2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第二学程考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第二学程考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．若命题，，则是（

）A．， B．，C．， D．，2．已知，，，则（

）A． B．C． D．3．设，且，则的最小值为（

）A．9 B． C．4 D．4．数列满足，，则（）A． B．C．2 D．5．“”是“数列为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．等差数列中，，则（）A．12 B．33 C．36 D．457．已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则面积为（

）A． B． C． D．38．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线：与圆：相交于，两点，则（

）A．圆心的坐标为 B．圆的半径为C．圆心到直线的距离为2 D．10．设正整数，其中.记,则（

）A．B．C．D．11．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点，两点，和的内心分别为，，则（）A．始终垂直于轴 B．C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线经过点，则的倾斜角为.13．数列中，若，，则．14．已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且倾斜角为，若抛物线C上存在点M与点关于直线l对称，则．四、解答题（本大题共5小题）15．已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值.16．已知点，.(1)求直线MN的一般式方程；(2)求以线段MN为直径的圆的标准方程；(3)求（2）中的圆在点处的切线方程.17．已知数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求数列的最大项．18．已知数列的前n项和为，.(1)求证：数列为等差数列；(2)在数列中，，若的前n项和为，求证.19．已知抛物线，直线交抛物线于两点，(1)若线段中点的纵坐标为2，求直线的方程；(2)若抛物线上存在两点关于直线轴对称，求的取值范围.(3)若存在定点，使以为直径的圆上的任意点，都满足（为原点），求定点的坐标和的值.

答案1．【正确答案】D【详解】命题，，则：，.故选：D2．【正确答案】A【详解】由在上单调递增，则，即；由在上单调递减，则，即；由在上单调递增，则，即；综上所述.故选A.3．【正确答案】D【详解】，当且仅当时等号成立，故的最小值为，故选：D.4．【正确答案】B【详解】数列满足，，，，，可知此数列有周期性，周期，即，则.故选：B.5．【正确答案】A【详解】由“数列为递增数列”，得，所以恒成立，所以，由得，由不一定有，故“”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.故选.6．【正确答案】B【详解】由等差数列的性质可知，即，所以.故选：B7．【正确答案】C【详解】如图所示，延长，交的延长线于点，因为为的平分线，⊥，由三线合一得为等腰三角形，即，为的中点，因为为的中点，所以为的中位线，故，设，由椭圆定义知，，由得，解得，故，，在中，由余弦定理得，故，故.故选：C8．【正确答案】D【详解】因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，又，所以，，，所以，所以椭圆的离心率为.故选：D.9．【正确答案】ACD【详解】对于AB，圆：的圆心，半径，A正确，B错误；对于C，点到直线：的距离，C正确；对于D，，D正确.故选：ACD10．【正确答案】BCD【详解】，则，A选项错误；，则，B选项正确；，有，，有，得，C选项正确；，，，，所以，D选项正确.故选：BCD.11．【正确答案】ABC【详解】由双曲线的离心率为2，得半焦距，对于A，记的内切圆在边，，上的切点分别为，则，，令点，则，解得，而轴，则点的横坐标为，同理点的横坐标为，因此始终垂直于轴，A正确；对于B，由分别平分，得，因此，B正确；对于CD，设直线的倾斜角为，则，（为坐标原点），在中，，双曲线的渐近线为，其倾斜角分别为和由直线与双曲线的右支交于两点，得直线与双曲线的两条渐近线在轴右侧部分都相交，因此，即，从而，C正确，D错误.故选：ABC

12．【正确答案】【详解】将点代入直线方程可得，所以直线的倾斜角满足，解得.故13．【正确答案】【分析】利用累乘法求得的通项公式即可求解.【详解】由可得，所以,所以，因为，所以，所以，故答案为:.14．【正确答案】1【详解】，∴，设点，则中点在直线上，则，即①，又∵，即∴②，联立①②可得，又∵对称点在上，∴，即，∴（舍去）或故115．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）椭圆E:x2a2+y可得：，解得，再由，可得：，椭圆的方程为.（2）由（1）知椭圆的方程为：，由直线与椭圆联立消得：，根据直线与椭圆仅有一个交点得：，解得.16．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）直线MN的斜率为，则直线MN的方程为，即.（2）由题意可知圆心C为线段MN的中点，即，半径，故所求圆的标准方程为.（3）直线CP的斜率为，则所求切线的斜率为，故所求的切线方程为，即.17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）中，令得，当时，，其中，故（2）当时，，当时，，则，当时，，当时，，，故，故时，的最大项为，又，故数列的最大项为.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）因为，所以，即，又，所以数列是首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）知：，则，又，所以，所以，所以.19．【正确答案】(1)(2)(3)定点，【详解】（1）设，联立，化简得，，，由于，所以，故直线的方程为；（2）设，若，则，易得此时不合题意；若，由于关于直线轴对称，故，