线性系统理论课件

第四章系统运动的稳定4.1外部稳定性和内部稳定性一外部稳定性1.定义：一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入u(t),即满足条件注意：讨论外部稳定，必须假定系统初始条件为零。2结论1：时变系统对于零初始条件的线性时变系统，为其脉冲响应矩阵，则系统为BIBO稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数k,使对于一切的每一个元均满足关系式必要性：利用反让法。再考虑多输入—多输出情况

有界个有界函数之和仍为有界，利用单输入—单输出情况的结论，可证得此结论。3结论2：（定常情况）对于零初始条件的线性定常系统，表初始时刻为其脉冲响应矩阵，为其传递函数矩阵，则系统为BIBO稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数

的每一个元均满足关系式：二内部稳定性1定义：对于线性定常系统三内部稳定性和外部稳定性间的关系结论１：设线性定常系统（１）是内部稳定的，则必是BIBO稳定的。结论２：设线性定常系统（１）是BIBO稳定的，则不能保证系统发必是渐近稳定的。结论３：如果线性定常系统（１）为能控和能观测的，则其内部稳定性与外部稳定性必是等价的。

一自治系统、受扰运动和平衡状态设系统的状态方程为４.2李亚普诺夫意义下运动稳定性的

一些基本概念

系统平衡状态可以为零（），也可不为零（），但对任意总可引入一个新状态，经一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态）。对线性定常系统，有孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态，单个平衡状态也是孤立平衡状态。稳定性问题：是指系统的状态解（常称“运动”）是否能趋于平衡状态解的问题。若系统的状态解能回复到平衡状态，则称此系统是稳定的。如果系统的状态解虽然不能最终回复到平衡状态，而是在平衡状态的某一邻域内呈现自激振荡，而这种振荡又为实际系统所允许，那么也应把这种系统称之为稳定的。反之称为不稳定的。二稳定性的基本定义1稳定（李亚普诺夫意义下的稳定）1）定义：对于系统（2），如果给定任何一实数，都相应地存在另一实数，使由满足不等式

2）几何意义2渐近稳定1）定义:对于系统(2),如果给定任意两个实数和，都有相应地存在另两个实数和，使由满足不等式：

2）几何意义

3）讨论：

a)

如果和T均与无关，则称此平衡状态是一致渐近稳定的。

b)

渐近稳定的最大区域称为引力域。3大范围渐近稳定1）定义：如果系统的平衡状态是渐近稳定的，且其引力域包括整个状态空间，即有：则称系统的平衡状态为大范围渐近稳定的。2)讨论：

a)

大范围内渐近稳定的必要条件是整个状态空间中只存在一个平衡状态。

b)

对于线性系统，如果其平衡状态是渐近稳定的，那么它也一定是大范围渐近稳定的。4不稳定1）定义：如果给定任意实数且无论它们取得多么小，在由不等式

所确定的球域内，至少存在一个初态，由出发的，时的状态x

不满足下列不等式

则称状态是不稳定的。2）几何意义

李亚普诺夫第二方法是建立在这样一个直观的物理事实上的，任何一个系统或物体之所以有运动，无非是因为它具有能量的缘故。如果系统在运动过程中，其内部贮存的能量随着时间的增加而逐渐减小，一直到运动平衡状态处，系统的能量耗尽或变得最小，那么系统自然将在此平衡状态处渐近稳定。即有。由于实际系统很难找到一个统一的、简便的用于完全描述上述过程的所谓能量函数，李氏认为在判断一个系统的稳定时，不一定非要找到系统的真正能量函数，可以根据不同的系统虚构一个广义的能量函数，称为李亚普诺夫函数（李氏函数）。李氏函数能满足一定的条件，也就可根据它来判断系统的稳定性了。李氏函数一般是状态分量和时间t的标量函数，用表示。若与t无关，可用表示。在多数情况下，常取二次型函数作为李氏函数。4.3李亚普诺夫第二方法的主要定理定理1设系统状态方程为定理2：系统如（3）所示，如果它在原点的某邻域内，存在一个标量函数对t具有连续的一阶导数存在，对具有连续的一阶偏导数存在，且满足如下条件定理3：系统如（3）所示，如果它在原点的某邻域内，存在一个标量函数对t具有连续的一阶导数存在，对具有连续的一阶偏导数存在，且满足如下条件定理4：系统如（3）所示，如果它在原点的某邻域内，存在一个标量函数对t具有连续的一阶导数存在，对具有连续的一阶偏导数存在，且满足如下条件例子：系统方程为试用李亚普诺夫第二法判断系统的稳定性。例子：系统的状态方程为试用李亚普诺夫第二法判断系统的稳定性。

一线性定常系统的自由运动的稳定性判据考察线性这下常自治系统是它的一个平衡状态。判据1：（特征值判别据）对于线性定常系统（4），有（1）系统的每一平衡状态是在李亚普诺夫意义下的稳定的充分必要条件为，A的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。（2）系统的唯一平衡状态是渐近稳定的充分必要条件为，A的所有特征值均具有负实部。

4.4线性系统的状态运动稳定性的判据例给定线性定常自治系统判据2：（李亚普诺夫判据）线性定常系统（4）的零平衡状态为渐近稳定的充分必要条件，是对任意给定的一个正定对称矩阵Q，如下形式的李亚普诺夫矩阵方程

有唯一正定对称矩阵解P。第五章线性反馈系统的时间域综合系统的分析与综合：分析问题：已知系统的结构和参数及已知外输入作用，研究系统运动的定性行为（如能控性、能观测性、稳定性）和定量的变化规律。综合问题：已知系统的结构和参数，以及所期望的系统运动形式或某些特征，要确定的则是需要施加于系统的外输入作用即控制作用的规律。一般控制作用规律常取反馈的形式。5.1引言综合问题给定系统状态空间描述

A、B、C均为常阵且给定。再给出所期望的性能指标：1）对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。2）对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小（或极大）值的一个性能函数。综合：寻找一个控制作用u，使得在其作用下，系统运动的行为满足所给出的期望性能指标。一般u依赖于系统的实际响应。形式为：u=-kx+v状态反馈控制（2）

u=-Fy+v

输出反馈控制（3）其中：k为p×n常阵，状态反馈矩阵。

F为p×q常阵，输出反馈矩阵。

v—参考输入向量。二性能指标的类型性能指标非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达到或好于期望指标就算实现了综合目标。优化型性能指标：是一类极值型指标，综合的目的是要使性能指标在所有可能值中取为极小（或极大）值。常用非优化型性能指标：（1）以渐近稳定性为性能指标，相应的综合问题称为镇定问题。（2）以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，相应的综合问题为极点配置问题。系统运动的形态，即动态性能（如超调量）、过渡过程）主要由极点的位置所决定。（3）以使系统的输出y无静差地跟踪一个外部信号作为性能指标，相应的综合问题为跟踪问题。（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作为性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。优化型性能指标常取一个相对于状态x和控制u的二次型积分性能指标，其形式为：三研究综合问题的思路1建立可综合的条件：建立相对于给定的受控系统和给定的期望性能指标，使相应的控制存在，并实现综合目标所应满足的条件。2建立起相应的用以综合控制规律的算法。利用这些算法，对满足可综合条件的问题。确定出满足要求的控制规律，即确定出相应的状态反馈和输出反馈矩阵。

一反馈控制系统的基本结构形式1状态反馈控制系统的基本结构形式1）基本结构形式

2）特点：采用对状态向量的线性反馈规律来构成闭环系统。3）优点：不引入新的状态变量。4）状态空间模型5.2状态反馈和输出反馈2输出反馈控制系统的基本结构形式1）基本结构形式2）特点：采用输出反馈。

3）模型受控系统二反馈控制系统的通用结构形式1带有观测器的状态反馈（克服状态向量x不可能测到，借助状态观测器实现状态重构）。1）结构图2）观测器系统是受控系统的状态的重构状态。是可直接量测的。与虽不等，但渐近相等。观测器系统的阶次低于受控系统的阶次。

3）闭环系统阶次等于受控系统阶次与观测器系统阶次之和。2带补偿器的输出反馈克服基本结构形式，不能随心所欲地任意配置闭环系统的极点，借助补偿器来实现闭环系统的任意配置。1）结构图2）补偿器系统补偿器系统的阶次低于受控系统的阶次。3）闭环系统阶次等于受控系统阶次与补偿器系统阶次之和。三状态反馈和输出反馈系统的能控性和能观测性结论1：状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。证明：先证能控性。再证状态反馈系统不一定能保持能观测性。举例说明：

从而，表明状态反馈可能改变系统的能观测性。结论2：输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性和能观测性，即输出反馈系统为能控（能观测）的充分必要条件是受控系统为能控（能观测）。证略。四状态反馈和输出反馈的比较1状态反馈和输出反馈的比较都是借助于一个线性反馈阵（K或H）来实现闭环控制，都具有不增加系统阶次的优点。2状态反馈系统的系统矩阵为（A-BK），其中K为状态反馈阵。输出反馈系统的系统矩阵为（A-BHC），其中H为输出反馈阵，这里HC相当于状态反馈阵中的

K阵，但K的选择自由度大，而H的选择自由度小，尤其是HC对系统的影响效果要比K小得多，所以输出反馈对改善闭环系统的控制特性要比状态反馈差一些。3状态反馈和输出反馈的基本结构形式均不太适用于工程实际问题。状态反馈和输出反馈的通用结构形式较适用于工程实际问题。带观测器的状态反馈系统，可解决系统状态不能测量时的状态重构问题；带有补偿器的输出反馈系统，可解决输出反馈基本结构形式不能任意配置极点的问题。4状态反馈能保持原受控系统的能控性，但不一定能保持原受控系统的能观测性。输出反馈能同时保持原受控系统的能控性和能观测性。

一状态反馈的极点配置问题状态反馈的极点配置问题：就是对给定的受控系统，确定状态反馈律u=-Kx+v,v为参考输入，即确定一个

的状态反馈增益矩阵K，使所导出的状态反馈闭环系统的极点为{}，也就是成立解决上述极点配置问题，需要解决两个问题：1）建立可配置条件问题，即利用状态反馈而任意地配置其闭环极点所应遵循的条件。2）建立相应的算法，即用以确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵K的算法。5.3极点配置问题：可配置条件和算法二极点可配置条件〈一〉准备知识1循环矩阵定义：如果系统矩阵A的特征多项式等同于其最小多项式，则称为循环矩阵。2循环矩阵特性：1）A为循环矩阵，当且仅当它的约当规范形中相应于每一个不同的特征值仅有一个特征块。2）如果A的所有特征值为两两相异，则对应于每一个特征值必仅有一个约当块，因此A必定是循环的。3）若A为循环矩阵，则其循环性是指：必存在一个向量b，使向量组可张成一个n维空间，也即{A，b}为能控。

4）若{A，B}为能控，且A为循环，则对几乎任意的实向量p,单输入矩阵对{A，Bp}为能控。5）若A不是循环的，但{A，B}为能控，则对几乎任意的常阵K，A-BK为循环。〈二〉配置条件线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充分必要条件，是此系统为完全能控。证：必要性：已知可配置极点，欲证{A，B}为能控。利用反证法，假设{A，B}不完全能控，则必可分解为：

上式表明，状态反馈不能改变系统不能控部分的特征值，因此不可能任意地配置极点，与已知前提矛盾，故假设不成立。所以{A，B}为能控。充分性。已知{A，B}为能控，欲证可配置极点。分三步来证明：（1）使系统矩阵A为循环矩阵。若是即可。若A不是循环阵，则可予置一个状态反馈，使得

（2）化多输入系统的极点配置问题为等价的单输入系统的极点配置问题。表明对任给{}都必可找到使上式成立，即可任意配置闭环极点。三算法1单输入极点配置问题的算法给定能控矩阵对{A，b}和一组期望的闭环特征值{}，要确定的反馈增益矩阵k，使成立第一步：计算A的特征多项式，即第二步：计算由{}所决定的多项式，即第三步：计算第四步：计算变换阵第五步：求第六步：所求增益阵例：给定单输入线性定常系统2多输入极点配置问题的算法算法一：1）条件：给定能控矩阵对{A，B}和一组所期望的闭环特征值{}，要确定的反馈增益矩阵K，使

成立。2）算法：第一步：判断A是否为循环矩阵。若否，选取一个常阵，使为循环，并表示为；若是，则。第二步：对循环阵，通过适当选取一个实常向量，表示为，且{}为能控。第三步：对于等价单输入问题{}，利用单输入极点配置问题的算法，求出增益向量k。

第四步：当A为循环时，所求的增益矩阵；当A为非循环时，所求的增益矩阵为。算法二：1）条件：同上。2）算法：第一步：把能控矩阵对{A，B}，化为龙伯格规范形。假设n=0,p=3.如：

第二步：把给定的期望闭环特征值{}按龙伯格规范形的对角线块阵的维数，相应地计算第三步：取

由此可导出：

由给定的矩阵对{A，B}，计算出变换矩阵第五步：所求状态反馈增益矩阵即为。算法三例：给定多输入线性定常系统规范形方案2四状态反馈对传递函数矩阵的零点的影响（一）单输入—单输出系统1分析给定完全能控线性定常系统

2结论：（1）比较（1）、（2）式，一般情况下，引入状态反馈虽能使g(s)的极点移动位置，但却不影响g(s)的零点。（2）设某些极点在状态反馈引入后被移动到与g(s)的零点相重合，而构成对消的情况下，则此时状态反馈也影响了g(s)的零点，并且造成了被对消掉的那些极点成为不可观测。（二）多输入—多输出系统利用状态反馈可以影响受控系统的G(s)的元传递函数的零点。五输出反馈的极点配置问题1一般地说，利用非动态输出反馈(v为参考输入），不能任意地配置系统的全部极点。

2对于能控和能观测的受控系统{A，B，C}，令系统的维数为n，且

rankB=p,

rankC=g，则采用非动态线性输出反馈，可对数目为

min{n,p+q-1}

个闭环极点进行“任意地接近”式配置，即可使它们任意地接近于指定的期望极点位置。3如果在引入输出反馈的同时，附加引入补偿器，那么通过适当选取和综合补偿器的结构和特性，将可对所导出的输出反馈系统的全部极点进行任意地配置。

一能镇定性定义：对线性定常系统，如果存在状态反馈阵K（或输出反馈阵H）使得闭环系统渐近稳定，则称此系统是状态反馈（或输出反馈）能镇定的。推论：1）如果状态完全能控，那么该系统必然是状态反馈能镇定的。但逆命题不一定成立，即一个状态反馈能镇定的系统，却不一定是状态完全能控的。2）如果是输出反馈能镇定的，那么该系统必然是状态反馈能镇定的。但逆命题不一定成立，即一个状态反馈能镇定的系统，却不一定是输出反馈能镇定的。5.4镇定问题：可镇定条件和算法二可镇定的条件1状态反馈：设有线性定常系统，当且仅当其不能控部分为渐近稳定时，则该系统就是状态反馈能镇定的。证明：（1）对不完全能控系统，可根据结构分解定理使之化为(2)根据非奇异变换不改变系统的能控性和稳定性的性质，所以可研究来代替对（A，B，C）的研究。对可引入状态反馈阵，于是有2输出反馈设有线性定常系统，其输出反馈能镇定的充分必要条件为：1）其能控且能观测部分是输出反馈能镇定的。2）其能控不能观、不能控不能观、不能控但能观各部分的所有特征值都具有负实部。三算法给定{A，B}，且知其满足可镇定条件，则镇定问题中综合状态反馈增益矩阵K

的计算步骤如下：1）对{A，B}按能控性进行结构分解，导出{}，并求出变换阵P。

2）对{}，求出约当规范形：

3）利用极点配置问题算法，计算的反馈增益阵，使均具有负实部。4）所求的镇定反馈增益矩阵。一解耦的意义：所谓解耦控制问题：就是寻求适当的控制规律，使得多输入多输出闭环系统中的每个输出仅由一个输入所控制，这样就把一个多输入多输出系统化成了多个独立的单输入单输出系统，从而楞实现自治控制。二能解耦性定义：设有多输入多输出系统

引入如下假设条件：（1）p=q且p<=n即传递函数阵为严格真有理分式阵。5.5解耦控制问题：可解耦条件和算法

（2）控制规律采用输入变换加状态反馈的形式。即其中K为

状态反馈阵。L为输入变换阵。（3）

输入变换阵L为非奇异，即有

此时可将闭环系统简记为：且传递函数为：如果存在某个K、L阵，使闭环传递函数为如下形式的非奇异对角线阵

则称这样的受控系统是完全解耦的。实现完全解耦后：三传递函数矩阵的两个特征量1定义：四可解耦条件：线性定常受控系统可采用状态反馈和输入变换即存在矩阵对{L，K}

进行解耦的充分必要条件，是如下常阵推论：1）受控系统能否可采用状态反馈和输入变换来实现解耦，唯一地决定于其传递函数矩阵G(s)的两组特征向量和

。从表面上看，与系统的能控性和能镇定性无关，但从解耦后的系统要能正常运行并具有

良好性能而言，仍要求受控系统是能控的，或至少是能镇定的。2）为了判断受控系统能否可采用状态反馈和输入变换来实现解耦，既可从系统的传递函数矩阵描述来组成判别矩阵E，也可从系统状态空间描述来组成判别阵E。3）对于一个可解耦的受控系统，当选取{L，K}为：

时，必可使系统实现解耦，且解耦控制系统的传递函数矩阵为：五确定解耦控制矩阵对{L，K}的算法给定受控系统：

其中，dim(u)=dim(y)=p,{A,B}为能控。再规定以实现解耦为主要综合目标，同时对解耦的每一个单输入—单输出控制系统要实现期望的极点配置。第一步：计算{}和{}。判断是否为非奇异。若是可解耦。否则不能解耦，退出计算。第二步：计算第三步：取第四步：引入线性非奇异变换，把{}变换为如下的解耦规范形：

其中，虚线分块化表示按能观测性的结构分解形式，当{}为能观测时，{}中不出现不能观测部分。进而有：第五步：对解耦规范形{}。引入状态反馈来实现解耦控制和解耦后的单输入—单输出控制系统的极点配置。状态反馈增益矩阵取为如下形式的常阵。并且，由此可导出和表明：的结构形式保证了解耦控制的实现，而的元则由解耦后的第i个单输入—单输出控制系统的期望极点组所决定。第六步：对于所讨论的受控系统，使其实现解耦和对解耦后各单输入—单输出系统进行期望的极点配置的{K，L}为完全能观测例：给定双输入—双输出的线性定常受控系统为：

显然{}为能观测，且{}已处于解耦规范形，所以无需作进一步变换Q=I。

解耦后单输入—单输出系统的期望特征值为：六静态解耦控制问题1定义：考虑输出维数和输入维数相等的线性定常受控系统2判据：存在{K，L}，可使受控系统（1）实现静态解耦的充分必要条件是（I）受控系统是用状态反馈能镇定的；（II）受控系统的系数矩阵满足秩关系式

其中：n为系统的维数，p为输出（和输入）的维数，且L为非奇异。3算法：第一步：判断{A，B}是否能稳定或能控，判断系数矩阵的秩条件是否成立。第二步：对于满足可静态解耦条件的系统，按极点配置算法，确定一个状态反馈增益矩阵K，使（A-BK）的特征值均具有负实部。

第三步：按照静态解耦后各单输入—单输出自治系统的稳态增益要求，确定

第四步：取输入变换阵

一问题的提出在线性定常控制系统中，状态反馈具有任意配置极点的优点，可使系统获得一系列极为有用的重要性质，是一种广泛采用的控制方法。但状态反馈物理实现的基础是系统的状态向量的每一个分量匀均应能直接量测得到。然而在许多复杂的实际应用中，系统内部的每个状态分量并不都能量测得到，这就给状态反馈的物理实现造成困难。这就提出一个问题，能否通过原系统的输出输入加以改造来重新构造新的状态向量，使得在时，能复现或近似复现原系统状态向量？回答是肯定的，这就是所谓状态重构问题。观测器的含义：如果存在一个动态系统，它以原受控系统的输出和输入作为自身的输入，且当时，的输出逼近原控系统的状态，则称是的状态观测器。5.8状态重构问题和状态观测器二状态观测器的定义1定义：设有线性定常系统的状态是不能直接量测的，若存在另一个动态系统，满足如下条件：（1）以的输出y和输入u作为输入量；（2）的输出满足为的状态，则称是的状态观测器。2构造观测器的一般原则：（1）观测器必须以原受控系统的输出y和输入u作为输入。（2）为使观测器满足（1）式，则要求原受控系统是状态完全能观的，或其不能观部分是渐近稳定的。（3）观测器的输出应有足够快的逼近的的速度，因此要求应有足够的频带。（4）观测器应有较好的抗干扰性。（5）观测器的结构应尽可能简单，即的维数应尽可能低。三观测器的结构形式1观测器的种类全维观测器：观测器的维数等于受控系统的维数。降维观测器：观测器的维数小于受控系统的维数。2观测器的结构形式A全维观测器的结构形式一般结构形式（1）

结构图：重构系统是以原系统的可量测变量

u和y为输入的一个

n维线性定常系统。结构形式（2）结构图：B

降维观测器的结构形式一般结构形式四全维状态观测器1全维状态观测器进行任意极点配置的条件结论：n维线性定常系统是能观测的，即若（A，C）为能观测，则必可采用全维观测器来重构其状态，并且必可通过选择增益阵L而任意配置（A-LC）的全部特征值。2算法：给定被估计系统，设{A，C}为能观测，再对所要设计的全维观测器指定一组期望极点{}，则设计全维状态观测器的步骤为：第