2025届高考数学一轮专题重组卷第一部分专题二十二推理与证明理含解析

PAGE专题二十二推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分80分，考试时间50分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2024·天津月考)用反证法证明命题“a，b∈N，若ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应当是()A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除 D．a能被5整除答案B解析由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立从而进行推证．命题“a，b∈N，若ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”的否定是“a，b∈N，若ab可被5整除，那么a，b都不能被5整除”，故选B.2．(2024·武汉高三调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可推断罪犯是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案B解析由题可知，乙、丁两人的观点一样，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说的是假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，明显两个结论相互冲突，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．3．(2024·景德镇模拟)将圆周20等分，依据逆时针方向依次编号为1,2，…，20，若从某一点起先，沿圆周逆时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，称这种走法为一次“移位”，如：小明在编号为1的点，他应走1段弧长，即从1→2为第一次“移位”，这时他到达编号为2的点，然后从2→3→4为其次次“移位”，若某人从编号为3的点起先，沿逆时针方向，按上述“移位”方法行走，“移位”a次刚好到达编号为16的点，又满意|a－2024|的值最小，则a的值为()A．2024B．2016C．2024D．2024答案C解析若某人从编号为3的点起先，第一次“移位”到达6；其次次“移位”到达12；第三次“移位”到达4；第四次“移位”到达8；第五次“移位”到达16；第六次“移位”到达12；第七次“移位”到达4；第八次“移位”到达8；第九次“移位”到达16；第十次“移位”到达12；…从其次次起先，每4次移位为一组“移位”循环，“移位”a次刚好到达编号为16的点，则a－1应当能被4整除，又满意|a－2024|的值最小，则a＝2024.故选C.4．(2024·江西省樟树中学等九校联考)设[x]为不超过x的最大整数，an为[x[x]](x∈[0，n)，n∈N*)可能取到全部值的个数，Sn是数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋2n)))前n项的和，则下列结论中正确的有()①a3＝4；②190是数列{an}中的项；③S10＝eq\f(5,6)；④当n＝7时，eq\f(an＋21,n)取最小值．A．1个B．2个C．3个D．4个答案C解析an为[x[x]](x∈[0，n))可能取到全部值的个数，当n＝1时，[x[x]]＝0，即a1＝1，S1＝eq\f(1,1＋2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＝eq\f(1,3)；当n＝2时，[x[x]]＝0,1，即a2＝2，S2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)))＝eq\f(1,2)；当n＝3时，[x[x]]＝0,1,4,5，即a3＝4，S3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋\f(1,4)－\f(1,5)))＝eq\f(3,5)；当n＝4时，[x[x]]＝0,1,4,5,9,10,11，即a4＝7，S4＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋\f(1,4)－\f(1,5)＋\f(1,5)－\f(1,6)))＝eq\f(2,3)；…，可得an＝1＋(1＋2＋3＋…＋n－1)＝eq\f(1,2)n(n－1)＋1.a3＝4，故①正确；令an＝190，即n2－n－378＝0，可得n不为整数，故②错误；S10＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋\f(1,4)－\f(1,5)＋\f(1,5)－\f(1,6)＋…＋\f(1,11)－\f(1,12)))＝eq\f(5,6)，故③正确；eq\f(an＋21,n)＝eq\f(n,2)＋eq\f(22,n)－eq\f(1,2)≥2eq\r(\f(n,2)·\f(22,n))－eq\f(1,2)，由于n∈N*，故取不到等号，考虑n＝6时，有eq\f(a6＋21,6)＝3＋eq\f(11,3)－eq\f(1,2)＝eq\f(37,6)；n＝7时，eq\f(a7＋21,7)＝eq\f(7,2)＋eq\f(22,7)－eq\f(1,2)＝eq\f(43,7)<eq\f(37,6)，则当n＝7时，eq\f(an＋21,n)取最小值，故④正确．故选C.5．(2024·全国卷Ⅱ)在“一带一路”学问测验后，甲、乙、丙三人对成果进行预料．甲：我的成果比乙高．乙：丙的成果比我和甲的都高．丙：我的成果比乙高．成果公布后，三人成果互不相同且只有一个人预料正确，那么三人按成果由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙答案A解析由于三人成果互不相同且只有一个人预料正确．若甲预料正确，则乙、丙预料错误，于是三人按成果由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预料错误，则甲、乙按成果由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预料正确，则乙、丙按成果由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成果由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预料也正确，与事实冲突；若甲、丙预料错误，则可推出乙的预料也错误．综上所述，三人按成果由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.6．(2024·南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农夫，一人是学问分子．已知：丙的年龄比学问分子大；甲的年龄和农夫不同；农夫的年龄比乙小．依据以上状况，下列推断正确的是()A．甲是工人，乙是学问分子，丙是农夫B．甲是学问分子，乙是农夫，丙是工人C．甲是学问分子，乙是工人，丙是农夫D．甲是农夫，乙是学问分子，丙是工人答案C解析由“甲的年龄和农夫不同”和“农夫的年龄比乙小”可以推出丙是农夫，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比学问分子大”，可知甲是学问分子，故乙是工人．所以选C.7．(2024·重庆模拟)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的eq\f(1,2)，第2关收税金为剩余金的eq\f(1,3)，第3关收税金为剩余金的eq\f(1,4)，第4关收税金为剩余金的eq\f(1,5)，第5关收税金为剩余金的eq\f(1,6)，5关所收税金之和，恰好重1斤，问此人总共持金多少．则在此问题中，第5关收税金()A.eq\f(1,20)斤B.eq\f(1,25)斤C.eq\f(1,30)斤D.eq\f(1,36)斤答案B解析假设原来持金为x，则第1关收税金eq\f(1,2)x；第2关收税金eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))x＝eq\f(1,2×3)x；第3关收税金eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,6)))x＝eq\f(1,3×4)x；第4关收税金eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,6)－\f(1,12)))x＝eq\f(1,4×5)x；第5关收税金eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,6)－\f(1,12)－\f(1,20)))x＝eq\f(1,5×6)x.依题意，得eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2×3)x＋eq\f(1,3×4)x＋eq\f(1,4×5)x＋eq\f(1,5×6)x＝1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))x＝1，eq\f(5,6)x＝1，解得x＝eq\f(6,5)，所以eq\f(1,5×6)x＝eq\f(1,5×6)×eq\f(6,5)＝eq\f(1,25).故选B.8．(2024·惠州调研)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴实的相识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语说明为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下．依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是()卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮0011坎0102巽0113A．33B．34C．36D．35答案B解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.9．(2024·大同质检)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案C解析要证eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a，只需证b2－ac<3a2，即证(a＋c)2－ac<3a2，即证2a2－ac－c2>0，即证(2a＋c)(a－c)>0，即证[2a－(a＋b)](a－c)>0，即证(a－b)(a－c)>0，故索的因应是(a－b)(a－c)>0.10．(2024·南宁模拟)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为其次次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……，依据以上操作，若要得到100个小三角形，则须要操作()A．31次B．32次C．33次D．34次答案C解析由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；其次次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个，……，由此可得第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n＝33.故共须要操作33次．11．(2024·广东茂名五校联盟第一次联考)36的全部正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的全部正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91.参照上述方法，可求得500的全部正约数之和为()A．988B．1032C．1092D．1182答案C解析类比36的全部正约数之和的求法，可知500的全部正约数之和可按如下方法得到：因为500＝22×53，所以500的全部正约数之和为(1＋2＋22)(1＋5＋52＋53)＝1092.12．(2024·湖南省三湘名校其次次联考)2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国闻名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明白黎曼猜想，这一事务引起了数学界的振动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是闻名的黎曼猜想，在此之前，闻名数学家欧拉也曾探讨过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈eq\f(x,lnx)的结论．若依据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为(素数即质数，lge≈0.43429，计算结果取整数)()A．1089B．1086C．434D．145答案B解析由题意可知，π(10000)≈eq\f(10000,ln10000)＝eq\f(2500,ln10)，由对数的性质可得ln10＝eq\f(1,lge)，即π(10000)≈1085.725≈1086.故选B.第Ⅱ卷(非选择题，共20分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2024·大连二模)视察下列等式：1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)，…据此规律，第n个等式为________．答案1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)解析视察题中等式，可得规律为等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2，…，2n，分子为1，奇数项为正，偶数项为负，即为1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)；等式右边共有n项且分母分别为n＋1，n＋2，…，2n，分子为1，即为eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).所以第n个等式为1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).14．(2024·江西七校质量监测)设曲线y＝xn＋1(x∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点横坐标为xn，则log2024x1＋log2024x2＋log2024x3＋…＋log2024x2024的值为________．答案－1解析设f(x)＝y＝xn＋1，求导可得f′(x)＝(n＋1)·xn，设过点(1,1)的切线斜率为k，则k＝f′(1)＝n＋1，所以切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，可得x0＝eq\f(n,n＋1)，∴x1·x2·…·x2024＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×…×eq\f(2024,2024)＝eq\f(1,2024)，∴log2024x1＋log2024x2＋…＋log2024x2024＝log2024(x1x2…x2024)＝log2024eq\f(1,2024)＝－1.15．(2024·日照模