（新教材适用）高中数学复习课第2课时一元函数的导数及其应用课后习题新人教A版选择性

第2课时一元函数的导数及其应用课后训练巩固提升1.若曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则A.2 B.2 C.12 D.解析:y=x+1x-1=1+2x-1,y'=2因为曲线在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,所以12×(a)=1,解得a=2,故选B答案:B2.若函数f(x)=x22x4lnx,则f(x)的单调递增区间为()A.(1,0)B.(1,0)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.(0,+∞)解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),导数f'(x)=2x24x由f'(x)>0,得x>2.故f(x)的单调递增区间是(2,+∞).答案:C3.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x).若函数y=(1x)·f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析:由题图可知,f'(2)=0,f'(2)=0,当x<2时,f'(x)>0;当2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D.答案:D4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a+b=()A.0或7 B.7C.0 D.7解析:f'(x)=3x2+2ax+b.由题意得f解得a若a=3,b=3,则f'(x)=3x26x+3=3(x1)2.当x<1或x>1时,f'(x)>0,所以x=1不是极值点,不符合题意.经检验,a=4,b=11符合题意,所以a+b=411=7.故选B.答案:B5.已知函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,且对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为()A.{x|x>0}B.{x|x<0}C.{x|x<1或x>1}D.{x|x<1或0<x<1}解析:设g(x)=ex·f(x)ex,则g'(x)=ex·[f(x)+f'(x)1].∵对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,∴g'(x)>0在R上恒成立.∴g(x)=ex·f(x)ex在R上为增函数.又f(0)=2,∴g(0)=1.故g(x)=ex·f(x)ex>1的解集为{x|x>0},即不等式ex·f(x)>ex+1的解集为{x|x>0}.答案:A6.已知函数f(x)=x33ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间为.

解析:令f'(x)=3x23a=0,解得x=±a.易得f(x)在x=a处取得极大值,在x=a处取得极小值.由题意知f(a)=6,f(a)=2,解得a=1,b=4.令f'(x)=3x23<0,得1<x<1.故函数f(x)的单调递减区间为(1,1).答案:(1,1)7.已知函数f(x)=x3+ax24x+3(x∈R).(1)当a=2时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,求实数a的取值范围.解:(1)当a=2时,∵f(x)=x3+2x24x+3,∴f'(x)=3x2+4x4.∴f'(1)=3,即切线的斜率为3.∵f(1)=2,∴切点为(1,2).故所求切线方程为y2=3(x1),即3xy1=0.(2)∵f(x)=x3+ax24x+3,∴f'(x)=3x2+2ax4.∵函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,∴f'(x)≤0对x∈(1,2)恒成立,即3x2+2ax4≤0对x∈(1,2)恒成立,从而a≤2x-32x,设h(x)=2x-32x,则h'(x∵当x>0时,h'(x)<0,∴函数h(x)在区间(0,+∞)上单调递减.∴当x∈[1,2]时,h(x)min=h(2)=2.∴a≤2.故实数a的取值范围为-∞8.已知函数f(x)=(x+a)ex(a∈R).(1)若函数f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若f(x)≥e2对x∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)f'(x)=(x+a+1)ex,x∈R.因为函数f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,所以f'(x)≥0,即x+a+1≥0对x∈[3,+∞)恒成立.因为y=x+a+1是增函数,所以3+a+1≥0,解得a≥2.故实数a的取值范围为[2,+∞).(2)因为f(x)=(x+a)ex≥e2对x∈[0,2]恒成立,即a≥e2xx对x∈[0,2]恒成立.设g(x)=e2xx,x∈[0,2],则g'(x)=e2x1.因为g'(x)<0,所以函数g(x)在区间[0,2]上单调递减.所以a≥g(x)max=g(0)=e2.因此,实数a的取值范围是[e2,+∞).9.已知函数f(x)=x2mlnx,h(x)=x2x+a,(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在区间(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.解:(1)由f(x)≥h(x)在区间(1,+∞)上恒成立,得m≤xlnx在区间(1,+∞设g(x)=xlnx,则g'(x)=令g'(x)=0,解得x=e.当x∈(1,e)时,g'(x)<0,函数g(x)在区间(1,e)上单调递减;当x∈(e,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)在区间(e,+∞)上单调递增.所以当x=e时,函数g(x)取得极小值也是最小值,且最小值为g(e)=e.故m≤e.(2)由题意得k(x)=x2lnxa,函数k(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点等价于函数φ(x)=x2lnx的图象与直线y=a在区间[1,3]上有两个不同的交点.φ'(x)=12x令φ'(x)=0,解得x=2.当x∈[1,2)时,φ'(x)<0,函数φ(x)在区间[1,2)内单调递减;当x∈(2,3]时,φ'(x)>0,函数φ(x)在区间(2,3