2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的基本定理应用案巩固提升新人教B版选修2-1

PAGEPAGE13.1.2空间向量的基本定理[A基础达标]1．对于空间的随意三个向量a，b，2a－b，它们肯定是()A．共面对量B．共线向量C．不共面对量D．既不共线也不共面对量解析：选A．因为2a－b可用a，b线性表示，所以2a－b与a，b肯定共面．2．设空间四点O，A，B，P满意eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，则()A．P∈ABB．P∉ABC．点P不肯定在直线AB上D．以上都不对解析：选A．由共线向量定理知，P，A，B三点共线，故A正确．3．在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，O′是上底面的中心，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AO′,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．a＋eq\f(1,2)b＋cD．eq\f(1,2)a＋b＋c解析：选B．如图，连接A′C′，则eq\o(AO′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′O′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′C′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.4．在下列条件中，使M与A，B，C肯定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C．eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))解析：选C．因为eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以M与A，B，C必共面．5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))－neq\o(AA1,\s\up6(→))，则m，n的值分别为()A．eq\f(1,2)，－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)，eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)，eq\f(1,2)解析：选A．由于eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(1,2)，n＝－eq\f(1,2)，故选A．6．非零空间向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k＝________．解析：若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,λk＝1，))所以k＝±1.答案：±17．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}为基底，则eq\o(GE,\s\up6(→))＝________．解析：因为BE＝3ED，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).答案：－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))8．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))答案：1－19．已知空间的一个基底{a，b，c}，p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试推断p、m、n是否共面？解：假设p、m、n共面，因m与n不共线，故存在有序实数对(x，y)满意p＝xm＋yn，则3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.因为a、b、c不共面，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,－x＋y＝2，,x－y＝1.))而此方程组无解，所以p不能用m、n表示，即p、m、n不共面．10．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→)).求证：E，F，B三点共线．证明：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.因为eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up6(→)).所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(A1F,\s\up6(→))－eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)(a－eq\f(2,3)b－c)．又eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up6(→)).所以E，F，B三点共线．[B实力提升]11．如图所示，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝()A．－1 B．0C．eq\f(1,3) D．1解析：选C．因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，所以x＋y＋z＝eq\f(1,3).12．正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若eq\o(EF,\s\up6(→))＋λeq\o(A1D,\s\up6(→))＝0(λ∈R)，则λ＝________．解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EFeq\o(\s\do3(),\s\up4(∥))eq\f(1,2)A1D，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up6(→))，所以eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up6(→))＋λeq\o(A1D,\s\up6(→))＝0，所以λ＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)13．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为PC，PD上的点，且M分PC成定比2，N为PD的中点，求满意eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的实数x，y，z的值．解：法一：如图所示，取PC的中点E，连接NE，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(EN,\s\up6(→))－eq\o(EM,\s\up6(→)).因为eq\o(EN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)).eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(PC,\s\up6(→)).连接AC，则eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，因为eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))不共面．所以x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).法二：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)(－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，因为eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AP,\s\up6(→))不共面，所以x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).14．(选做题)如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且eq\f(PH,HC)＝eq\f(1,2)，点G在AH上，且eq\f(AG,AH)＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值．解：连接BG(图略)．因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))，因为eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).因为eq\f(PH,HC)＝eq\f(1,2)，所以eq\o(PH,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，所以eq\o(PH,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(－eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\