2024-2025学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x+3y+2=0的倾斜角是A.5π6 B.2π3 C.π32.已知条件p：m>2，条件q：点P(1,m)在圆：x2+y2=5外，则p是A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若双曲线x29−y211=1的右支上一点P到右焦点的距离为A.3 B.12 C.15 D.3或154.已知椭圆C：x220+y24=1的两焦点为F1，F2，PA.25 B.43 C.5.已知椭圆x216+y29A.8x−6y−7=0 B.3x+4y=0

C.3x+4y−12=0 D.6x+8y−25=06.如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美.C1：y2=2px，C2：x2=−2py，C3：y2=−2px，C4：x2=2py，p>0，已知正方形ABCD的面积为64，连接C1，C2的焦点F1，F2A.10−52 B.8−52 C.7.如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆E交于点A，B.直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M.由椭圆的光学性质知，F1A.19 B.211 C.9118.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=π3A.2+33 B.1+33二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若动点P到定点F(−4,0)的距离与到直线x=4的距离相等，则P点的轨迹不可能是(

)A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线10.设双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，右焦点为A.若a=3且b=2，则双曲线E的两条渐近线的方程是y=±32x

B.若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积等于b2

C.若点11.已知曲线M：x2+(y−3A.M与N有4条公切线

B.若A，B分别是M，N上的动点，则|AB|的最小值是3

C.直线y=13(x−4)与M，N的交点的横坐标之积为−8037

D.若A(x,y)(y≠0)是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知抛物线方程为4y=x2，则抛物线的准线方程为______．13.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是

．

14.如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin(1794−1847)的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC.由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．

如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知A1A2是椭圆的长轴，PA1垂直于桌面且与球相切，P四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l1：x+(2m−2)y=0，l2：2mx+y−2=0，且满足l1⊥l2，垂足为C．

(Ⅰ)求m的值及点C的坐标．

(Ⅱ)设直线l1与x轴交于点A，直线l216.(本小题15分)如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，B为底面圆周上一点，点D在线段BC上，AC=2AB=6，CD=2DB．(1)证明：AD⊥平面BOP；(2)若圆锥PO的侧面积为18π，求二面角O−BP−A的余弦值．17.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且过点(1,32)．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过点M(1,0)的直线l与椭圆C交于点18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，

AB=1，AD=2，AC=CD=5．

(1)求证：PD⊥平面PAB(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．19.(本小题17分)

已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，点P(22,1)是Γ上一点.若I为△PF1F2的内心，且5SIPF1−5SIPF2=25SIF1F2参考答案1.A

2.A

3.C

4.B

5.C

6.B

7.B

8.A

9.BCD

10.BCD

11.BCD

12.y=−1

13.214.2315.解：(Ⅰ)因为直线l1：x+(2m−2)y=0，l2：2mx+y−2=0，且满足l1⊥l2，

所以1⋅2m+(2m−2)⋅1=0，

解得m=12，

可得直线l1的方程为：x−y=0，

直线l2的方程为：x+y−2=0，

联立x−y=0x+y−2=0，解得x=y=1，

即两条直线的交点C(1,1)；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得A(0,0)，B(2,0)，

由题意可得圆心在线段AB的中垂线，线段AC的中垂线上，

而AB的中垂线的方程为x=1，

AC的中垂线的方程y−12=−(x−12)，即16.解：(1)证明：∵PO⊥平面ABC，BA⊥BC，故以B为坐标原点，

BA为x轴正方向，BC为y轴正方向，与OP同向的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，设|OP|=x，故B(0,0,0)，A(3,0,0)，C(0,33,0)，

O(32,332,0)，P(32,332,x)，D(0,3,0)，

AD=(−3,3,0)，BO=(32,332,0)，BP=(32,332,x)，

∵AD⋅BO=−3×32+3×332=0，AD⋅BP=−3×17.解：(Ⅰ)因为椭圆的离心率为1−b2a2=32，

所以a2=4b2，

又椭圆过点(1,32)，

所以14b2+34b2=1，解得a2=4，b2=1，

故椭圆C的方程为x24+y2=1．

(Ⅱ)由题意知，直线l的斜率不可能为0，设其方程为x=ty+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)18.(1)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD，

又PD⊥PA，且PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，

∴PD⊥平面PAB；

(2)解：取AD中点为O，连接CO，PO，

∵CD=AC=5，

∴CO⊥AD，

又∵PA=PD，

∴PO⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且PO⊂平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，

以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：

则P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,−1,0)，C(2,0,0)，

则PB=(1,1,−1),PD=(0,−1,−1)，PC=(2,0,−1)，

设n=(x0,y0,z0)为平面PCD的法向量，

则由n⋅PD=0n⋅PC=0，得−y0−z0=02x0−z0=0，令z0=1，则n=(12,−1,1)．

设PB与平面PCD的夹角为θ，则

sinθ=|cos<n,PB>|=|n⋅PB|n||PB||=|12−1−11419.解：(1)因为点P(22,1)是Γ上一点，所以8a2−1b2=1.设△PF1F2的内切圆半径为r，

则S△IPF1=12|PF1|r，S△IPF2=12|PF2|r，S△IF1F2=12|F1F2|r