2024-2025学年北京市房山区高三上学期12月月考数学检测试题（含答案）

2024-2025学年北京市房山区高三上学期12月月考数学检测试题一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）1．设集合，则（

）.A．B．C． D．2．已知（为虚数单位），则的虚部为（

）.A． B． C． D．3．在平面直角坐标系中，圆经过点，且圆心在直线上，若直线被圆截得弦长为，则正实数的值为（

）.A．1 B． C． D．24.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（

）.A．

B．

C．

D．5.在中，，则（

）.A. B. C.D.6.若,,则的值为（

）.A. B. C. D.7.设a，b均为单位向量，则“a⊥b”是“”的（

）条件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要8.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著.其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心O，，，，，长度单位：丈则楔体的体积为体积单位：立方丈（

）.A.10 B.8 C.6 D.59.已知非零向量，，在同一平面，其中是单位向量.与的夹角为，，则的最小值是（

）.A．2 B． C．1 D．10.已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（

）.A.B.C. D.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率________．12.在等差数列中，公差不为，，且成等比数列，则__________；当__________时，数列的前n项和有最大值．13.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是．14．设函数（1）当时，；（2）若恰有2个零点，则a的取值范围是．15．对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”.给出以下四个结论：①若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0；②若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是；③若数列是“有界变差数列”，则存在，使得对任意，有；④若数列是“有界变差数列”，则数列必是“有界变差数列”.其中所有正确结论的序号是.三、解答题（本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（13分）设函数，从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．条件①：；条件②：；条件③：最大值为；条件④：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．17．（13分）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班～8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：（Ⅰ）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；（Ⅱ）若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等。现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀。直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）.18．（14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，为中点，点在棱上，平面，．（Ⅰ）求证：为中点；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）设为棱上任意一点，求证：与平面不垂直.19．（15分）已知椭圆的左焦点为，直线l过点F交椭圆于A，B两点．当直线l垂直于x轴时，的面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线上是否存在点C，使得为正三角形？若存在，求出点C的坐标及直线l的方程；若不存在，请说明理由．20．（15分）已知函数其中

（Ⅰ）当时，求函数的图象在处的切线方程；

（Ⅱ）若恒成立，求a的取值范围；

（Ⅲ）设，且函数有极大值点求证：21.（15分）已知集合，集合且满足：与恰有一个成立.对于定义（）.（Ⅰ）若，，求的值及的最大值；（Ⅱ）从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为.证明：；（Ⅲ）求证：对于满足（）的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得.数学答案一、单选题12345AACBB678910ACDDA二、填空题11．12.;13.14．;15．①③④16.设函数，从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一．（1）求函数的解析式；（2）求在区间上的最大值和最小值．条件①：；条件②：；条件③：最大值为；条件④：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．答案：（1）选择条件②④，得到，，由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，所以解得，所以.选择条件③④，由题意可得，最大值为得到，所以由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，所以解得，所以.（2）由正弦函数的图象可得当时，，，当即时，有最大值；当即时，有最小值.17．为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班～8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；(2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列和数学期望；(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.写出方差，，，的大小关系（不必写出证明过程）.【详解】（1）由题意知从高一年级的（1）班～（8）班了抽测共80人，其中身体素质监测成绩达到优秀的共有，故估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为；（2）由题意可知高一2班抽测的10人中优秀的有6人，高一5班抽测的10人中优秀的有7人，则可取，，则的分布列为：的数学期望.（3）.

18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，为中点，在棱上，平面,．（1）求证：为中点；（2）求二面角的余弦值；（3）设为棱上任意一点，求证：与平面不垂直.解：（1）连结，因为底面是正方形，所以与互相平分，所以为中点因为平面，平面，平面平面，所以，因为为中点，所以为中点.（2）取中点，连接，，因为，所以∵侧面底面，侧面底面，平面∴底面，所以因为分别为中点，所以,因为,所以所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则（1，0，0），（1，2，0），（﹣1，2，0），（﹣1，0，0），，，（0，1，0），是平面的一个法向量设平面的一个法向量是，∵，令，则，，所以二面角的余弦值为（3）假设平面，所以，设，则，∴，由，所以由，所以，导致矛盾，所以假设不成立，与平面不垂直.19．已知椭圆的左焦点为，直线l过点F交椭圆于A，B两点．当直线l垂直于x轴时，的面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线上是否存在点C，使得为正三角形？若存在，求出点C的坐标及直线l的方程；若不存在，请说明理由．【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题得，且．令，代入椭圆得，故的面积为．所以．结合，解得．所以椭圆的方程为．当直线l垂直于x轴时，，显然不满足为正三角形，当直线l不垂直于x轴时，设直线AB方程为，与椭圆显然有两个交点，由得，设的中点，则，，，因为为正三角形，所以，而，所以，解得，当时，所以，所以直线所以，同理当时，直线所以，综上：点C的坐标为，对应直线l的方程分别为20．已知函数其中

当时，求函数的图象在处的切线方程；

若恒成立，求a的取值范围；

设，且函数有极大值点求证：【正确答案】解：当时，，则，，，

函数的图象在处的切线方程为，即

不等式，即，，，恒成立，

令，则，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

当时，取得极大值，也为最大值，故，

由，得，实数a的取值范围是

证明：由，得，

①当时，，单调递增无极值点，不符合题意；

②当或时，令，设的两根为和，

为函数的极大值点，，由，，知，，

又由，得，

，

令，，则，

令，，则，

当时，，当时，，，

，在上单调递减，，

21.已知集合，集合且满足：与恰有一个成立.对于定义（）.（Ⅰ）若，，求的值及的最大值；（Ⅱ）从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为.证明：；（Ⅲ）求证：对于满足（）的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得.解：（Ⅰ）因为，所以，，，故.…………2分

因为，所以.所以.所以当时，取得最大值.…………4分（Ⅱ）证明：由的定义可知.所以.…………6分设删去的两个数为，则.由题意可知：，且当其中一个不等式中等号成立，