天津市河东区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

天津市河东区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列说法正确的是（）A．“若a是实数，则|a|≥0”是必然事件B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件C．“天津市明天降雨的概率为0.6”，表示天津市明天一定降雨D．若抽奖活动的中奖概率为1502．一元二次方程x2A．33 B．23 C．17 D．73．在平面直角坐标系xOy中，点A(−1，A．(1，−2) B．(−1，2) C．4．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响，下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）A． B．C． D．5．对于抛物线y=(A．开口向上 B．对称轴是直线x=−2C．x>−2时，y随x的增大而减小 D．x=−2，函数有最小值y=−16．如图，AB是⊙O的直径.若AC−2，∠D=60°，则BC长等于（）A．3 B．23 C．4 7．一个扇形的弧长是10π，面积为60π，则其半径为（）A．6 B．12 C．36 D．1448．某种品牌手机经过两次降价，每部售价由2000元降到1620元，则平均每次降价的百分率为（）A．10% B．11% C．19%9．已知点(−3，y1)，(1，A．y1<y2<y3 B．10．如图，已知点P是⊙O外一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与⊙O相切于点M.下面是忠忠给出的两种作法：作法Ⅰ：如图①，作线段OP的垂直平分线交OP于点A：以点A为圆心，AP长为半径画弧交⊙O于点M，作直线PM.直线PM即为所求.作法Ⅱ：如图②，连接OP，交⊙O于点B，作直径BC，以O为圆心，BC长为半径作弧：以P为圆心，OP长为半径作弧，两弧相交于点D，连接OD，交⊙O于点M，作直线PM.直线PM即为所求.对于忠忠的两种作法，下列说法正确的是（）A．两种作法都正确 B．两种作法都错误C．作法Ⅰ正确，作法Ⅱ错误 D．作法Ⅱ正确，作法Ⅰ错误11．如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°，得△ADF，连接EF，若P为EF的中点，则下列结论正确的是（）A．PD//AF B．EF=2EC C．∠ADP=∠CFE D．AE=AF12．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”.若点A(1，m)，B(n，−4)是关于x的“黄金函数”y=ax2+bx+c(a≠0A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．一个不透明的袋子里装有2个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同.从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为.14．若方程x2+2x−k=0的一个根是0，则另一个根是15．已知一元二次方程x2−2x−8=0的两根为x1，x216．抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c17．图①、图②均是9×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹.⑴在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形ABEF；⑵在图②中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连结AN，使∠DAN=45°，18．已知，矩形ABCD中，AB=6，AD=23，E为CD边上一动点，以BE为边构造等边△BEF（点F位于AB下方），连接AF⑴如图①，当CE=BC时，∠BAF=；⑵点E在运动的过程中，AF的最小值为.三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解下列方程：（1）x2−4x+3=0； （2）220．从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为2，5，6，8.将这四张牌背面朝上，洗匀.（1）从这四张牌中随机抽出一张牌，求这张牌上的牌面数字是偶数的概率：（2）小明从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，放回.背面朝上，洗匀.然后，小华从中随机抽出一张牌，请用画树状图或列表的方法，求小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率.21．已知正方形OABC的边长为2，O为原点.（1）如图①，若点B在y轴上，求点A的坐标：（2）如图②，将图①中的正方形OABC绕点O逆时针旋转30°时，求点B的坐标.22．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接BC.（1）如图①，若AB=4，∠B=60°，求CD的长；（2）如图②，G是弧AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，若∠DGF=115°，求∠BCD的度数.23．落实五育并举，加强劳动教育，某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2024年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜，经调查发现：甲种蔬菜成本为50元/m2.乙种蔬菜的种植成本与其种植面积之间的关系如下图所示.设乙种蔬菜种植成本为y（元/m（1）根据题意，填写下表：种植面积x(200400500600700乙种蔬菜种植成本y（元/m20①②40③（2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？24．已知四边形ABCD是菱形.AB=4，∠ABC=60°，点E、F分别为射线CB、DC上的动点，且∠EAF=60°，（1）如图①，当点E是线段CB的中点时，求EF的长度；（2）将∠EAF从图①的位置开始，绕点A顺时针旋转α，①如图②，当0°<α<30°时，证明：AE=EF=AF；②如图③，当α=45°时，直接写出点F到BC的距离.25．已知二次函数y−x（1）若二次函数的图象过点(2（2）当0≤x≤3时，y的最小值为−2，求t的值：（3）如果A(m−2，a)，B(4

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A．“若a是实数，则|aB．成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故选项错误，不符合题意；C．“天津市明天降雨的概率为0.D．若抽奖活动的中奖概率为150故答案为：A．【分析】根据事件的分类和概率的意义逐一判定。2．【答案】C【解析】【解答】解：∵a=1，b=−5，c=2，∴△=b故答案为：C．【分析】利用一元二次方程根的判别式△=b3．【答案】A【解析】【解答】解：点A(−1，2)关于原点对称的点的坐标是故答案为：A.【分析】在直角坐标系中，点（a，b）关于原点对称的点的坐标为（-a，-b）.4．【答案】D【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，此选项不合题意；B．不是中心对称图形，此选项不合题意；C.不是中心对称图形，此选项不合题意；D.是中心对称图形，此选项符合题意；故答案为：D．【分析】根据中心对称图形的概念进行判断．5．【答案】C【解析】【解答】A、∵1>0抛物线开口向上故A选项正确，不符合题意；

B、∵抛物线y=(x+2)2-1对称轴是直线x=-2故B选项正确，不符合题意；

C、X>-2时，y随x的增大而增大故c选项错误，符合题意；

D、X=-2函数有最小值y=-1故D选项正确，不符合题意；

故答案为：C.

【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质逐项判断即可。6．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠D=60°，∴∠CAB=∠D=60°，∴∠ABC=90°−∠CAB=30°，∵AC=2，∴AB=2AC=4，∴BC=A故答案为：B．【分析】利用圆周角定理求出∠ACB=90°，∠CAB=∠D=60°，再利用含30度角的直角三角形的性质求出AB=2AC=4，由根据勾股定理求出BC即可．7．【答案】B【解析】【解答】解：∵S=12lr，弧长是10π∴60π=1解得r=12，故答案为：B．【分析】扇形的面积公式：S=18．【答案】A【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为为x，则2000(1−x)解得：x1=0.故答案为：A．

【分析】基本关系：初量×（1-降低率）2=末量。据此列一元二次方程求解．9．【答案】C【解析】【解答】解：∵y=x∴抛物线的对称轴是直线x=−−2∴当x<1时，y随x的增大而减小，∵−3<−1∴y故答案为：C．【分析】利用二次函数的解析式确定抛物线的增减性，再利用增减性判定即可．10．【答案】A【解析】【解答】解：作法Ⅰ：连接OM、MG∵线段OP的垂直平分线交OP于点G∴OG=GP，∵以点G为圆心，GP长为半径画弧交⊙O于点M，∴点O在⊙G上，且OP为直径∴∠OMP=90°∴直线PM与⊙O相切；作法Ⅱ：∵以O为圆心，BC长为半径作弧∴OM=1∵以P为圆心，OP长为半径作弧，两弧相交于点D，∴PD=PO∴∠OMP=90°∴直线PM与⊙O相切；综上所述，两种作法都正确；故答案为：A．【分析】根据切线的判定定理、圆周角定理、垂直平分线的性质求解．11．【答案】D【解析】【解答】解：连接AC、BD交于点O，如图所示，

∵将△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°，得△ADF，

∴△ABE≌△ADF，∠FAE=90°，

∴AE=AF，即△AFE是等腰直角三角形，

∴∠AEF=∠AFE=45°，

又∵点A、P、D、F在以AF为直径的圆上，

∴∠ADP=∠AFP，即∠ADP=∠AFE=45°，

∴点P在正方形ABCD的对角线BD上，

假设PD∥AF，

∵∠EAF=90°，

∴EA⊥FA，

∴DP⊥AE，

即BD⊥AE，

又∵AC⊥BD，

∴AE与AC重合，这与已知图形相矛盾，

∴PD与AF不平行，故选项A错误；

连接AP，如图所示：∵将△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°，得△ADF，∴∠ADF=∠ABC=90°，∴∠ADF+∠ADC=180°，∴C、D、F在一条直线上，∵∠ECF=90°，∴当∠CFE=30°时，EF=2EC，即EF不一定等于2EC，故选项B不正确；∵P为EF的中点，AE=AF，∴∠APF=90°，∵∠APF=∠ADF=90°，∴点A、P、D、F在以AF为直径的圆上，∴∠DAP=∠DFP，即∠DAP=∠CFE，但无法证明∠DAP=∠ADP，∴∠ADP=∠CFE不成立，故C选项错误；

∵将△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°，得△ADF，

∴△ABE≌△ADF，∠FAE=90°，

∴AE=AF，即△AFE是等腰直角三角形，故选项D正确；故答案为：D．【分析】利用反证法判定A，先确定点P在对角线BD上，利用旋转的性质和正方形的性质来证明线段PD与AF不平行，即可判断A．在直角△CEF中，利用“30度角所对的直角边等于斜边的一半”判断B；点A、P、D、F在以AF为直径的圆上，所以由圆周角定理进行证明，即可判断C；根据旋转的性质推即可得AE=AF即可判断D。12．【答案】B【解析】【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，∴A，B关于原点对称，∴m＝4，n＝﹣1，∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得a+b+c=4a−b+c=﹣4∴b=4a+c=0∴①②正确，符合题意，∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，∴−b∴−4∴﹣1＜a＜0，∴④正确，符合题意，∵a+c＝0，∴c＝﹣a，0＜c＜1，当x=12时，∵﹣1＜a＜0，∴﹣3∴14a+1综上所述，结论正确的是①②④．故答案为：B．【分析】先根据”黄金函数”和“黄金点”的定义求出m，n的值，再把m、n的值代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，利用对称轴在x＝2的右侧求解．13．【答案】2【解析】【解答】解：由题意可知，从袋子里任意摸一个球有11种等可能的结果，其中是绿球的结果有2种，∴P（任意摸出一个球为绿球）=2故答案为：211【分析】根据简单概率公式求解。先确定总的结果数和符合要求的结果数，再相除即可．14．【答案】-2【解析】【解答】解：∵方程x2+2x-k=0的一个根是0，设另一个根是α，则0+α=-2，∴α=-2.故答案为：-2.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解。若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x15．【答案】2【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2−2x−8=0∴x1故答案为：2．【分析】本题考查了根与系数的关系：若x1,x2是一元二次方程ax16．【答案】1【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+x+c∴Δ=b解得：c=1故答案为：14【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系进行解答即可．17．【答案】；【解析】【解答】解：（1）如图①中，平行四边形ABEF即为所求；

（2）如图②中，点N即为所求．如图所示，找到格点E，连接DE，DE=72+∴AD∴△DAE是等腰直角三角形，∠DAE=90°，找到格点PQ，则PDQE是矩形，∴F是DE的中点，连接AF，并延长AF交线段CD于点N，则AN垂直平分DE，∴AN平分∠DAE，即∠NAD=45°．【分析】（1）利用网格特点、结合平行四边形的性质——对角线互相平分求作；（2）利用网格的特点、结合勾股定理和逆定理、线段垂直平分线的性质构造等腰直角三角形DAN，即可得到∠DAN=45°．18．【答案】45；3【解析】【解答】解：如图所示，连接AC、BD交于O，连接OF，AE，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=23，AC=BD=2OA=2OB=2OC=2OD，∴AC=A∴OC=OB=OA=23∴OB=OC=BC，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBC=∠COB=60°，∴∠AOB=120°∵△BEF是等边三角形，∴∠EBF=60°，EB=FB，∴∠EBC=∠FBO，∴△EBC≌△FBO(SAS)，∴∠BOF=∠BEC=90°，∴∠AOF=30°；当CE=BC=23时，则BE=BC∴S△BEF=3又∵S△ABE∴S△BEF∴AF∥BE，∴∠BAF=∠ABE=45°；∵∠AOF=30°，∴点F在直线OF上运动（直线OF与OA的夹角为30度），∴当AF⊥OF时，AF有最小值，∴此时AF=1故答案为：45；3．

【分析】（1）连接AC、BD交于O，连接OF、AE，由矩形的性质和勾股定理求出AC的长，进而得到OC=OB=OA=23，证明△BOC是等边三角形，得到∠OBC=∠COB=60°，则∠AOB=120°，再根据SAS证明△EBC≌△FBO，得到∠BOF=∠BEC=90°，则∠AOF=30°；当CE=BC=23时，则BE=26，∠CBE=∠CEB=45°，可求出S△BEF=S△ABE=63，则AF∥BE，由此可得∠BAF=∠ABE=45°；

（2）由∠AOF=30°确定点F在直线OF上运动（直线OF19．【答案】（1）解：x2∴(∴x=1=0或x−3=0，∴x1=1（2）解：2x∴Δ=b∴x=−b+∴x1=【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程。把方程的左边用十字相乘法分解因式；（2）根据公式法解方程．一元二次方程的求根公式是：x=−b+20．【答案】（1）解：∵共有四张扑克牌，分别是2，5，6，8，其中偶数有3张，∴从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是34（2）解：列表如下：小明小华25682((((5((((6((((8((((一共有16种等可能的情况，其中小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的有6种，则小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率是616【解析】【分析】（1）利用概率公式直接计算；（2）根据列表法求概率．表格的行表示小明抽到的牌的数字，列表示小华抽到的牌数字，列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，利用概率公式计算即可．21．【答案】（1）解：过点A作x轴的垂线，垂足为D，∠ADO=90°，在Rt△ADO中，由已知可得，OA=2，∠AOD=45°，所以AD=DO，又AD2+O∴A（2）解：连接BO，过B作BE⊥y轴于E，∵旋转角为30°，∴∠BOE=30°，∵∠A=90°，AB=AO=2.∴BO=22在Rt△BOE中，BE=2，OE=∴B【解析】【分析】（1）过点A作x轴的垂线，垂足为D，先证三角形AOD是等腰直角三角形，再用勾股定理求出AD和DO的长，即可写出点A的坐标；（2）连接BO，过B作BE⊥y轴于E，根据旋转的性质确定∠BOE=30°，利用30°的直角三角形的性质求出BE和OE的长，即可写出点B的坐标．22．【答案】（1）解：连接OC，∵OB=OC、∠B=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，∵AB⊥CD，∴DE=EC，在Rt△OEC中.∴OE=12OC=（2）解：连接OD，∵∠DGF=115°，∴∠AGD=65°.∴∠AOD=2∠AGD=130°.又∠DOB=2∠DCB，∠AOD+∠DOB=180°，∴130°+2∠DCB=180°.∴∠DCB=25°.【解析】【分析】（1）连接OC，先证△OBC是等边三角形，由垂径定理得到DE=EC，再根据30°的直角三角形的性质求CD的长；（2）连接OD，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，由邻补角的性质求出∠DOB的度数，再用圆周角定理求出∠DCB的度数即可．23．【答案】（1）解：①30，②35，③40；（2）解：当200≤x≤600时，W=x(1∵120>0∴当x=400时，W有最小值，最小值为42000，此时，1000−x=1000−400=600，当600≤x≤700时，W=40x+50(∵−10<0，∴当x=700时，W有最小值为：−10×700+50000=43000.∵42000<43000，∴当种植甲种蔬菜的种植面积为600m2.乙种蔬菜的种植面积为400m【解析】【解答】解：（1）当200≤x≤600时，设y=kx+b，将(200，20)，(600，40)代入得，200k+b=20600k+b=40解得，k=1∴y=1∴y=1当x=400时，y=30；当x=500时，y=35；当x=700时，y=40；填表如下：种植面积x（m2200400500600700乙种蔬菜种植成本y（元/m22030354040【分析】（1）当200≤x≤600时，利用待定系数法求解析式为y=120x+10，即y=120x+10(200≤x≤600)40(600<x≤700)，分别求x=400（2）分别求当200≤x≤600时，当600<x≤700时的W的表达式，再根据一次函数，二次函数的性质求最值，最后判定即可．24．【答案】（1）解：连接AC，因为四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，所以△ABC，△ACD是等边三角形，又因为点E是线段CB的中点，所以AE⊥BC，在Rt△AEB中，BE=12AB，由A又∠EAF=60°，∠EAC=30°，可得∠FAC=30°.同理，可得AF=23所以△AEF是等边三角形，进而可得EF=AF=AE=23（2）解：①连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠ABC=60°，∴△ABC、△ACD是等边三角形，∴∠ACD=∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=60°−∠CAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，∠ABC=∠ACDAB=AC∴△ABE≌△ACF(ASA).∴AE=AF∴AE=EF=AF：②3−3【解析】【解答】解：（2）②连接AC，过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGE=90°，∵将∠EAF从图①的位置开始，绕点A顺时针旋转α．α=45°，∴∠EAG=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，AB∥CD，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠EAF=60°，∠ABC=∠ACD=60°，BG=CG=1∴∠BAE=∠CAF=60°−∠CAE，∠ABE=∠ACF=180°−60°=120°，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴BE=CF，∵AG=A∴AG=EG=23∴BE=EG