2024-2025学年广东省东莞市高二上学期第二次联考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年广东省东莞市高二上学期第二次联考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．03．抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．4．若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（

）A． B． C． D．5．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（

）A．3 B． C． D．6．已知两条直线与被圆截得的线段长均为2，则圆的面积为（

）A． B． C． D．7．已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（

）A． B．14 C． D．8．已知是双曲线的左､右焦点，过的直线与的左､右两支分别交于两点.若，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．过点且与两点距离相等的直线方程（

）A． B．C． D．10．已知圆，则下列命题正确的是（

）A．圆心坐标为2,1B．圆与圆有三条公切线C．直线与圆相交所得的弦长为8D．若圆上恰有三个点到直线的距离为，则或11．人教A版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆（）上动点到左焦点的距离和动点到直线的距离之比是常数.已知椭圆：，为左焦点，直线：与轴相交于点，过的直线与椭圆相交于A，两点（点A在轴上方），分别过点A，向作垂线，垂足为，，则（

）A． B．C．直线与椭圆相切时， D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知双曲线的一条渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为.13．已知空间向量，且∥，则.14．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆的左、右焦点为,，P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.(1)求顶点的坐标；(2)求直线的方程.16．如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，在平面中，，且，.(1)求证：面面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.17．已知，动点满足到两点的距离之比为，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若直线与曲线交于两点，求的取值范围.18．已知点是离心率为的椭圆：上的一点．(1)求椭圆的方程；(2)点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；(3)斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．19．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；(2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程；(3)在（2）的条件下，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线的距离的最大值.

答案1．【正确答案】D【详解】设直线的倾斜角为，直线，即为，可知直线的斜率为，所以倾斜角.故选：D.2．【正确答案】A【详解】圆的圆心坐标为，因为直线是圆的一条对称轴，所以直线过点，所以，解得.故选:A.3．【正确答案】C【详解】抛物线化为标准方程可得，故，焦点坐标为.故选:C.4．【正确答案】B【详解】因为，所以，记直线与直线的夹角为，则.故选：B5．【正确答案】B【详解】圆的圆心坐标为，半径为，由直线上的点向圆引切线，切点为A，则.要使切线长最小，则PC最小，此时.所以切线长的最小值为．故选：B.6．【正确答案】A【详解】因为两条直线与，所以，所以与间的距离为，所以圆心到直线的距离为1，因为直线被圆截得的弦长为2，所以圆的半径为，所以圆的面积为.故选：A.7．【正确答案】B【详解】由椭圆方程得，，.设椭圆的左焦点为，

,，则的周长为,当且仅当三点共线，且在的延长线上时取等号.的周长最大值为.故选:B.8．【正确答案】C【详解】因为，不妨令，，，因为，所以，又由双曲线定义得：，,所以，所以，所以，所以，在直角三角形中，，又，所以，所以双曲线离心率为.故选：C.9．【正确答案】BC【详解】由题意得：满足条件的直线斜率存在，可设所求直线方程为，即，因为与点距离相等，则，可得，解得或，所以所求直线方程为或.故选：BC10．【正确答案】ACD【详解】对于选项A：由圆，可化为，可得圆心，半径为，故A正确；对于选项B：由圆，可得圆心，半径.，且，则.所以圆与圆不可能外切或外离，故两圆至多有两条公共切线，故B错误；对于选项C：由圆心到直线的距离为，所以相交弦长为，故C正确；对于选项D：由圆上恰有三个点到直线的距离为，则满足圆心到直线的距离为，即，解得或，故D正确.故选：ACD.11．【正确答案】ABD【详解】对A：由条件知,，故，故A正确；对D：作轴于，则，，所以，故D正确；对B：同D知,，因为，所以，所以，即平分，由角平分线性质知,,即，故B正确；对C：下面证明当且仅当时与椭圆相切，因为，所以时,当且仅当，此时点A是唯一的，故与椭圆相切,当时，，满足条件的有两个，即点A有两个，此时与椭圆相交，故当且仅当时,与椭圆相切，此时，故C错误.故选ABD.12．【正确答案】【详解】由题知双曲线的焦点在轴上，所以，即，又，联立，求解得，所以双曲线的标准方程为.故13．【正确答案】【详解】因为∥，且均不是零向量，故存在非零实数使得，此即.故，所以.故答案为.14．【正确答案】33/【详解】不妨设点在第二象限，的内切圆与各边的切点分别为,设,则，故，，，由于点在第二象限，，所以，故，，因此，，当代入得（负值舍去），故15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由题知，，在直线上，设，则，解得，即点坐标为.（2）设，则，解得，即，所以直线的方程为，即.

16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，连接，，利用勾股定理证明，结合可证线面垂直，进而可证面面垂直；（2）过点作，连接，由（1）可得，可证平面平面，所以即为直线与平面所成角，利用几何法可得正弦值.【详解】（1）如图所示，取中点，连接，，由四边形为菱形，且，得，，又，，，，，又，且，平面，平面，平面，平面平面；（2）如图所示，过点作，垂足，连接，由（1）得平面平面，平面平面，，平面，，，又，平面，且，平面，平面平面，所以即为直线与平面所成角的平面角，又，，，即直线与平面所成角的正弦值为.17．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）设Px,y，，由题意可得，两端同时平方得，故，化简得.故曲线的方程为.（2）直线：，即，令，解得，故直线过定点.代入点到圆的方程：，故点在圆的内部.设圆心到直线的距离为，又，所以.又因为，，所以,解得.故的取值范围为.18．【正确答案】(1)；(2)是，(3)最大值为，【详解】（1），，将代入椭圆方程得，所以椭圆方程为；（2）依题意得在椭圆上，直线和的斜率都存在且不为，设，所以，，，所以直线和的斜率之积为定值；（3）设直线的方程为，，由消去，整理得，，则，则，，点到直线的距离为，，当，即时面积最大，且最大值为，此时直线的方程为．19．【正确答案】(1)；(2)，曲线的方程为；(3).【详解】（1）由题可得，直线族为圆M的切线，故满足，所以满足．（2）将点代入，可得关于的方程，因为点不在直线族上，故方程无实数解，所以，那么，故，因为区域的边界为抛物线，下证：是的包络曲线．证明：联立直线与，可得，所以，故直线族：为抛物线的切线.因此直线族的包络曲线的方程为.（3）由（2）得曲线的方程为，设Px0,则，即.设Ax易知直线的斜率