高考高中物理必考：圆周运动-知识点+例题详解

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高考高中物理必考：圆周运动•知识点+例题详解

L圆周运动的物理量

⑴线速度：通过的弧长与所用时间的比值

△s

V

方向为圆周上该点的切线方向，线速度大小不变的圆周运动即为匀速圆周运动；

⑵角速度：连接质点与圆心的半径转过的弧度与所用时间的比值

△9

(jj=

At

方向用右手定则判断，四指表示运动方向，大拇指指向角速度的方向；

对于圆周来讲，弧长与圆心角存在几何关系As二R-A6,所以有

V3

=-R;

⑶周期T:完成一周运动所用的时间;

⑷频率Jf和转速n：Is时间内完成的周数为频率，频率和转速的含义相同，

显然有

1

T

［例1］如图所示，一个圆台上底半径为丁1,下底半径为丁2,其母线AB长为

L,侧放在水平地面上,推动它之后，它自身以角速度3旋转，整体绕。点做匀

速圆周运动，若接触部分不打滑，求旋转半径0A及旋转一周所需的时间。

0AB

解析：由几何关系，可得

「1OA

/2OA+L

ri

L

解得0A二『2一『1

求出A点的线速度

UQ=31

有

设旋转一周所需的时间为T,则

27r・OA2TVL

T=%=3(r2-n)

2.同心轮与皮带轮

V

同心轮各轮的角速度3相同，线速度与轮半径成正比；

V

用皮带连接的两个轮的线速度相同，角速度3与轮半径成反比。

3.向心加速度

由于做圆周运动的物体其速度方向时刻沿圆周的切线，即速度方向时刻都在变

化，所以一定存在加速度，而力是产生加速度的原因,因此做圆周运动的物体一

定受到合外力的作用。

如图，运用相似三角形的知识，容易得到

点和曲线上紧邻A点两侧的两点做一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的

曲率圆，其半径p叫作A点的曲率半径。

通过向心加速度的表达式，告诉了我们求曲率半径的方法。

［例2］将一物体沿与水平面成a角的方向以速度U抛出，则在其轨迹最高点处

的曲率半径是多少？

解析：在最高点处，物体的速度为•cosa

根据受力分析，物体仅受重力，向心加速度为g,

(u°cosa)2

所以有g=P.

(v()cosa)2

p=-----------------

即此时的曲率半径9

5.向心力

可以理解为产生向心加速度的力，它是一个效果力，不是性质力，在做受力分析

时不能多加向心力，而只是各个性质力的一个合力。

Fipj=

由牛顿第二定律可知，।ma，a为向心加速度。

［例3］如图，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向上放置以细线相连的质量均为m

的、两个小物块，离轴心丁离轴心丁,物块与盘

ABA1=20cm,B2=30cm

$2

面间的最大静摩擦力为其重力的0.4倍，g取10

(1)当圆盘转动的角速度以U0多大时，细线上开始出现张力?

(2)欲使A、B与盘面不发生相对滑动,则圆盘转动的最大角速度多大?

(3)当圆盘转速达到A、B即将滑动时，烧断细线,A、B将怎样运动?

解析：⑴假设没有细线，A、B均由静摩擦力提供向心力，当达到最大静摩蒙力

时，物体即将滑动，有

F向J静/

显然r越大，角速度3越小，所以B先达到临界状态，即

f新na-e771芯，2

⑼=|A/30

解得orad/s

⑵当3>U时，B做匀速圆周运动所需的向心力

FB_f静ma^F绳"13’2『2

一十一/

A做匀速圆周运动所需的向心力

FA/静打jn/ri

一/

当A、B均达到最大静摩擦力时，处于临界状态,此时

解彳产…

⑶烧断细线后，对A有

7720；71/静THQ/

——11心，A做匀速圆周运动,

对B有

尸B团3724af^max痴卸、一力

==4.8m>v,B做离心汪动。

6.离心力

当我们选择某一做匀速圆周运动的物体作为参考系时，通过引入离心力（非惯性

参考系中引入的假想力）来简化分析。

比如，考察一个以向心加速度a匀速转动的水平圆盘上静止的一个小物块,时其

做受力分析,水平方向上其受到盘面的静摩擦力J,处于非平衡状态。当

我们以圆盘为参考系时，物块实际上是相对圆盘静止的，处于平衡状态，这时需

FwTYICLFM年

要引入离心力，14二，与静摩擦力J平衡，从而保持

平衡状态。

［例4］如图，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向上放置以细线相连的质量均为m

「1「2

的A、B两个小物块，A离轴心二R,B离轴心\=2R,物块与盘面间的

fm

最大静摩擦力为,两物块随着圆盘转动，始终与圆盘保持相对静止，则圆

盘转动的角速度从零逐渐缓慢增大的过程中，下列说法正确的是（）

A.A受到的摩擦力一直指向圆心

B.A受到的摩擦力一直背向圆心

C.A、B两物块与圆盘保持相对静止时，绳上的最大拉力为3Jm

D.A、B两物块与圆盘保持相对静止时，圆盘转动的最大角速度为

mR

解析：以圆盘为参照系，物块A、B在水平方向上受到的离心力分别为

叫=2机/五方向从。指向B

圆盘刚开始转动时，A、B的摩擦力都需要和离心力平衡，所以指向圆心，B错

误；

当物块即将滑动时，对A、B整体，有

BA

F=F+2fm

即静摩擦力从B指向A,所以A受到的摩擦力背离圆心，A错误；

隔离A,设绳上拉力为T,则有

T_FAJm3fmc正确

7.常见模型及二级结论

⑴交通工具倾斜转弯模型：火车、飞机转弯等，如图

F向R

」=mgtan0=m

Vy/gRtanO

所以9

3ygtanO/R

对于火车转弯，满足上式的时候，车轮对轨道侧壁无压力；

对于飞机，倾斜角越大，向心力越大，同等速度下，转弯半径越小。

［例5］如图所示，一个为壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不

动，两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速

圆周运动，则（）

A.A球的角速度等于B球的角速度

B.A球的线速度大于B球的线速度

C.A球的运动周期小于B球的运动周期

D.A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力

解析：倾斜角一样,所以向心力大小一样，显然半径大的线速度大，半径小的角

速度大，所以选Bo

⑵圆锥摆模型：如图

3='gtana/R而R=Lsina

所以④=Vg/hT=27Vy/h/g

说明圆锥摆的角速度和周期仅与锥高有关。

⑶竖直圆周运动模型：

①绳球模型：包括水流星、圆形轨道内侧

最高点的最小速度x满足

忧—

mg=mR合巧=，9五

（重力提供向心力）

最低点的最小速度02满足

今。2.=y/5gR

最低点与最高点绳子的拉力差AF=6mg（可自行推导）

[例6]“水流星"是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为轻绳一端拴着小球

在竖直平面内的圆周运动模型，已知绳长为L,重力加速度为g,则下列说法正

确的是（）

A.小球运动到最低点汨，处于失重状态

B.小球初速度v越大，则在最高点和最低点绳子的拉力差越大

C.当最低点速度时，小球一定能通过最高点

D.当最低点速度v<时，细绳始轨于绷紧状态

解析：只要小球处于下半圆，都是超重状态，因为存在向上方的加速度，A错误;

如果小球可以做完整的圆周运动，按照二级结论，拉力差为定值6mg,B错误;

按照二级结论，最低点的临界速度是，C正确；

此时小球处于往复摆动状态，细绳绷紧，D正确。

②杆球模型：轨道外侧、拱桥

最高点的最小速度可以等于0

最低点的最小速度〜满足

12

…1m今配=2项

③光滑半圆槽模型：

由静止滚下光滑半圆槽的小球，在底部的压力等于3mg,与半径无关（可自行

推导）。

［例力如图，放置在水平地面上的支架质量为M,支架顶端用细线拴着的摆球质

量为m,将摆球拉至水平位置后释放，摆球运动过程中支架始终不动，以下说

法正确的（）

1M

A.在释放瞬间,支架对地面压力为（m+M）g

B.在释放瞬间，支架对地面压力为Mg

C.摆球到达最低点时，支架对地面压力为（m+M）g

D.摆球到达最低点时,支架对地面压力为（3m+M）g

解析：释放瞬间，小球完全失重，对地面的压力为Mg,A错误，B正确；

参照光滑半圆轨道模型的二级结论,半圆轨道底端压力3mg,C错误,D正确。

［例1］如图所示,缠在线轴上的绳子的一头绕过墙上固定且光滑的钉子A,以竖

V

直向下的恒定速度拉绳。当绳子与竖直方向成角a时，求线轴中心运动速度

U。已知线轴的外半径为R、内半径为r,线轴沿水平面做无滑动的滚动。

A

C

解析：线轴在水平面上以C点为接触点滚动,当作用点B位于AC连线的上方

时，线轴将向右做顺时针转动，设角速度为3,则线轴的质心运动速度满足：

vo=cuR

绳上的B点围绕线轴中心转动,其相对轴心转动的线速度

VB=3T

同时轴心也在以平动，所以B点对地的速度是两个速度的复合速度，且必

ov^sinoc―――V

定等于，即有R

Rv

”0=

解得Rsina—r

如

注意当B点处于AC连线的下方时,的表达式依然成立，但当Rsina=r时，

表达式无意义。

［例2］将一小球以=10m/s的初速度从楼顶平抛出去，如果小球做曲线运动

的法向加速度为〃4

，问小球这时下降的高度及所在处轨迹的曲率半

径各为多少？

m/s2

解析：由小球的受力可知，小球此时的加速度为g二,法向加速度

为5皿/$2,易如法向加速度与竖直方向的夹角a=60°,如图

VO

c（同时也是小球此时的速偏角，可得此时竖直方向的速度

"17。210通m/s

设此时下降的高度为h,则有

裙=2gh,得h=15m,

此时小球的速度

v2%

=20m/s,

V2

曲率半径R=a=80mo

［例3］以速度"°与水平方向成a角抛出一石块，石块沿某一轨道飞行,若蚊子

以大小恒定的速度沿同一轨道飞行，问蚊子飞到最大高度一半处具有多大

的加速度？

解析：蚊子飞行的速率恒定，加速度只能是向心加速度，已知速度求加速度，必

须知道曲率半径，所以实质上是求曲率半径。而蚊子的轨迹与石块的轨迹相同，

自然曲率半径也是处处相同。

V

求解石块轨迹在最大高度一半处的曲率半径，需要求得此时的瞬时速度和此

时的向心加速度a0

v（）cosa

抛出点的水平速度：

v^sina

抛出点的竖直速度：

v（）cosa

目标点的水平速度:

v^sxna

目标点的竖直速度：2（中位速公式）

所以

1

v2(v()cosa)2+(v()sina)2

2

v

设此时速度与水平方向的夹角为e,则

V2

tan0=2tana

对加速度g进行分解，找出此时的法向加速度a

a=g-cos0

求得此时的曲率半径

2

v2喘(1+cosa)i

R="a=2V^gcosa

所以可得蚊子此时的加速度

v22^/2gcosa

2

a_R(1+cosa)，

［例4］如图，一个半径为R的光滑半球固定在桌面上，圆球顶端放置一个可视为

质点的质量为m的小球，现小球受到一微小扰动而沿圆球滑下，则小球在什么

位置离开圆球？

解析：小球脱离半球的临界条件是支持力为0,此时，重力的分量充当向心力，

v0

设此时小球的速度为,分离点所在的半径与竖直方向夹角为，如图则有

V2

gcosO=

R

2

mgR(1—cos3)=^mv

cosO

联立解得

山甲二8码m乙

［例5］甲、乙两名溜冰运动员，=40kg,面对面拉

着弹簧秤做圆周运动，两人相距0.9m,弹簧秤的示数为96N,不计摩擦力,下

列判断中正确的是()

A.两人对弹簧的拉力都是49N

B.两人的角速度相同,为2rad/s

C.两人的运动半径相同,都是0.45m

D.两人的运动半径不同，甲为0.3m,乙为0.6m

解析：弹簧的示数等于拉力，都为96N,A错；

两人的角速度相同，向心力相同，可推出运动半径与质量成反比，'I=03m,

2。—孙一正—。正确。

［例6］竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平面上，半径r=0.4m,最低点处有一

小球，现给小球一水平的初速度U,要使小球不脱离圆轨道运动，U应当

2

满足什么条件？（g取10m//s）

解析：情形1.小球可做完整圆周运动，由二级结论有

Vo>y/5gr=s

情况2.小球只在下半圆运动,

<mgr=u（）<2\/2m/s

［例7］如图，在竖直平面内,滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一

t］

水平线上，若小滑块第一次由A滑到C,所用时间为1,第二次由C滑到A,

所用时间为4，小滑块两次的初速度大小相同，小滑块与滑道的动摩擦因数恒

定，则（）

-

AB

A力1<12

B力1=12

tl>12

•

D.无法匕瞰

解析：滑块经过A-B段和B-A段都存在向下的加速度，所以处于失重状态，且

速度越快，向心加速度越大，失重越厉害，摩擦力越小，能量损耗小，显然滑

块在A-B段的速度大于在B-A段的速度,同理,B-C段和C-B段都超重，且速

度越大，超重越厉害,摩擦力越大，能量损耗大，而滑块在B-C段的速度小于

在C-B段的速度，综合以上,A正确。

［例8］如图，一轻杆一端固定在0点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径

为R的匀速圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为

v

小球的速度大小为与图像如图，则下列说法正确的是（）

aR

A.小球的质量为b

R

B.重力加速度大小为b

v2-

C.二c时，在最局点杆对小球弹力方向向上

D.若=2b,则在最高点杆对小球弹力大小为2a

解析：当J。时，应该有由图可得此时打

=a,所以有

a

m=g,

V2b

资二时，由图可JR肛即有g二五，所叱及，所以

aR

B错误，将g代入可得m=b，所以A正确;

V2

当二C时，由于6b，此时向心加速度大于g，所以杆对小球的作用力向下,

c错误;

°:b时，向心力加倍为2mg,杆的作用力是，所以D

当

错误。

［例9］如图所示,在电机距轴0为r处固定一质量为m的铁块，电机启动后,

铁块以角谏度3绕轴0匀谏转动，重力加谏度为g,求：

⑴当3为何值时，铁块在最高点与电机恰无作用力；

⑵电机对地面的最大压力和最小压力之差为多少;

⑶若电机的质量为M，则3多大时，电机可以跳起来，此情况下对地面的最大压

力是多少？

解析：⑴重力完全充当向心力时，有

mg=m

⑵铁块在最低点时，设电机对铁块的作用力.】，则有

Fij

=mr+mg,方向竖直向上，

由牛原三定律可知，此时铁块对电机的作用力大小也J1,方向竖直向下,

所以电机对地面的压力为最大值

Nmax

=Mg+mg+m

铁块在最高点时，设电机对铁块的作用力为三，假』2向上，则有

三『一m’r,铁块对电机的作用力贝脸向下,

此时电机对地面的压力为最小值

in

=Mg+mg-^

压力差AN=Nmax-Ni

mn=2m

假如在最高点时已向下，易知结果依然不变

m=

⑶显然，在最高点才有可能跳起来，此时临界值为0l