高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题22 抛物线【艺体生专供-选择填空抢分专题】2023年高考高频考点题型精讲+精练新高考通

【艺体生专供一选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）

专题22抛物线

一、考向解读

考向：高考中抛物线的考查主要是它的标准方程和定义等。基础知识点是抛物线的定义、

方程与性质，其中对称性的考查一般体现在小压轴中。标准方程的考查主要是解答题笫

一'可，一般结合直线或者圆，要重点掌握好！

考点：抛物线的标准方程和性质。

导师建议：重视抛物线的定义（考的很多！！重点掌握），在选择填空中往往作为隐含

条件！

知识点汇总

抛物线的方程与性质

图形

/—F*

y2=2pxy2=-2pxx2=2py“2=-2py

标准方程

（P>°）（P>°）（P>°）（">0）

与一定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直

定义

线/上）

离心率e=i顶点（0,0）

对称轴x轴或y轴

范围x>0x<0y>0y<0

隹占

，八、、喑,。）《。蜀F

准线方程T

22

叼=%十§

焦半径\MF\=-XQ+^M=-^o+y

M(xoyo)

通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：W"'|=2p

焦点弦长

M却=芭+.+p

公式

参数p的

参数〃表示焦点到准线的距离，〃越大，开口越阔

几何意义

三、题型专项训练

目录一览

①抛物线的定义

②抛物线的标准方程

③抛物线的性质

④多选题与填空题

高考题及模拟题精选

题型精练，巩固基础

①抛物线的定义

一、单选题

1.若抛物线丁=2川（〃>0）上一点2（2,），。）到其准线的距离为3,则抛物线的标准方程为（）

A.y2=4xB.y2=6JC.y2=8xD.y2=1Ox

【答案】A

【分析】根据抛物线的几何性质即可求解.

【详解】P（2.y°）到其准线的距离为2+六3np=2・故抛物线方程为/=4x.

故选：A

2.抛物线V=4x的焦点为F,抛物线上一点/，在其对称轴的上方，若仍日=3,则点。的坐标是（）

A.（4,4）B.（3,2点）C.（2,2x/2）D.（1,2）

【答案】C

【分析】先设出2点坐标，根据抛物线定义列出等式，即可得点。坐标.

【详解】解:由题设点P的坐标为口,目，

根据抛物线的定义知I尸尸|=x+1=3,所以x=2,

代入抛物线中可得y=2&,故点P的坐标为（2,2&）.

故选:C

3.已知抛物线C：y2=41的焦点为F,〃（公,九）是C上一点，/K可/，则不=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】直接利用抛物线的定义即可求解.

【详解】依题意知，焦点尸（1,。），

4

由定义知：I"用=%+1,所以/+1=耳%,所以而=3.

故选：C.

4.抛物线后：），=4/的焦点到其准线的距离为（）

4

A.-B.-C.2D.4

84

【答案】C

【分析】将抛物线方程化为标准式，即可得到〃，再根据〃的几何意义得解；

【详解】解：抛物线匕y=!/，即/=4）,,贝|J2〃=4,所以p=2,

4

所以抛物线的焦点到其准线的距离为P=2.

故选：C

5.已知产为抛物线C：犬=20,（〃>0）的焦点，纵坐标为5的点A在。上，|人月=8,则〃=（）

A.2B.3C.5D.6

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义列式计算作答.

【详解】依题意，抛物线C：一=2外的焦点尸（0苧，准线方程为），=4,

显然有|4尸|=5-（-9=8,所以p=6.

故选：D

6.已知抛物线犬=〃r（"?>0）上的点（不，1）到该抛物线焦点”的距离为2,则〃?=（）

A.I

C.4

D.6

【答案】C

【分析】根据抛物线的标准方程，得到准线方程与焦点坐标，根据抛物线的定义，可列方程，得到答案.

【详解】由f=冲（〃>0）,可得其焦点尸（0彳），准线方程为），=-彳，

因为点（如1）到该抛物线焦点F的距离为2,所以点（知1）到抛物线准线的距离为2,

则1+—=2,解得加=4,

故选：C.

7.设抛物线。：/=一］2），的焦点为八点?在。上，Q（0.-9）,若|PF|=|Q向则|P0=（）

A.2&B.4x/2C.5&D.672

【答案】D

【分析】根据题意得出|"|是抛物线通径的一半，再由勾股定理即可解决.

【详解】由题意可知尸（0,-3）,|明=6,所以|P尸|=6・

因为抛物线C的通径长2P三12,

所以尸/Fy轴，所以|尸0=用+62=6拒

故选：D.

8.已知抛物线V=34的焦点为人点尸为抛物线上任意一点，则归目的最小值为（）

【答案】B

【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.

【详解】抛物线丁=34的焦点为唱0）,准线为x=-（,

设点P的坐标为（小,%）,-vn>0,根据抛物线的定义有=故归日的最小值为:

444

故选：B

9.已知点44.4）在抛物线C：y2=2px上，。为坐标原点，点P是抛物线C准线上一动点，则|尸山+归0|的

最小值为（）

A.6B.2石C.Vl3D.2岳

【答案】D

【解析】根据点44,4）在抛物线C：），2=2px上河求得〃=2,可得准线方程尸一1,取8（-2.0）,贝lj

|以|+1PO|=|+1PB|习AB|即可得到.

【详解】因为点44.4）在抛物线C：），2=2/n•上，

所以16=8〃，所以〃=2,所以，=4x,准线为：户一1

取B（-2,0）,则|+1PO|=|PA什|PB14PBi=J（-2-4）2+（（）-4、=2万,

当且仅当AR8三点共线时取得等号.故选：D.

10.尸为抛物线。:/=今的焦点，点A在C上，点8（0,5）,若|八目二忸目,则448户的面积为（）

A.B.4百C.4D.8

【答案】B

【分析】求出焦点厂的坐标，根据两点间距离公式求得忸用,即的长度，根据抛物线定义可求得A点坐标,

进而可求出面积.

【详解】解:因为抛物线口/=43所以尸（0,1）,准线为：尸-1

因为4（0,5）,所以|跖|=4=|4尸设4ApyJ,根据抛物线定义可知：y+l=4,解得*:3,

所以4（±2。,3）,所以5板=；・忸斗同=34、26=4收

故选:B

11.已知抛物线C：）?=4x的焦点为F,准线为/,A为C上的点，过A作/的垂线，垂足为8,忸f|=4,

则44尸=（）

A.30°B.60°C.45°D.90°

【答案】B

【分析】由|8百=4结合抛物线性质可得/6明=60,利用抛物线定义可得AAB尸为正三角形，即可得出

答案.

【详解】如图，设准线1与x轴交于点M,

则由抛物线可知||口必|=2,又|明=4,故/月5M=30,NF胡=60,

又由抛物线定义|AB|=|AF|,可得△48尸为正三角形，故NBA尸=60.

故选：B

12.已知抛物线丁=41，尸为其焦点，抛物线.上两点A、8满足|A/1+|4尸|=8,则线段/W的中点到准线

的距离等于（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【分析】先求出抛物线准线方程，再根据焦半径求出段AB中点的横坐标，最后即可求出答案.

【详解】••抛物线产=4,丫，F为其焦点，

.•.广。,0）,准线为4-1,

设A（%,yJ,8（w，y2）,•】人“1+14用=%+1+占+1=8,.•.玉+工2=6,

所以，线段AB中点的横坐标为3,即线段A8的中点到y轴的距离为3,

所以线段A8的中点到准线的距离等于4.

故选：C.

13.已知抛物线C：）尸=4%的焦点为A斜率为2的直线/与C的交点为A,4.若|AF|+忸F|=10,贝I”的

方程为（）

A.y=2x+7B.y=2.r+lC.y=2x-7D.y=2x-1

【答案】C

【分析】设斜率为2的直线/方程为y=2x+"与抛物线进行联立可得4f+（4。-4）x+/=o,设A（X“J,

8（々，必），所以用+毛=1-"接着利用抛物线的定义即可求解

【详解】由抛物线C：）/=4l可得焦点*1,0）,准线为A-1,

设斜率为2的直线/方程为y=2x+bt

所以‘；力消去了得4^+（助一4八+//=0,

D=（4/?-4）2-16/72>0,解得

设A（E，X）,成％必），所以工+。=1一〃，

利用抛物线的定义可得|AF|+|BF|=%+l+w+l=10,即1-"2=10,解得b=-7,

所以/的方程为），=2x-7

故选：C

②抛物线的标准方程

14.已知抛物线的焦点为尸（0,1）,则抛物线的标准方程为（）

A.y2=-4xB.x2=-4yC./=4xD.x2=4y

【答案】D

【分析】根据抛物线的焦点坐标，确定开口方向和〃的值，即可得到抛物线的标准方程.

【详解】因为抛物线的焦点为尸（0,1）在y轴上,

令x2=2py（p>0）且5=1,得〃=2,所以抛物线的标准方程为f=4y.

故选：D

15.已知抛物线V=QX的焦点为（1,0）,则此抛物线的方程为（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y1--2xD.y2--4x

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义和方程求解.

【详解】因为抛物线y2=or=2x|xx,所以焦点坐标为已0）,

所以£=1解得。=4,所以此抛物线的方程为），2=4-

4

故选：B.

16.已知抛物线的准线方程为x=l,则该抛物线的标准方程为（）

A..V2=-4yB,x2=4jC.y2=4.rD.y2=-4x

【答案】D

【分析】根据抛物线准线求抛物线标准方程即可解决.

【详解】由题知，抛物线的准线方程为x=1,所以抛物线开口向左，即P=2,

设抛物线的标准方程为V=-2px,所以抛物线的标准方程为V=-4x,

故选：D

17.抛物线），2二—X的准线方程是工=1,则实数。的值为（）

A.--B.-C.4D.T

44

【答案】A

【分析】根据抛物线的准线方程列式得出结果.

【详解】由题意得：=1，解得：

4。4

故选：A.

18.数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽

略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线），=如2的一部分，其焦点坐标为（。，-2）.校门最高点到地面距离约为

18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（）

A.18米B.21米C.24米D.27米

【答案】C

【分析】将抛物线方程化为标准式，根据焦点坐标求出。的值，即可得到抛物线方程，再令＞=78.2求出x

的估值，从而得解.

【详解】依题意知，抛物线），=欠2,即/=：）,,

因为抛物线的焦点坐标为（0,-2）,所以;=一2,所以。=-：，

4a8

所以抛物线方程为y=

O

令y=-18.2,则》=145.6=144,解得x*±12,

所以校门位于地面宽度最大约为24米.

故选：C.

19.如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为18m,则此时欲经过桥洞的一艘

宽12m的货船，其船体两侧的货物距离水面的最人高度应不超过（）

A.2mB.2.5mC.3mD.3.5m

【答案】B

【分析】根据题意，抽象出抛物线的几何模型，根据抛物线的通经性质求得抛物线方程，即可求当宽为12m

时的纵坐标即可求解.

【详解】根据题意画出抛物线如下图所示：

y

o

设宽度为18m时与抛物线的交点分别为AB,当宽度为12m时与抛物线的交点分别为C。，

当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为18m,

所以由抛物线的性质可知2〃=18,则抛物线方程为/=78)，，则

所以当宽度为12m时，设。(6,〃)，代入抛物线方程得6?=-18〃，解得。=-2,

所以直线A8与直线C。的距离〃=(-2)---=2.5,

\z)

即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过2.5m,

故选：B

20.已知抛物线C：V=2px,直线/经过焦点“交C于AB两点，其中点A的坐标为(4,4),则A8|=()

1525

A.—B.5C.6D.—

44

【答案】D

【分析】解法一：由抛物线所过点可求得〃，进而得到抛物线方程和焦点产，将直线/方程与抛物线方程联

立可求得4,利用抛物线的焦点弦长公式可求得结果；

解法二：由抛物线所过点可求得P,利用二级结论.4=£可求得出,代入抛物线的焦点弦长公式可求得

结果.

【详解】解法一：抛物线。过点A(4,4),./ngp,解得：p=2t.-.C:/=4x,"(1,0),

4-04

「•直线/：y=7^(ki),即产[工-1),

4—13

4

由卜一5。一"得：4x2-17x+4=0,解得：x=4或x=•.•4=；，

2.44

y=4x

[25

：.\AB\=xA+xB+p=4+-+2=-^i

解法二：二抛物线C过点A(4,4),.・.42=8p,解得：p=2,

=

*.,xAxtt-—1>~f|AS]="A+xfi+p=44--+2=,

故选：D.

21.已知抛物线f=2p），（〃>0）的准线为y=-g,0为坐标原点,A、B都在此抛物线上，若直线AB过（0,2）,

则。AO4=（）

A.4B.8C.0D.-8

【答案】C

【分析】法一：先由抛物线的准线方程求得抛物线的方程，再直接利用特殊直线法求得AB的坐标，从而

得解；

法二：联立直线A8与抛物线的方程，利用韦达定理与向量数量积的坐标表示即可得解.

【详解】法一：

因为抛物线Y=2n，（〃>0）的准线为y=—g,所以即〃

所以抛物线的方程为/=2），，

因为直线AB过（0,2）,

所以可取直线A4为尸2代入抛物线方程，计算得4-2,2）,8（2,2）,

所以OAOB=-2x2+2x2=0;

法二：

依题意，直线A8的斜率必然存在，设直线A8为丁=丘+2,A（N，y）,双孙力），

联立卜二2y消去》，，得/_26-4=0,

y=kx+2

此时△=43+16>0,所以中”-4，则乂/=五,%=4，

22

所以OA•OB=NW+y\y2=o.

故选：c.

③抛物线的性质

22.对抛物线下列描述正确的是（）

O

A.开口向上，焦点为（0,2）B.开口向上，焦点为（），最

D.开口向右，焦点为（表,0

C.开口向右，焦点为（2,0）

【答案】A

【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式/=8），，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.

【详解】由题知，该抛物线的标准方程为F=8），，

则该抛物线开口向上，焦点坐标为（。,2）.

故选：A.

23.若抛物线）2=2px（p>0）上任意一点到焦点的距离恒大于1,则〃的取值范围是（）

A.p<lB.p>1C.p<2D.p>2

【答案】D

【解析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值三，列不等式求解.

【详解】・・•设P为抛物线的任意一点，

则P到焦点的距离等于到准线：的距离，

显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值即p>2.

故选：I）.

【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题.

24.已知点（x,），）在抛物线卢4犬上，则z=Y+；+3的最小值是（）

A.2B.3C.4D.0

【答案】B

【分析】将抛物线方程代入，利用二次函数的性质配方即可求最值.

【详解】因为点（x,y）在抛物线y2=4x上，所以收0,

因为z=x2+；y2+3=x2+2x+3=（x+1）2+2,所以当x=0时，z最小，最小值为3・

故选：B.

25.以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（）

A.y2=8xB.y2=-8x

C./=8xxikr=-8xD.丁=8），或V=-8），

【答案】C

【分析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.

【详解】依题意设抛物线方程为丁=±2PMp>0）.因为焦点与原点之间的距离为2,所以5=2,所以2p=8,

所以抛物线方程为V=8x或V=-8x.

故选：C.

26.已知圆丁+9=产(厂>0)与抛物线),2=3、.相交于知，N,且|MN|=26,则”()

A.夜B.2C.2GD.4

【答案】B

【分析】由圆与抛物线的对称性及|MN|=2G,可得M点纵坐标，代入抛物线得横坐标，求出IOMI即可

得解.

【详解】因为圆二，(，>0)与抛物线丁=3x相交于M,N,且|MN|=2X/5,

由对称性，不妨设M(x,75),

代入抛物线方程，贝!J3=3x,解得x=l,

所以

故r=|OM|==2

故选：B

④多选题与填空题

二、多选题

27.(多选)抛物线V=8x的焦点为R点P在抛物线上，若|PQ=5,则点尸的坐标为()

A.(3,276)B.(3,-276)

C.(-3,25/6)D.(-3,-2>/6)

【答案】AB

【分析】设点P的坐标为(x,y),利用抛物线的定义可得x—(—2)=5,求得x=3代入抛物线方程中可求出

y的值，从而可求出点P的坐标

【详解】抛物线y2-8x的准线方程为x=-2,

设点P的坐标为(x,y),

V|PF|=5,Ax-(-2)=5,・・・x=3.，把x=3代入方程y2=8x得y2=24,:.、=土2瓜

・••点P的坐标为(3,±25/6).

故选：AB.

28.已知抛物线的焦点在直线1-2>-4=。上，则此抛物线的标准方程是()

A.y-=16xB.?=-8yC.x-=16vD..r=Sy

【答案】AB

【分析】分别求出选项中各抛物线的焦点坐标，代入直线检验即可得结果.

【详解】对于A,抛物线），=16/开口向右，焦点坐标为（4,0）,在直线x-2y-4=0上；

对于B,抛物线开口向下，焦点坐标为（0,-2）,在直线工-2打4=0上；

对于C,抛物线V=16y开口向上，焦点坐标为（0,4）,不在直线x-2y-4=。上；

对于D,抛物线/=8），开口向上，焦点坐标为（0,2）,不在直线x-2y-4=0上；

故选：AB.

29.已知抛物线C:/=4），的焦点为立点P为C上任意一点，若点M（l,3）,下列结论错误的是（）

A.|尸产|的最小值为2

B.抛物线。关于x轴对称

C.过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条

D.点尸到点M的距离与到焦点/距离之和的最小值为4

【答案】AB

【分析】根据焦半径公式结合条件判断A,由抛物线的对称性判断B,由直线与抛物线的位置关系判断C,

结合抛物线的定义，把|尸耳转化为。到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D.

【详解】设P5，%）,则片=4几，%之。，又抛物线的焦点为尸（0,1）,

对A,由题可知|夕尸卜治+出1,%=。时，等号成立，所以归产|的最小值是LA错；

对B,抛物线的焦点在V轴上，抛物线关于y轴对称，B错；

对C,由题知点M在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过“与对称轴平行的直线与抛物线只有一个

公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；

对D,记抛物线的准线为/,准线方程为），=-1,

过尸作P〃_L/于〃，过M作MN_U于N,则|QF|=|/W|,|?陷+|?目=1网+|尸M，

所以当M,P,〃三点共线，即4与N重合时，|PM|十|P目最小，最小值为3+1=4.D正确.

故选：AB.

30.如图，抛物线C：尸=2冲（〃>0）的焦点为尸，过抛物线C上一点P（点尸在第一象限）作准线/的垂

线，垂足为"厅落为边长为8的等边三角形.则（)

C.点夕的坐标为（636）D.点P的坐标为（6,4月

【答案】BD

【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解.

【详解】由题意可得：抛物线C的焦点为准线为x=-5,

设抛物线C的准线与x轴的交点为Q,

在RlZV/FQ中，则=尸=60。，|。可=〃，

可得|〃F|==2p=8,解得〃=4,故A错误，B正确；

cos9Z.3HFsQ

V\H（^^\QF\tanZHFQ=73/7=473,则点P的横坐标为|。川-|国|=8-2=6,且点P在第一象限,

故点P的坐标为（6.46），故C错误，D正确.

故选：BD.

31.已知抛物线。:），2=2庶（〃>0）的焦点为/4,（））,夕为。上的一动点，A（5』），则下列结论正确的是（）

A.〃=4B.当巴口_x轴时，点P的纵坐标为8

C.归目的最小值为4D.|到+|叩的最小值为9

【答案】CD

【分析】根据焦点坐标可得〃=8，即可判断A,根据坐标运算即可判断B,根据焦半径以及自变量的范围即

可判断C,根据三点共线即可判断D.

【详解】对于A,由抛物线。：），2=2〃式（〃>。）的焦点为尸（4,0）可知5=4=“=8,故A错误，

对于B,当PF_Lx轴时，则点尸的横坐标为4,将其代入V=16x中得y=±8,故B错误，

对于C,设“（孙儿），则阳=毛+勺为+4,由于与双所以|所|=七+4",故阳的最小值为4,故C

正确，

对于D,过〃作PM垂直于准线于M,过A作AZ?垂直于准线于E,

^\P^+\PF\=\PA\+\PM\>\AM\>\AE\=69当p,E,A三点共线时等号成立，

故D正确；

故选：CD

32.若经过点外1,3）的直线与抛物线C:y2=2px（〃>0）恒有公共点，则C的准线可能是（）.

A.x=-2B.x=-3

C.X--42D.x=-2V2

【答案】BD

【分析】由题意得，点尸（L3）在抛物线上或其内部，则后23,求出，的范围，即可得出答案.

【详解】由题意得，点P（L3）在抛物线上或其内部，则32《2p,而之3,解得〃之会

・,•其准线为X=-y<一'.

故选:BD.

33.已知抛物线C：）r=2pMp>0）的焦点为F,经过点尸旦斜率为G的直线/与抛物线C交于点A,B两点

（点4在第一象限），与抛物线的准线交于点7若|A/H=8,则以下结论正确的是（）

A.〃=4B.DF=FA

C.\BD\=^BF\D.|8尸|=4

【答案】AB

【分析】过A,6作抛物线C的准线〃，的垂线，结合抛物线定义可得AAQ"为正三角形，从而可求出产”的

长度即为〃的值即可判断A,再根据归川=：但/|=；|人同即可确定尸为AD中点即可判断B,再利用抛物线

的定义可判断C,D.

如图所示，分别过4B作抛物线C的准线，〃的垂线，垂足为已加，

抛物线的准线交火•轴于点尸，则|P尸卜〃，

由于直线/的斜率为石，则倾斜角为60,

因为4E〃工轴，所以NE4尸=60,

由抛物线的定义可知M目二|人臼,所以"是等边三角形，

所以N£Q=ZAE/=60,

则NPE尸=30,所以|的=年日=2|叩=2〃=8,解得〃=4,A正确；

因为|AE|=|E尸|=2|「用，又PFHAE,所以尸为人。中点，则OF=E4，B正确；

所以/DAE=60",ZADE=30，所以|砌=2忸M=2忸川，C错误；

11Q

因为忸耳=他尸|=学阴=触错误,

故选:AB

34.已知抛物线C：y=：/的焦点为Rp为c上一点、,下列说法正确的是（）

A.抛物线C的准线方程为y=-l

B.直线y=x-i与C相切

C.若M（0,4）,则归M的最小值为4

D.若M（3,5）,则△尸加尸的周长的最小值为11

【答案】ABD

【分析】确定〃=2,尸(0,1),设尸(即为),计算A正确,联立方程得到B正确，|尸叫=河不后W26,

C错误，过点尸作尸〃垂直于准线于，，计算得到D正确，得到答案.

【详解】抛物线C：y=1x2,即炉=今，〃=2,产(0,1),设〃(如儿)，

对选项A：抛物线C的准线方程为)，=-5=-1,正确；

对选项B：整理得到(“-2)2=0,方程有唯一解，故相切，正确；

对选项C|PM|=>/片+(为=&，0-2)2+1222班,%=2〉0时取等号，错误；

对选项D：过点/，作尸〃垂直于准线于“，|叫+归根+|例闫=|月根+|“片+|尸”|之屈不+5+1=11，当

M，P，”共线时等号成立，正确.

故选：ABD

三、填空题

35.已知抛物纸C:y2=2px的焦点为尸，点夕(3,26)在抛物线。上，贝I」「日=

【答案】4

【分析】先求出抛物线标准方程，求出焦点坐标，即可求出|MF|.

【详解】因为点尸(3,26)为抛物线丁2=2*(〃>0)上一点，

所以(26Y=2px3,解得〃=2,所以焦点RL0),

所以归目="3-1『+(26-0『=4.

故答案为：4.

36.已知抛物线f=2©，的焦点在直线3x+2)，-6=0上，则。=.

【答案】6

【分析】根据抛物线的方程写出焦点坐标即可.

【详解】抛物线-=20的焦点为(0,；｝焦点在直线3xi2y6=0上

2x—6=0.,.a=6

2

故答案为：0

37.有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车

辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m,若行车道总宽度为7.2m,则车辆通

过隧道时的限制高度为m.

【答案】3.8

【分析】由题意，建立平面直角坐标系，明确点的坐标，求出抛物线方程，可得答案.

则E（-4.8,-4.8）,尸（4.8,-4.8）,D（T.8,-7.2）,C（4.8,-7.2）,

如图可设，抛物线方程为y=将七代入，可得T.8=a.(4.8)2,求得。=-±=-三,

'4.824

故抛物线方程为

24

将工=3.6代入抛物线方程，可得y=x(3.6)2=.I,

7.2-0.7-2.7=3.8.

故答案为：3.8.

38.已知抛物线氏./=24(〃>0)的焦点为E,过点尸的直线/与抛物线交于41两点，与准线交于C点,

广为AC的中点，且耳=3,则〃=.

3

【答案】-

【分析】利用抛物线的定义结合三角形中位线定理求解即可.

【详解】设)'轴交准线于N,过A作准线的垂线，垂足为Q,因为尸为AC的中点，且|4月=3,

则由抛物线的定义可得AQ=3,

39.设抛物线f=4)，的焦点为F,4为抛物线上第一象限内一点，满足|AF|=2,尸为抛物线准线上任一点，

则|以|+1Pq的最小值为.

【答案】275

【分析】设A(xO,y())(x0>0),根据抛物线的定义，由|AF|=yO+5,可得42,1),作出A关于直线y=-1对

称的点为A,根据IP为+1P"1=1和I+1尸产闫相I可求得|PA|+|PF|的最小值;

【详解】由x2=4y,知p=2,则焦点F(O,1),准线y=-l.

依题意，设A(xO,yO)(xO>O),由定义，得|AF|=yO+^,即2=%+1,则>©=2—1=1,

・・・八(2,1),AF_Ly轴，如图：设A关于直线)，=-1对称的点为A,则A(2,-3),

=

贝1」|24|+|「”|=|2411+1。尸以％1"二不=2石，当且仅当，的坐标为(LT)时等号成立.

故答案为：2石

【点睛】关键点点睛：利用A关于直线)，=-1对称的点为A求|PA|+|PF|的最小值是解题关键.

40.已知过抛物线）1=4工的焦点”且倾斜角为6G的直线与抛物线交于A3两点，则弦43的中点到尸轴的

距离为.

52

【答案】

【分析】由题意求得直线":），=瓜-6得出AB两点的横坐标关系为：小/=与，再由抛物线的

定义可得结果.

【详解】易知：抛物线V=4x的焦点/（1,0）且准线x=-1,

如图所示：设AB中点为。过A、B、。分别向准线作垂线，垂足分别为EG、H,设。”与y轴交于D,

:.直线A8:），=&-6，与抛物线方程y2=4x联立可得3/一]0x+3=0,45，

由梯形中位线可知：2|CH|=BG|+|AE|=xfi+l+xA+l=y+2=2|CD|+2,则|CD|=g.

故答案为：（

41.已知抛物线C：）R=2px（〃>0）的焦点为R准线为/,点A,8在抛物线C上，且满足设

线段AB的中点到准线的距离为d,则卵的最小值为.

a

【答案】a

【分析】作辅助线，利用抛物线的定义可知直角梯形的两底分别为|AF|,忸耳，利用梯形的中位线定理表

示出"，进而表示出网，再根据基本不等式求得最小值.

a

【详解】如图示：设AB的中点为M,分别过点ARM作准线I的垂线，垂足为C,D,N,

设|AF|二a,\BF\=b,贝!j|Aq=a,|BZ)|二Z?,

MN为梯形ACDB的中位线，则"二|用时二审,

由AFJ_BF.可得|A8|=后工7,故苧二吗普

因为/+6之史也当且仅当a=b时取等号，

2

故IABIJVT/二&（4+/》二口

da+ba+b

故答案为：夜.

42.若P,。分别是抛物线％2=3，与圆（工-3）2+），2=1上的点，则|PQ|的最小值为

【答案】V5-1

【分析】设点网即片），圆心C（3,0）,|叫的最小值即为|“|的最小值减去圆的半径，求出|色的最小值

即可得解.

【详解】依题可设夕（小,石），圆心C（3,0）,根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，

归0的最小值即为|CP|的最小值减去半径.

因为|C斤二（%-3『+（豆；-0）~=*+玉；一6/+9,xeR,

设f（x）=A4+x2-6x+9,

/（力=4/+2~6=2（公。（2/+21+3）,由于2丁+2x+3=2|x+[+工＞0恒成立,

、2）2

所以函数/（X）在（-00,1）上递减，在（1,内）上递增，即&=*）=5,

所以|CP|n“n=^＞l,即的最小值为百-1.

故答案为：＞/5—1.

四、高考真题及模拟题精选

一、单选题

1.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标【））已知A为抛物线C:>2=2px（p>0）上一点，点

A到C的焦点的距离为12,至Uy轴的距离为9,则〃=（）

A.2B.3C.6D.9

【答案】C

【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.

【详解】设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知|从用=/+曰=12,即12=9+与，解得〃=6.

故选：C.

2.（2021年全国新高考0卷数学试题）抛物线/=2〃4（〃>0）的焦点到直线），=工+1的距离为&,则〃=（）

A.1B.2C.242D.4

【答案】B

【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得〃的值.

【详解】抛物线的焦点坐标为

£-oi

其到直线x-），+l=。的距离：+=&,解得：P=2（p=-6舍去）.故选：B.

x/iTT

3.（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）设厂为抛物线C:J=4x的焦点，点4在C上，点以3,0）,若

\AF\=\BF\,则|阳=（）

A.2B.2\/2C.3D.3及

【答案】B

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可

得到答案.

【详解】由题意得，尸（1,0）,则4目=忸尸|=2,

即点A到准线x=-1的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在工轴上方，代入得，4（1,2）,所以=2）2=20.

故选：B

4.（2020年北京市高考数学试卷）设抛物线的J贝点为。，焦点为产，准线为/.P是抛物线上异于。的一

点，过，作尸Q，/于Q,则线段尸Q的垂直平分线（）.

A.经过点。B.经过点P

C.平行于直线0PD.垂直于直线。户

【答案】B

【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可

知，线段尸Q的垂直平分线经过点儿即求解.

【详解】如图所示:

因为线段R2的垂直平分线上的点到EQ的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|尸。|=|炉|,所

以线段FQ的垂直平分线经过点P.

故选：B.

【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.

5.（2022年高考天津卷（回忆版）数学真题）已知抛物线V=4石x,不鸟分别是双曲线捺-5=1（”0,力＞0）

的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点匕，与双曲线的渐近线交于点A,若=则双曲

线的标准方程为（）

.x->,

A.-----y-=1B.

10-

x),

C.x2-^-=lD.-----y-=1

44

【答案】C

【分析】由已知可得出C的值，求出点A的坐标,分析可得|4周二|月6|，由此可得出关于，、/八。的方程

组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.

【详解】抛物线一），2=46大的准线方程为犬=-石，则。=石，则6（-6,0）、%（百,0）,

bX=-CZ,

y=­x

不妨设点A为第二象限内的点，联立.〃可得be,即点A-C,二

y=—Va

a

因为A£_L6入且N"鸟A=:,则尸2A为等腰直角三角形，

且M=|耳闾，即?=2c,可得3=2,

-=2

aa=1

所以，卜=石，解得〃=2,因此，双曲线的标准方程为/一£二1.

2224

c=a+hC=V5

故选：C.

6.（2021年天津高考数学试题）己知双曲线，-营=13>0法>0）的右焦点与抛物线丁=2/“5>0）的焦点

重合，抛物线的准线交双曲线于4,B两点,交双曲线的渐近线于。、。两点，若|CD|=0|A8|.则双曲线

的离心率为（）

A.&B.75C.2D.3

【答案】A

【分析】设公共焦点为（。,0）,进而可得准线为*=-。，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得

再由双曲线离心率公式即可得解.

【详解】设双曲线£=1（。>0力>0）与抛物线y2=2px（p>0）的公共焦点为（c,o）,

则抛物线y2=2px（p>0）的准线为X=-。，

令I,则捺一£=1,解得…j所以卜用=当，

又因为双曲线的渐近线方程为），=土，x,所以=

所以四£=2至，即°=&,所以所以双曲线的离心率e=£=应.

aa2a

故选：A.

二、多选题

7.（2022年全国新高考I卷数学试题）已知。为坐标原点，点41,1）在抛物线。：/=2〃），（〃>（））上，过点

仇。，-1）的直线交C于P,Q两点,则（）

A.C的准线为y=7B.直线/W与C相切

C.|O"|OQ|>|CM『