝x，则EC＝2x，∴AC＝x+2x＝3x，∴BC＝AC＝3x，∴CF：2x＝2x：3x，∴CF=43∴DF＝3x−43x=∴DFFC故选：D．14．（2024•南山区二模）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意；B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；D．不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A．15．（2024•光明区二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，点O是对角线BD的中点，将△BCD绕点O旋转180°得到△DEB，DE交边AB于点F，若∠A+∠E＝165°，AD＝10，CD=72，则线段BCA．102 B．112 C．122【解答】解：由旋转可知，∠C＝∠E，∵∠A+∠E＝165°，∴∠A+∠C＝165°，又∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝360°﹣60°﹣165°＝135°．过点A作CD的垂线，垂足为M，∵∠ADC＝135°，∴∠ADM＝45°．在Rt△ADM中，sin∠ADM=AM∴AM10∴AM=52同理可得，DM=52∴MC=52在Rt△ACM中，AC=(5∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC=132故选：D．二．填空题（共10小题）16．（2024•罗湖区二模）如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子BC＝3m，小明的影子B'C'＝1.5m，已知小明的身高A'B'＝1.7m，则树高AB＝3.4m．【解答】解：根据题意得ABBC=A'B'所以AB＝3.4（m）．故答案为3.4m．17．（2024•福田区二模）如图，正方形ABCD的边长为4，F为对角线AC上一动点，延长BF，AD交于点E，若BF•BE＝24，则CF＝72−【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝AD＝4，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AC=A设DE＝x，则AE＝AD+DE＝4+x，在Rt△ABE中，根据勾股定理，有BE=A∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠E，∠BCF＝∠EAF，∴△BCF∽△EAF，∴CFAF∵AF＝AC﹣CF＝42−CF，EF＝BE﹣BF=x∴CF4整理得（8+x）CF＝162，（8+x）BF＝4x2解得CF=1628+x，由BF•BE＝24，得x2整理得x2+2x﹣16＝0，解得x1=17−1，x2＝﹣1∴x=17检验：当x=17−1时，8+x≠0，x2+8x+32＝（x+4）∴x=17∴CF=1628+故答案为：7218．（2024•龙岗区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3BC，点E、F分别是AB、AC边上的点，将△AEF沿EF翻折，点A的对应点D恰好落在BC的延长线上，且DE平分∠BDF．若AD＝6，则BD长为2213【解答】解：如图，作BH⊥AC于H，作BG⊥DE于G，设CH＝a，∵∠ACB＝60°，∴BC＝2CH＝2a，BH=3CH=3∴AC＝3BC＝6a，∴AH＝AC﹣CH＝5a，∴tan∠BAC=BH∵△AEF沿EF翻折得△DEF，∴∠EDF＝∠BAC，DE＝AE，∵DE平分∠BDF，∴∠BDE＝∠EDF，∴∠BDE＝∠BAC，∴∠AED＝∠ABC+∠BDE＝∠ABC+∠BAC，tan∠BDE＝tan∠BAC=3∵∠ACB＝60°，∴∠ABC+∠BAC＝120°，∴∠AED＝120°，∴∠DEB＝180°﹣∠AED＝60°，DE=AD设EG＝x，则BG=3EG=3∵tan∠BDE=BG∴DG＝5x，∵DG+EG＝DE，∴5a+a＝23，∴a=3∴BD=BG2+D∴BD＝27×故答案为：22119．（2024•南山区二模）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连接AD，把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，DB′与AC交于点E，若BD＝2，AD=32，∠ADB=45°，则△ADE的面积是9【解答】解：过A作AK⊥CB于K，如图：∵∠ADB＝45°，∴△ADK是等腰直角三角形，∵AD＝32，∴DK＝AK=22∵D是BC边上的中点，BD＝2，∴CD＝BD＝2，∴CK＝CD+DK＝5，∵把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，∴∠ADB'＝∠ADB＝45°，∴∠BDB'＝90°＝∠CDE，∴DE∥AK，∴△CDE∽△CKA，∴CDCK即25∴DE=6∴S△CDE=12CD•DE=1∵S△ACD=12CD•AK∴S△ADE＝S△ACD﹣S△CDE＝3−6故答案为：9520．（2024•光明区二模）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AB＝1.2，CD＝0.9，AB与CD间的距离为2.1，则点O到AB的距离为1.2．【解答】解：过点O作EF⊥CD于点E，交AB于点F，∵AB∥CD，AB与CD间的距离为2.1，∴EF＝2.1，∠OFA＝∠OED＝90°，∴OE＝2.1﹣OF，OF⊥AB，∵△AOB∽△DOC，AB＝1.2，CD＝0.9，∴OFOE∴OF=43（2.1﹣解得OF＝1.2，∴点O到AB的距离为1.2，故答案为：1.2．21．（2024•宝安区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC边上的中点，将△ABD沿BD翻折至△EBD，连接CE，若CEBD=23，则tanA＝【解答】解：连接AE，过D作DF⊥AC于F，过C作CG⊥BD于G，如图：由翻折的性质可知，AD＝DE，BD⊥AE，∵D是AC中点，∴AD＝CD＝DE，∴∠AEC＝90°，∴DF∥AE，CE∥BD，∴DF⊥BD，∴DF∥CG，∴四边形CFDG为矩形，∴DG＝CF，DF＝CG，∵D是AC中点，DF∥AE，∴F是CE的中点，∵CEBD∴令CE＝2，BD＝3，∴DG＝CF＝1，∴BG＝BD﹣BG＝2，∵CG⊥BD，CD⊥BC，∴CG2＝BG•DG＝2，∴CG＝DF=2∴tan∠BDC=2∴sin∠BDC=23，cos∠BDC∴BC＝BDsin∠BDC=6，CD＝BDcos∠BDC=∴AC＝2CD＝23，∴tanA=BC故答案为：2222．（2024•光明区二模）在△ABC中，tanB=12，∠ACB+2∠B＝90°，线段CD平分∠ACB．已知CD=42，则线段BC的长为【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠BCD．∵∠ACB+2∠B＝90°，∴2∠BCD+2∠B＝90°，∴∠BCD+∠B＝45°，∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝45°．过点C作AB的垂线，垂足为M，在Rt△DCM中，sin∠DCM=MC∴MC4则MC＝4．在Rt△BCM中，tanB=MC∴4BM∴BM＝8，∴BC=8故答案为：4523．（2024•南山区二模）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC=3，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED=32，则线段DE的长度为【解答】解：如图，过点D作DM⊥CE，由折叠可知：∠AEC＝∠B＝90°，∴AE∥DM，∴∠AED＝∠EDM，∴tan∠AED＝tan∠EDM=3∵∠ACB＝60°，∠ECD＝30°，设EM=3m由折叠性质可知，EC＝CB=3∴CM=3−由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，∴∠ECD＝30°，∴tan∠ECD=DM∴DM＝（3−3m）×3∴tan∠EDM=EM即3m解得，m=1∴DM=23，EM在直角三角形EDM中，DE2＝DM2+EM2，解得，DE=7故答案为：7324．（2024•福田区二模）如图，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB=2，点C是矩形BCGF与△ABC的公共顶点，且CE＝1，CG＝3；点D是CB延长线上一点，且CD＝2．连接BG，DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则mn的值为13【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，AB=2∴AC＝BC＝AB•sin45°=2当线段BG达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，如图：则BG＝BC+CG＝4，DG＝DB+BG＝5，在Rt△DGF中，DF=DG即m=26当线段BG达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，如图：则BG＝CG−BC＝2，DG＝BG−DB＝1，在Rt△DGF中，DF=DG即n=2故mn故答案为：13．25．（2024•宝安区二模）如果5a＝3b（a、b都不等于零），那么ab=3【解答】解：∵5a＝3b，∴ab故答案为：35三．解答题（共5小题）26．（2024•南山区二模）（1）问题呈现：如图1，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°且ABBC=ADDE=34（2）类比探究：如图2，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接BD，EC，延长EC交BD于点F，设AB＝6，求EF的长；（3）拓展提升：如图3，在等边△ABC中，AB＝6，AD是BC边上的中线，点M从点A移动到点D，连接MC，以MC为边长，在MC的上方作等边△MNC，求点N经过的路径长．【解答】解：（1）在Rt△ABC和Rt△ADE中，ABBC∴AB：BC：AC＝AD：DE：AE＝3：4：5，∴ADAE∴△ADB∽△AEC，∴BDCE（2）过F作FG⊥BC于G，作BF垂直平分线交BC于H，连接FH，如图：由旋转的性质可知：∠BAD＝∠CAE＝60°，AB＝AD，AC＝AE，∴△ABD和△ACE是等边三角形，∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝6，∴AC＝BC＝CE＝32，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠CBF＝∠ABD﹣∠ABC＝15°，∠BCF＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝30°，∵BH＝FH，∴∠HBF＝∠HFB＝15°，∴∠CHF＝30°，∴△CHF为等腰三角形，∵FG⊥CH，∠BCF＝30°，∴CF＝HF＝2FG，CG＝HG=3FG∴BC＝BH+GH+CG＝2FG+23FG＝32，∴FG=3∴CF＝2FG=3∴EF＝CE+CF=3（3）连接AN，BM，如图：∵△ABC和△CMN为等边三角形，∴∠ACB＝∠MCN＝60°，AB＝BC，CM＝CN，∴∠ACB﹣∠ACM＝∠MCN﹣∠ACM，即∠BCM＝∠ACN，∴△BCM≌△ACN（SAS），∴BM＝AN，∵AD是等边三角形ABC的中线，∴BM＝CM，∴AN＝CN，∴N在AC的垂直平分线上，∵当M与D重合时，N在AC上，当M与A重合时，△CMN以AC为边，∴N的路径长为32AC＝3327．（2024•龙华区二模）【项目式学习】项目主题：合理设计智慧泉源项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LED发光地砖灯，用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直高度进行合理调整．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习．任务一测量建模（1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）；任务二推理分析（2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，h与d之间存在一定的数量关系．求出h与d之间的数量关系式；任务三设计方案（3）现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域ABCD，AB＝1.4米，BC＝0.4米，增设后的俯视图如图3所示，AB与原水柱落点形成的圆相切，切点为AB的中点P．若要求增设的矩形区域ABCD被喷泉喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加1.2米．【解答】解：（1）由题意可知，第一象限中的抛物线的顶点坐标为（0.75，1.25），且过点（2，0），设抛物线的关系式为y＝a（x﹣0.75）2+1.25，将（2，0）代入得，a（2﹣0.75）2+1.25＝0，解得a=−∴第一象限中抛物线的关系式为y=−45（x（2）由于喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，喷头竖直高度增加h米，其抛物线的关系式为y=−45（x﹣0.75）2+1.25+h∴−45（2+d﹣0.75）2+1.25+即h=45（d+1.25）（3）如图，延长OP交CD于点Q，则PQ＝AD＝0.4米，OQ＝2.4米，CQ=12AB＝0.7米，连接在Rt△COQ中，OQ＝2.4米，CQ＝0.7米，∴OC=O即水柱落点形成的圆半径相应增加0.5米，d＝0.5，将d＝0.5代入h=45（d+1.25）h=45（0.5+1.25）故答案为：1.2．28．（2024•龙华区二模）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，F为CE的中点，将线段AF绕点F顺时针旋转90°至线段GF，连接CG．某数学学习小组成员发现线段CE与CG之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．【特例分析】当点E与点B重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：思路一思路二第一步如图2，连接AG，AC，证明△ACG∽△AEF；如图3，将线段CF绕点F逆时针旋转90°至HF，连接AH，证明△AFH≌△GFC；第二步利用相似三角形的性质及线段CE与EF之间的关系，得到线段CE与CG之间的数量关系.利用全等三角形的性质及线段CE与AH之间的关系，得到线段CE与CG之间的数量关系.图形表达（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明；②写出线段CE与CG之间的数量关系式：CE=2CG【深入探究】（2）如图，当点E与点B不重合时，（1）中线段CE与CG之间的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；【拓展延伸】（3）连接AG，记正方形ABCD的面积为S1，△AFG的面积为S2，当△FCG是直角三角形时，请直接写出S1【解答】（1）①选择思路一：证明：连接AC，AG．∵四边形ABCD是正方形，∴ACAB=2由旋转得，AF＝FG，∠AFG＝90°，∴△AFG是等腰直角三角形，∴AGAF=2∴ACAB∵∠BAC＝∠FAG，∴∠BAC﹣∠FAC＝∠FAG﹣∠FAC，即∠BAF＝∠CAG，∴△ACG∽△ABF；选择思路二：证明：由旋转的性质可知：HF＝FC，∠HFC＝90°，AF＝FG，∠AFG＝90°．∴∠AFG＝∠HFC，∴∠AFH＝∠GFC，在△AFH与△GFC中，AF=GF∠AFH=∠GFC∴△AFH≌△GFC（SAS）；②由①知：CGEF∵EF=12∴CE=2CG故答案为：CE=2CG（2）线段CE与CG的关系成立．思路一：连接AC，AG，BF．∵四边形ABCD是正方形，∴ACAB=2由旋转得，AF＝FG，∠AFG＝90°，∴△AFG是等腰直角三角形，∴AGAF=2∴ACAB∵∠BAC＝∠FAG，∴∠BAC﹣∠FAC＝∠FAG﹣∠FAC，∴∠BAF＝∠CAG，∴△ACG﹣△ABF，∴CGBF在Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∵F为CE中点，∴BF=12∴CG=22思路二：将线段CF绕点F逆时针旋转90°至HF，连接AH、EH、CH、BH．将HB绕点H逆时针旋转90°得到HK，连接CK．由旋转的性质可知：HF＝FC，∠HFC＝90°，AF＝FG，∠AFG＝90°，∴∠AFG＝∠HFC，∴∠AFH＝∠GFC，在△AFH与△GFC中，AF=GF∠AFH=∠GFC∴△AFH≌△GFC（SAS），∴CG＝AH，∵F为EC中点，FH＝FC，FH⊥EC，∴△EHC为等腰直角三角形，∴∠EHC＝90°，∠ECH＝∠CEH＝45°，EC=2CH由旋转的性质可知：∠BHK＝90°＝∠EHC，HB＝HK，∴∠EHB＝∠CHK，在△EHB和△CHK中，HE=HC∠EHB=∠CHK∴△EHB≌△CHK（SAS），∴∠HEB＝∠HCK，∵∠ABC+∠EHC＝180°，∴∠HEB+∠HCB＝180°，∴∠HCB+∠HCK＝180°，∴B、C、K三点共线，∴△HBK为等腰直角三角形，∴∠EBH＝∠ECH＝∠HEC＝∠HBC＝45°，在△ABH和△CBH中，AB=CB∠EBH=∠HBC∴△ABH≌△CBH（SAS），∴AH＝HC，∵EC=2CH∴EC=2AH=（3）∵E在边AB上，∴∠AEC≥90°，∴AF＞EF，∵AF＝FG，CF＝EF，∴FG＞CF，∵△FCG为直角三角形，∴CF不能作为斜边，①当FG⊥CF时，∵AF⊥FG，∴AF和CF共线，∴E和A重合，G和D重合，如图：由正方形的性质可知，S△AFG=14S正方形∴S1②当CF⊥CG时，连接AC，AG，BF，过B作BM⊥CE于M，如图：由（2）知，△ABF∽△ACG，∴∠ABF＝∠ACG，∵∠ACG+∠ACE＝90°，∠A