2024-2025学年河南省南阳市高二上学期12月联考数学质量检测试题（含解析）

2024-2025学年河南省南阳市高二上学期12月联考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．设，向量，，，且，，则等于（）A． B．3 C． D．42．已知，，，若，，共面，则（

）A．0 B．1 C．2 D．－13．已知空间三点，则下列命题正确的是（）A．若为的中点，则点的坐标为B．若四边形为平行四边形，则点的坐标为C．向量与向量夹角为D．以为邻边的平行四边形面积为4．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（）A． B． C． D．5．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（

）A． B． C． D．或6．设向量是平面的法向量，向量是直线的方向向量，且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，若E为DD1的中点，F在BD上，且BF＝2FD，则等于（）A． B．C． D．8．棱长为的正四面体中，点是AD的中点，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（）A．点与点关于轴对称B．点与点关于轴对称C．点与点关于平面对称D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分11．已知空间中三点，则（）A．B．方向上的单位向量是C．是平面的一个法向量D．在上的投影向量的模为三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量，，则，.13．设直线，的方向向量分别为，，若，则.14．如图，在正六棱柱中.

（1）化简：；（2）化简：.四、解答题（本大题共5小题）15．已知空间三点，设(1)求；(2)若向量与互相垂直，求实数k的值.16．如图，在棱长为6的正四面体中，，点E为AD的中点，设，，.

(1)试用向量，，表示向量：(2)求OE的长.17．如图，在正方体中，分别是棱的中点.(1)证明：；(2)证明：；18．如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面．19．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点．(1)设平面平面，若P为的中点，求证：；(2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

答案1．【正确答案】B【详解】由题可得，所以向量，，所以，所以.故选：B.2．【正确答案】D【详解】因为共面，所以，即，则解得.故选：D.3．【正确答案】D【详解】对于A，因为为的中点，所以，即，故A错误；对于B，因为四边形为平行四边形，所以，由，设，则，所以，解得，即，故B错误；对于C，由，，则，，，所以，所以向量与向量夹角为，故C错误；对于D，由C知，，，，所以以为邻边的平行四边形面积为：，故D正确.故选：D.4．【正确答案】D【详解】因为是直线的方向向量，是平面的法向量，且，则，则，所以，，解得，，因此，.故选：D.5．【正确答案】D【详解】因为，所以，则或.故选：D6．【正确答案】C【详解】因为，由“”可以推出“”，由“”也可以推出“”，故“”是“”的充要条件.故选：C.7．【正确答案】B【详解】.故选：B.8．【正确答案】A【详解】因为，所以，又，，，，所以．故选：A．9．【正确答案】ABD【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确；设，即方程无解，所以，，不共面，B选项正确；设，即，解得：，即，所以，，共面，C选项错误；设，显然三个向量不共面，D选项正确；故选：ABD.10．【正确答案】AD【详解】点关于轴对称的点是，所以A选项正确；点关于轴对称的点是，所以B选项错误；点关于平面对称的点是，所以C选项错误；空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，所以D选项正确．故选：AD.11．【正确答案】ACD【详解】由题意：，，.对A：因为，故A正确；对B：因为，即方向上的单位向量是，故B错误；对C：因为，，所以成立，故是平面的一个法向量，故C正确；对D：由，故D正确.故选：ACD12．【正确答案】【详解】空1，因为向量，所以；空2，因为向量，，所以.故；.13．【正确答案】【详解】由已知，即，则，解得，故答案为.14．【正确答案】【详解】（1）.（2）故15．【正确答案】(1)(2)或【分析】（1）先求出的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得；（2）先求出和，再利用向量垂直的充要条件列出方程，代入化简计算即得k值.【详解】（1）由题意，，则；（2）由（1）可得因向量与互相垂直，则得：，解得，或.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）解：依题意，，即.（2）解：因为，所以，即OE的长.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则,故,由于，故，显然，不重合，故；；（2）故，因此，故18．【正确答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】（1）∵为正方形，∴，∵二面角为直二面角，∴平面，以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，设()，∵为上的点，，∴设，∴，∴，，，∵平面，、平面，∴，且，解得，，∴，，所以，，∴，∴，∵平面，平面，∴，又，、平面，∴平面；（2）由题意可知，平面的法向量为，设面的法向量为，，，∴且，取，则，，∴，∴，∴平面平面.19．【正确答案】(1)证明见解析；(2)存在，.【详解】（1）证明：设的中点为，连接，因为P为的中点，Q为的中点，所以，，，在直三棱柱中，，