人教版数学八年级上册尺规作图教学及习题课件

尺规作图课件及习题八年级上数学吴老师2.几种基本尺规作图1.尺规作图概念3.尺规作图习题目录Contents

只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出一些图形，这种画图的方法被称为尺规作图.

这种作图方法不必用具体数值，只按给定图形进行再作图，这也是它与画图的区别所在.什么是尺规作图圆规功能以平面上任意一点为圆心，任意长为半径作圆或圆弧，也可在直线上截取一段，使它等于已知线段尺规作图我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图直尺功能①在两点间连结一条线段；②过平面上两点作直线或作射线什么是尺规作图1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连接两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×.2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×.尺规作图的几何语言2.几种基本尺规作图1.尺规作图概念3.尺规作图习题目录Contents

1.作一条线段等于已知线段2.作一个角等于已知角3.在给定边角条件下，求作三角形4.作已知角的角平分线5.经过一已知点做一直线的垂线6.作一已知线段的垂直平分线几种基本的尺规作图1.作一条线段等于已知线段已知：线段MN＝a，求作一条线段AB，使AB=a.aMNACB作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段已知：线段AB，如图.求作：线段A′B′，使A′B′=AB作法图示（1）作射线A′C′（2）以点A′为圆心，以AB的长为半径作弧，交射线A′C′于点B′，线段A′B′即为所求作一条线段等于已知线段对点典例剖析典例1

如图，已知线段a，b，作线段AB=a+b．（要求：保留作图痕迹）作一条线段等于已知线段-典型例子［答案］

解：作法：①作线段AC=a；②在线段AC的延长线上作CB=b．线段AB就是所求作的线段，如图所示．［解题思路］可先作一条线段等于已知线段a，进而在所作线段的延长线上再作一条线段等于线段b即可.作一条线段等于已知线段-典型例子

例

如图，已知线段a，b（a＞b），求作等腰三角形，使其底边长为a-b，两腰长分别为a．作一条线段等于已知线段-典型例子［解析］先作线段AB=a，再截取AC=b，然后分别以点C，B为圆心，a为半径画弧，两弧相交于点D，则△BCD即为所求．作一条线段等于已知线段-典型例子［答案］

解：如图，△BCD即为所求．1.以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D.作法：2.作一条射线O,A,.以点O,为圆心，OC长为半径作弧

,交O,A,于点C,

.3.以点C,为圆心，CD长为半径作弧

,交弧于点D,.4.过点O,、D,作射线O,B,.∠A,O,B,是所求作的角.ABODC例1已知∠AOB，求作∠A,O,B,,使∠A,O,B,=∠AOB.C,D,A,O,B,2.作一个角等于已知角ABODC例1已知∠AOB，求作∠A,O,B,,使∠A,O,B,=∠AOB.C,D,A,O,B,证明：连接CD,C,D,（SSS）(作法)(作法)(作法)在△OCD与△O,C,D,中∴△OCD≌△O,C,D,

∴∠A,O,B,=∠AOBOC=O,C,OD=O,D,CD=C,D,2.作一个角等于已知角对点典例剖析典例2

已知∠AOB，利用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=2∠AOB．2.作一个角等于已知角-典型例子［答案］解：作法：①作∠DO′B′=∠AOB；②在∠DO′B′的外部作∠A′O′D=∠AOB.∠A′O′B′就是所求作的角，如图所示.［解题思路］按照作图步骤作两个有一条公共边的角等于已知角.2.作一个角等于已知角-典型例子对点典例剖析典例3

如图，已知∠α，求作一个角∠β，使得∠β=3∠α，并作∠β的平分线．2.作一个角等于已知角-典型例子［答案］解：如图，∠AOB即为所求作的角∠β，OE为∠β的平分线.［解析］按照作一个角等于已知角的方法作出∠β=3∠α，再按照作一个角的平分线的方法作∠β的平分线.2.作一个角等于已知角-典型例子全等三角形的判定方法：判定方法1：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS)判定方法2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA)判定方法3：两角及一等角的对边分别相等的两个三角形全等(AAS)判定方法4：三条边分别相等的两个三角形全等(SSS)温故知新全等三角形的判定方法知识点用尺规作三角形2

我们由三角形全等的判定可以知道，每一种判定两个三角形全等的条件(_____，_____，_____，_____)，都只能作出唯一的一个三角形.SSSSASASAAAS3.用尺规作三角形(1)如图，△ABC中有六个元素，只要已知其中的哪几个元素就可作出这个三角形呢？BACabc①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两角和其中一角的对边.知道△ABC的六个元素中的某三个元素，根据确定三角形的条件，以下四种情况可作出△ABC.实验与探究三角形六要素中某三要素可以确定一个三角形例

已知三边，用尺规作三角形.如图，已知线段a，b，c.求作：△ABC，使AB=c,BC=a，AC=b.已知三边，用尺规作三角形（SSS）分析：由作一条线段等于已知线段，能够作出边AB，即A，B两点确定.而BC=a，AC=b，故以点A为圆心，b为半径画弧，以点B为圆心，a为半径画弧，两弧的交点就是点C.三角形作图-已知三边作三角形三角形作图-已知三边作三角形已知：线段a，b，c(如图).求作：△ABC，使BC=a，AB=c

，AC=b.作法：①作线段BC=a；②分别以点B，C为圆心，以c，b为半径在BC的同侧作弧，记两弧的交点为A；△ABC就是所求作的三角形.③连接AB，AC

；abcBCAA′三角形作图-已知三边作三角形DE例3已知∠a，∠b和线段a，用直尺和圆规作△ABC，使∠A=∠a，∠B=∠b，AB=a.作法:1.作一条线段AB=a.2.分别以A，B为顶点，在AB的同侧作∠DAB=∠a，∠EBA=∠b，DA与EB相交于点C.△ABC就是所求作的三角形.aabBAC画三角形——已知两角及夹边ASA分析：根据夹边的概念和题目所给的条件，可以考虑先作出夹边，然后再以夹边的端点作为角的顶点进一步确定两个角。三角形作图-已知两角及夹边根据夹边的概念和题目所给的条件，可以考虑先作出夹角，然后再在夹角的两边截取已知两边，连接两个端点例5

已知线段a，c和∠a，用直尺和圆规作△ABC，使∠ABC＝∠a，AB=c,BC=a.画三角形——已知两边及夹角SASBAaacCac△ABC就是所求作的三角形.分析：三角形作图-已知两边及夹角已知两角及一角对应的边，方法一方法二三角形作图-已知两角及一角对应的边只要设法把三条线段首尾顺次相接即可.三角形的画法总结：已知两角夹边，先画边,再画两角;已知两边夹角，先画角,再在角的两边分别截取两边。已知三边,三角形的画法总结AOB如图，已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线.方法归纳交流

用尺规作已知角的角平分线(或是以已知角的一边为公共边，作某角等于已知角)的作图原理，实则是圆的基本性质与三角形全等判定定理的综合运用.4.作已知角的平分线AOB作法：（1）在射线OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；DE（2）分别以点D，E为圆心、大于线段DE长的一半为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；C（3）作射线OC.则射线OC就是所求作的∠AOB的平分线.否则得不到点C或交点C不明显.作已知角的平分线AOBDEC如何证明∠AOC＝∠BOC？如何证明角平分法AOBDEC如图，连结EC、DC.∵OD＝OE，DC＝EC，OC＝OC∴△OCD≌△OCE（S.S.S.），∴∠AOC＝∠BOC.如何证明角平分法（1）以已知角的顶点为圆心、适当长为半径作弧交已知角的两边于两点（2）再分别以这两个交点为圆心、大于这两点的距离的一半为半径作弧，两弧交于一点（3）以已知角的顶点为顶点过两弧交点作射线,射线就是已知角的平分线作已知角的平分线如何过一点P作已知直线l的垂线呢？P点P与已知直线l

的位置关系有两种：点P在直线l上或点P在直线

l外.5.经过一已知点作已知直线的垂线(1)点P在直线l上作法：①在直线l

上点P

的两旁分别截取线段PA，PB，使PA=PB；③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.PlABC

经过一已知点作已知直线的垂线答:如图，具体作法如下:①以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB交于点

弧交于点Q.③作直线PQ.直线PQ就是经过直线AB上一点P的AB的垂线.经过一已知点作已知直线的垂线(2)点P在直线l外P作法：①任意取一点K，使点K和点P在l两旁；②以点P为圆心，PK长为半径作弧，交l于点D和E；

④作直线PF.

直线PF即为所求垂线.KDEF经过一已知点作已知直线的垂线（2）当点C在直线AB外CBA①以点C为圆心，作能与直线AB相交于D、E两点的弧；DE②作∠DCE的平分线.F直线CF就是要求作的垂线.△CDE为等腰三角形.由“三线合一”可知，只需作出∠DCE的平分线，则该平分线所在的直线就是要求作的垂线.经过一已知点作已知直线的垂线过直线上一点作垂线过直线外一点作垂线经过一已知点作已知直线的垂线ABlOp线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.垂直平分线的定义?线段垂直平分线的性质？垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.6.画垂直平分线DC例2已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线.作法:1.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点C，D；2.过点C，D作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线.AB画垂直平分线思考

如图，已知直线l是线段AB的垂直平分线，则直线l是线段AB的对称轴，对l上的任意两点C、D，总有：ABDClCA＝CB，DA＝DB由此，你能发现作垂直平分线的方法吗?作已知线段的垂直平分线已知：如图，线段AB.求作：线段AB的垂直平分线CD.BA作法：

（1）分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D；CD（2）作直线CD.直线CD就是要求作的线段AB的垂直平分线.作已知线段的垂直平分线如何证明直线CD垂直平分线段AB？BACD如何证明垂直平分线BACD如图，连结CA、CB、DA、DB.∵AC＝BC，AD＝BD，CD＝CD，∴△ACD≌△BCD（S.S.S.），∴∠ACD＝∠BCD.∴CD垂直平分线段AB（等腰三角形的“三线合一”）.如何证明垂直平分线2.几种基本尺规作图1.尺规作图概念3.尺规作图习题目录Contents

如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(

A

)A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACBA习题

角平分线的作法

55习题变式演练

如图，已知∠AOB，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，那么第二步的作图痕迹②的作法是(

D

)DA.以点F为圆心，OE长为半径画弧B.以点F为圆心，EF长为半径画弧C.以点E为圆心，OE长为半径画弧D.以点E为圆心，EF长为半径画弧习题

用尺规作垂线

A.CF平分∠ACBB.CF⊥ABC.CF平分ABD.CF垂直平分ABB习题3.已知：如图，线段a，b，∠α，求作：△ABC，使得BC=a，AC=b，∠ACB=∠α，

作图略.作出符合要求的三角形，关键是根据条件确定三角形的三个顶点的位置.解题时候要根据实际情况判断是否存在多个符合题设条件的△ABC.习题3.直线l表示一条公路，点A和点B表示两个村庄.现要在公路上造一个加油站到两个村庄的距离相等，问加油站应建在何处？请在图上标明这个地点，并说明理由.B.A.l习题4.有A,B,C三农户准备一起挖一口井，使它到三农户家的距离相等.这口井应挖在何处？请在图中标出井的位置，并说明理由.A

.C

.B

.习题2.如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（

）.A.已知两边及夹角B.已知三边C.已知两角及夹边D.已知两边及一边对角C习题2.做出图中三角形的三个角的平分线。内心习题1.已知∠α、∠β，求作∠ABC，使∠ABC=∠α+∠β.αβ习题2.已知∠α、∠β，求作∠ABC，使∠ABC=∠α-∠β.αβ习题5.在ABC中,BC＝5cm,AC＝3cm,AB＝3.5cm,∠B＝35°,∠C＝45°,请你选择适当数据,画与△ABC全等的三角形，说一说你有几种办法呢？CAB3.5cm5cm3cm习题1.利用尺规不能唯一作出的三角形是（）

A.已知三边B.已知两边及夹角

C.已知两角及夹边D.已知两边及其中一边的对角DC2.利用尺规不可作的直角三角形是（）A.已知斜边及一条直角边B.已知两条直角边C.已知两锐角D.已知一锐角及一直角边习题

3.如图△ABC,在图中找一点O,使它到△ABC的三边距离都相等.点O应在何处？请在图中标出点O的位置，并说明理由.ACB习题4.已知:∠β和线段a,b，用尺规作ΔABC，使∠B=∠β,BC=a,AC=b，这样的三角形能作几个？bab习题AOB如何将∠AOB四等分?【想一想】习题

已知：如图，已知∠AOB.求作：射线OC,使∠AOC:∠COB=1:3.作法：（1）作∠AOB的平分线OP；（2）作∠AOP的平分线OC，射线OC,将∠AOB分成1:3的两部分.习题1.如图，已知△ABC，用尺规作图作∠ACB的平分线CD．（保留作图痕迹，不要求写作法）习题解：如图所示：DC即为所求．习题

习题解：如图所示：1.如图，A、B、C三个居民区的位置成三角形，现决定在这三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A.AC，BC两边高线的交点处B.AC，BC两边中线的交点处C.AB，BC两边垂直平分线的交点处D.∠A，∠B两内角平分线的交点处【解析】根据线段垂直平分线的性质，在线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可知超市应该建在AB，BC两边垂直平分线的交点处.C习题2.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于某直线对称，请你作出它们的对称轴.ABCDA′B′C′D′EF解：如图，直线EF即为所求对称轴.分析：连接任意两个对应点作其垂直平分线即是.习题3.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点，并说明理由.··CABa作法：作点B关于直线

a的对称点点C,连接AC交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置.·D习题3.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点，并说明理由.··CABa·D解：在a

上另外任取一点E，连接AE，

CE，BE，BD,AD.易得DB=DC，EB=EC，所以AD+DB=AD+DC=AC，AE+EB=AE+EC.在△ACE中，AE+EC＞AC,即AE+EC＞AD+DB,所以抽水站应建在河边的点D处.E·习题AC+CB=AC+CB1=AB1,AC1+C1B=AC1+C1B1＞AB1.所以最短路径是AC+BC.草地河BAC1CB1l“牧马饮水问题2”：如图，牧马人从A地出发，先到河边某处饮马，再回到B处，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？请画出最短路径.当点A、B位于直线

l的同侧时，作点B关于直线l的对称点B1，连接AB1，与直线l的交点，即为直线l上到A、B距离之和最短的点.习题

1.如图，点P在∠O的一边上，试过点P作该角两边的垂线.OPAB习题2.如图，作△ABC边BC上的高.ABCDAD就是要求作的高.习题BACD线段AB的中点①找线段中点②作任意三角形的三边的中线习题BA

1.四等分已知线段AB.习题

2.如图，作△ABC的边BC的垂直平分线.ABCEF直线EF就是要求作的垂直平分线.习题4.如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作三角形，使所作出的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出（）A.2个B.4个C.6个D.1个ACBEDB已知线段b，∠β，如图所示.求作：△ABC，使得BC=b，∠B=∠C=∠β.bβ习题

已知：线段a，b，c，如图所示.

求作：△ABC，使得AB=a，AC=b且BC边上的中线AD=c.abc习题如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，作图痕迹

是(

)A．以点B为圆心，OD为半径的弧B．以点B为圆心，DC为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DC为半径的弧D例1习题1.尺规作图的画图工具是(

)A．刻度尺、圆规B．三角板和量角器C．直尺和量角器D．没有刻度的直尺和圆规D练习题练1.利用基本作图方法，不能作出唯一三角形的是(

)A．已知两边及其夹角B．已知两角及其夹边C．已知两边及一边的对角D．已知三边C习题2.根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是(

)A．∠A＝36°，∠B＝45°，AB＝4B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝3，BC＝4，CA＝1D．∠C＝90°，AB＝6A习题1.

已知∠

AOB

，用尺规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠

AOB

的作图痕迹如图所示，则判断∠

AOB

＝∠A'O'B'所

用到的三角形全等的判定方法是(

D

)A.SASB.ASAC.AAS