24.2.2直线与圆的位置关系（第二课时）课件 2024-2025学年人教版数学九年级上

24.2.2直线与圆的位置关系（第二课时）1.直线和圆有哪些位置关系？

复习回顾半径（2）数量关系法：圆心到直线的距离等于圆的______.（1）定义法：直线与圆只有一个公共点.直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离

d<rd=

rd>

r2.如何判断一条直线是圆的切线?砂轮上打磨工件时飞出的火星直线与圆相切的实例下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠探究切线的判定定理思考：（1）圆心O到直线l的距离d和圆的半径r有什么数量关系?

（2）直线l和⊙O有什么位置关系？

（3）你有什么发现？问题1：已知在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OAＯAld=r相切（1）直线l经过半径OA的外端点A；（2）直线l垂直于半径OA；

则直线l与⊙O相切.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.符号语言∵OA为⊙O的半径，l⊥OA于A，∴l为⊙O的切线.ＯAl探究切线的判定定理1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;l2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切;lrd3.位置关系法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.AlO圆的切线的判定方法例1

已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，OBAC只要证明AB⊥OC即可.例1

已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.证明：连接OC(如图).

∵OA＝OB，CA＝CB，

∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.

∴

AB⊥OC.

∵

OC是⊙O的半径，

∴直线

AB是⊙O的切线.OBAC注意：解决直线与圆相切的问题时，如果已知直线与圆有公共点，则连接过该点的半径，只需证明直线垂直于该半径即可，即“连半径，证垂直”.探究切线的性质定理问题2：如图，如果直线l是⊙O

的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？AlO已知：直线l是⊙O

的切线，点A为切点，连接OA.求证：l⊥OA.证法：反证法.

假设OA与直线l

不垂直，过点O作OM⊥l

，垂足为M，根据垂线段最短，得OM<OA，即圆心O到直线l的距离OM小于半径OA，M在⊙O内.

lOA

所以直线l与⊙O相交，这与直线l

是⊙O的切线矛盾.所以假设不成立，即l⊥OA.探究切线的性质定理M切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径．符号语言∵直线l是⊙O

的切线，A是切点，∴直线l⊥OA.AlO探究切线的性质定理例2

已知：如图，大圆O的弦AB与小圆O相切于点C.

求证：点C是AB的中点.OBAC

证明：连接OC(如图)

∵大圆O的弦AB与小圆O相切于点C，

∴OC⊥

AB.

∵

OA＝OB，

∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.

∴

点C是AB的中点.注意：已知直线与圆相切，有切点，常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.

例3

如图,△ABC

中，AB

＝AC

，O是BC中点，

AB与⊙O相切于E.

求证：AC

是⊙O的切线．分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.OCBEAF证明：连接OE

，OA，

过O作OF⊥AC于F.∵⊙O与AB相切于E

，∴OE⊥AB.又∵△ABC中，AB＝AC，

O是BC中点．∴AO平分∠BAC，又OE⊥AB，OF⊥AC.∴OE＝OF.∵OE是⊙O半径，OF=OE，

OF⊥AC.∴AC是⊙O的切线．FBOCEA注意：解决直线与圆相切的问题时，如果直线与圆的公共点未知，则过圆心作直线的垂线，只需证明这条垂线段等于半径，即“作垂直，证半径”.切线的判定方法定义法数量关系法位置关系法1个公共点，则相切d=r，则相切经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的性质证切线时常用辅助线添加方法：①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.有1个公共点d=r性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.课堂小结1.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，

PE⊥AC于E.

判断PE与⊙O的