2024-2025学年广西南宁市高二上学期12月联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广西南宁市高二上学期12月联考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知函数可导，且，则曲线在点处的切线倾斜角为（

）A．45° B．60° C．120° D．135°2．若方程表示圆，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．4．已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（

）A． B． C．或 D．5．已知等差数列和的前项和分别为，，若，则（

）A． B． C． D．6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．已知数列的前n项和为Sn，且，，则的值为（

）A．949 B．1160 C．1276 D．2261二、多选题（本大题共3小题）9．已知数列的前项和为，，，且.记，则下列说法正确的是（

）A．为等差数列 B．C． D．10．已知圆直线，则以下几个命题正确的有（

）A．直线恒过定点B．圆C被轴截得的弦长为C．直线与圆恒相交D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为11．如图，圆.圆动圆P与圆F₁外切于点M，与圆F₂内切于点N，且P，M，N不重合，圆心P的轨迹记为曲线C则（

）

A．曲线C的方程为B．∠MPN的最小值为120°C．曲线C的一条弦AB被点(2，1)平分，则D．三、填空题（本大题共3小题）12．双曲线上的一点P到一个焦点的距离等于7，那么点P到另一个焦点的距离等于.13．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成新的等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为2，3，6，11，则该数列的第10项为.14．已知正项数列{}是公比不等于1的等比数列，且若则.四、解答题（本大题共5小题）15．在中，(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．16．已知圆．(1)若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程；(2)设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度．17．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．(1)若为棱的中点，求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．18．已知数列的前n项和为数列满足，(1)求数列的通项公式；(2)令求数列的前n项和；(3)若，存在正整数n使得，成立，求k的取值范围.19．已知抛物线的焦点关于直线的对称点为.(1)求的方程；(2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，点为抛物线上异于的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.(3)过点的动直线交抛物线于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程.

答案1．【正确答案】A【详解】由，可得，则曲线在处的切线斜率为1，由（为倾斜角），，可得.故选：A．2．【正确答案】D【分析】将方程化为标准式即可.【详解】方程化为标准式得，则.故选：D.3．【正确答案】D【详解】由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选：D.4．【正确答案】D【分析】根据题意，求出直线，的斜率，结合图象可得答案.【详解】根据题意，，，，则，，结合图象可得直线的斜率k的取值范围是.故选：D.

5．【正确答案】B【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案.【详解】因为等差数列和的前项和分别为，，满足，所以，又，故，故选B.6．【正确答案】C【详解】设，则，由椭圆的定义得，，由得，即，整理得，解得或（舍去），∴，故点在轴上.如图，在直角中，，在中，，化简得，∴椭圆的离心率.故选：C.7．【正确答案】A【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故，所以抛物线的方程为，焦点坐标为，设直线的方程为：，不妨设，联立方程，整理得，则，故，又，则，当且仅当时等号成立，故的最小值为.故选：A.8．【正确答案】A【详解】由题意：，，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以.所以，.所以.故选：A.9．【正确答案】ACD【详解】由变形得，即为等差数列，因为，，所以，，，所以，故ACD正确.故选：ACD10．【正确答案】AC【详解】选项A中，直线的方程整理得，由，解得，∴直线过定点，故A正确；选项B中，在圆方程中令，得，解得，∴轴上的弦长为，故B错误；选项C中，，∴在圆内，直线与圆一定相交，故C正确；选项D中，直线被圆截得弦最短时，直线且，∴，则直线方程为，即，故D错误.故选：AC.11．【正确答案】BCD【详解】因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，对于A项，设动圆的半径为，由条件得，则，且不重合，故点的轨迹为以为焦点的椭圆（去掉重合的点），则曲线的方程为：，故选项A错误；对于B项，由图知，与互补，当取最小时，则取最大，当点位于椭圆的上下顶点时，取最大，此时，即，则的最小值为，故选项B正确；对于C项，设该弦与椭圆的两个交点分别为，，则，且点为中点，则，因为，两式作差可得，则，即，可得，故选项C正确；对于D项，，当且仅当时，等号成立，故选项D正确．故选：BCD12．【正确答案】【详解】由，可得，所以，所以，不妨设双曲线的左右焦点为，且，由双曲线的定义，可得，所以，解得或（舍去）.故答案为.13．【正确答案】【详解】设二阶等差数列为，令，则，，，由题意可得：数列是以首项为1，公差为2的等差数列，则，即，所以.故答案为.14．【正确答案】【详解】由等比数列性质可得；，又因为函数，所以，即，所以；令，则；所以，即.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由题意结合正弦定理可得，即，∵，∴，∴，故．（2）由，解得．由余弦定理可得，∴，∴的周长为．16．【正确答案】(1)x=−1或(2)【详解】（1）圆C的标准方程为:因为,所以点在圆外,故过点A且与圆C相切的直线有2条，①当直线的斜率不存在时,圆心到直线的距离所以直线与圆C相切.(2)当直线的斜率存在时,可设直线,即所以圆心C到直线的距离,由题意,解得,此时,即,终上所述,直线的方程为x=−1或.（2）设因为为DE的中点,所以,因为点E在圆C上，所以,即，即，所以点的轨迹是以为圆心,32为半径的圆,所以的轨迹的长度为.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，且点为线段的中点【详解】（1）证明：取的中点，连接、，，分别为、的中点，所以，且，因为四边形是矩形，所以，且，因为为棱的中点，则且，所以，且，所以，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.（2）解：假设在棱上存在点满足题意，如图，连接、、，在等边中，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，平面，则是四棱锥的高，设，则，，所以，，所以，以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、，故，，，设，．设平面的一个法向量为，则，取，则，，所以，.易知平面的一个法向量为，，整理可得，解得，合乎题意，所以，当点为线段的中点时，平面与平面的夹角的余弦值为.18．【正确答案】(1)；(2)；(3).【详解】（1）由得：，两式相减得：，所以数列是等比数列，公比为，由于，即，又因为，所以，即数列是等差数列上，公差为，首项为，所以,即;（2）由于，则，利用错位相减法，则，上面两式相减得：，则，即；（3）由于，所以数列是递增数列，即，因为当，存在正整数n使得，成立，则，由,变形得：，因为，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，所以有，则有.19．【正确答案】(1)抛物线的方程为(2)当的面积小于时，有4个，当的面积等于时，有3个，当的面积大于时，有2个(3)点在直线上【详解】（1）抛物线的焦点关于直线的对称点为，于是，解得：，所以抛物线的方程为．（2）由（1）知，直线的方程为，设，由，消去得：，，则，所以，设与平行且与抛物线相切的直线方程为，，消去得：，，解得，所以切线方程为，切线与的距离，当为切点时，的面积为，当的面积小于时，在直线各有两个点符合题意，当的面积等于时，在直线上