2024−2025学年天津市滨海新区高二上学期12月月考数学学情检测试卷（含解析）

2024−2025学年天津市滨海新区高二上学期12月月考数学学情检测试卷一、单选题（本大题共9小题）1．若直线l的方向向量是则直线l的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3)3．已知数列满足，则（

）A．23 B． C．3 D．24．设双曲线的离心率为则a的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．15．已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（

）A． B．C． D．6．设，，向量，，且，则的值为（

）A．5 B． C． D．7．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是()A．2 B．2 C． D．18．在等差数列中，，则A．12 B．14 C．16 D．.189．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（）A． B．C． D．二、填空题（本大题共6小题）10．数列的前项和，则的通项公式为．11．已知椭圆（）的短轴长为6，则实数的值为.12．已知直线：，直线：，若，则实数a的值为.13．在棱长为1正方体中，为线段的中点，则到平面的距离为；14．如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示.15．双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则.三、解答题（本大题共5小题）16．如图，在四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，，E为棱上的点，且.

(1)求证:平面；(2)求平面与平面所成夹角的正弦值.17．已知圆经过点和，且圆心在直线上，(1)求圆的标准方程；(2)过点作圆的切线，求直线的方程.18．记为等差数列的前项和，已知，.(1)求的通项公式；(2)数列满足，，求数列的前21项和.19．已知椭圆C：的长轴为，短轴长为4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且经过点，分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于两点(其中D在x轴上方).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若求直线的方程.

答案1．【正确答案】C【详解】由直线l的方向向量是得直线的斜率为，设直线的倾斜角是，故选：C.2．【正确答案】D【详解】试题分析：由圆x2＋y2－4x＋6y＝0的方程；代入圆心坐标公式,可得；.考点：圆的一般方程及圆心坐标的算法.3．【正确答案】C【详解】因为，，所以，，，．故选：C4．【正确答案】C【详解】由双曲线方程的离心率为可得：，平方解得：，又因为，所以，故选：C.5．【正确答案】B【分析】直接将两圆方程作差即可得公共弦方程.【详解】由题意圆：和圆：，将两式作差得，圆与圆的公共弦所在的直线方程为，整理得.故选：B.6．【正确答案】D【分析】根据向量共线列出方程求解即可.【详解】因为向量，，且，所以，即，所以解得，，，所以，故选：D7．【正确答案】D【详解】由抛物线方程知2p＝8⇒p＝4，故焦点F(2,0)，由点到直线的距离公式知，F到直线x－y＝0的距离d＝＝1.故选D.8．【正确答案】D【分析】先由等差数列的概念得到公差d，再由等差数列的通项得到即可.【详解】等差数列中，，故答案为D.本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.9．【正确答案】D【分析】设点在直线上，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，以此可得出双曲线的方程.【详解】设点在直线上，由于是边长为的等边三角形，则且，所以，，解得，因此，该双曲线的方程为.故选：D.10．【正确答案】【分析】利用递推关系当时，；当时，，再验证时的情形即可得出结果．【详解】∵，∴时，．当时，，当时，不满足，则数列的通项公式为：，故答案为．本题主要考查了递推关系、数列通项公式与前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．【正确答案】3【分析】根据方程分析，利用短轴长求解.【详解】因为，所以，即.故312．【正确答案】1或【分析】由直线平行的充要条件列方程求解即可.【详解】由题意直线：，直线：，若，则当且仅当，解得，经检验满足题意.故1或.13．【正确答案】【详解】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，，设面的一个法向量为，则，当，面的一个法向量为，则到平面的距离.故14．【正确答案】【分析】根据几何图形，应用向量加法、数乘的几何意义用，，表示出即可.【详解】.故答案为.【方法总结】根据几何图形，应用向量加法、数乘的几何意义即可.15．【正确答案】【详解】解：设，，由，，又，，又，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，即，，在中，，，即，.故答案为.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）

因平面，且,故可以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系(如图所示).则.于是，,设平面的法向量为，则，令，可得；又，显然，，故得平面；（2）由（1）建系，则，设平面的法向量为，则，令，可得.设平面与平面所成夹角为，因，则.即平面与平面所成夹角的正弦值为17．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）设圆的方程为，则，解得，故圆的方程为；（2）易知当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为1，等于半径，故满足题意；当直线的斜率存在时，设，即，则点到直线l的距离为圆的半径，即，解得，此时.综上，直线l的方程为或.18．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）设公差为，由题设有，解得，，所以.（2）由题设，.所以数列的前21项和为211.19．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由长轴长和短轴长可得椭圆方程；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得m的值，则直线的方程可求.【详解】（1）由已知长轴为，短轴长为4，可得，，则椭圆C的标准方程为：；（2）依题意，解得，因为，可得，且，因为，解得，所以直线的方程为l：．20．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由