2023-2024学年广东省深圳市科学高中高一上学期期中数学试题及答案

试题PAGE1试题深圳科学高中2023-2024学年第一学期期中考试试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分.共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.下列运算正确的是（）A. B.C. D.3.已知，，.则的值是（）A.2 B.1 C. D.4.设函数定义域为为奇函数是为偶函数的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.若不等式的解集是，则不等式的解集是（）A. B. C. D.6.已知函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.7.已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数满足.若函数与图象的交点为，，…，.则等于（）A3m B.6m C.9m D.12m二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得分，有选错的得0分．）9.已知a，b，c均为实数，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则，D.若，，则10.下列说法正确的是（）A.命题“，”否定是“，”B函数与表示相同函数C.“”是“”的必要而不充分条件D.“”是“关于x的方程有一正一负实数根”的充要条件11.已知则下列结论正确的是（）A. B.C. D.12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（）A.在上是增函数 B.是奇函数C.的值域是 D.的值域是三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.函数的值域是______．14.已知，则______．15.已知，且，则的最小值是___________.16.已知，，若任给，存在．使得，则实数a的取值范围是______．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.求下列式子的值：（1）（2）18.已知集合，或，为实数集．（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．19.已知函数（1）当时，求函数在区间上的值域；（2）当时，求函数在区间上的最小值．20.深圳科学高中创办于2012年，是一所管理规范、校风优良、充满朝气与活力的优质学校．自办学以来形成了良好的社会效应.走出了一条科高特色的发展之路，建立了独特的科高“魔法”文化，已成为深圳优质教育的先进样本．为了给学生营造更加良好的学习环境，确保学生安全.学校决定实行人车分流，新开一个大门——东大门供车辆进出校园.因此，需要在学校东大门的门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米.底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙.无需建造费用.工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左，右两面墙的长度均为x米（），房屋的造价为y元．（1）写出y关于x的表达式；（2）当左、右两面墙长度x为多少时，工程队报价最低？并求出最低报价．21.已知函数是定义在区间上的奇函数.且．（1）用定义法判断函数在区间上的单调性；（2）解不等式．22.定义在上的单调函数满足且对任意x，都有．（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意恒成立，求实数k的取值范围．

深圳科学高中2023-2024学年第一学期期中考试试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分.共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式，然后按补集定义求补集，再用并集定义求解即可【详解】或所以，故选：D2.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数的运算性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】，，，，C对，ABD都错.故选：C.3.已知，，.则的值是（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】由对数的运算性质得出即可.【详解】由，所以，故选：B4.设函数的定义域为为奇函数是为偶函数的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和充要条件的定义，分析可得结论．【详解】若函数为奇函数，则，则，即函数为偶函数；若函数)为偶函数，则，则，即函数为奇函数，故为奇函数是为偶函数的充分必要条件，故选：A．5.若不等式的解集是，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意确定是的两根，且，即可求得的值，继而解不等式，即可得答案.【详解】由不等式的解集是，可知是的两根，且，故，故即，解得或，即不等式的解集是，故选：D6.已知函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，由此将化为，即可求得答案.【详解】由题意知函数，定义域为R，关于原点对称，满足，即为奇函数；又在R上单调递增，故不等式为，则，即的解集是，故选：A7.已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出图象的对称轴，结合二次函数性质列出不等式，即可求得答案.【详解】函数图象的对称轴为，因为函数在上具有单调性，故或，即或，即实数k的取值范围是，故选：C8.已知函数满足.若函数与图象的交点为，，…，.则等于（）A.3m B.6m C.9m D.12m【答案】A【解析】【分析】由判断关于点成中心对称，进而判断函数与图象的交点关于点对称，由此求出和的值，即可得答案.【详解】由函数满足可得，即函数关于点成中心对称，由函数，其图象可由向上平移3个单位得到，故关于点成中心对称，则函数与图象的交点为，，…，必关于点对称，不妨设，和关于对称，依此类推；设，则，故，同理令，可得，故，故选：A二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得分，有选错的得0分．）9.已知a，b，c均为实数，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则，D.若，，则【答案】ABD【解析】【分析】根据不等式性质判断A，B；举反例判断C；利用作差法比较大小判断D.【详解】对于A，，则，A正确；对于B，，则，，即，B正确；对于C，取，则，但不满足，，C错误；对于D，，，则，即，D正确，故选：ABD10.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.函数与表示相同函数C.“”是“”的必要而不充分条件D.“”是“关于x的方程有一正一负实数根”的充要条件【答案】AB【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A；根据函数的定义判断B；判断“”和“”的逻辑推理关系判断C；求出方程有一正一负实数根时m的取值范围，判断其和的推理关系，判断D.【详解】对于A，命题“，”为全称命题，其否定为“，”，A正确；对于B，函数与的定义域、对应关系、值域相同，故二者为相同函数，B正确；对于C，由，可推出，反之也成立，即“”是“”的充要条件，C错误；对于D，关于x的方程有一正一负实数根，即得，解得，当时，成立，当时，不一定有成立，故“”是“关于x的方程有一正一负实数根”的充分不必要条件，D错误，故选：AB11.已知则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由题意可知，，根据对数函数的单调性可知D错误；，可知A正确；利用基本不等式可知，化简整理可知B正确；在根据，利用不等式的性质，即可判断C正确.【详解】由题可知，，又，所以，D错误；因为，有．所以A正确；由基本不等式得，所以，当且仅当时，取等号；又因为，，所以，故，B正确；由于，，所以，C正确.故选：ABC．12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（）A.在上是增函数 B.是奇函数C.的值域是 D.的值域是【答案】BC【解析】【分析】根据复合函数的单调性判断A，再由特殊值判断B，根据函数求值域判断CD.【详解】根据题意知，，在定义域上单调递增，且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；∵，，∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；∵，∴，，，∴，即，∴，故C错误，D正确.故选：BC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.函数的值域是______．【答案】【解析】【分析】根据基本不等式，即可得出函数的值域.【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，函数的值域是.故答案为：.14已知，则______．【答案】【解析】【分析】利用配凑法，将化为，即得答案.【详解】由于，故，故答案为：15.已知，且，则的最小值是___________.【答案】8【解析】【分析】根据基本不等式结合求解即可.【详解】，当且仅当，即时取等号.故答案为：8.16.已知，，若任给，存在．使得，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据已知可推得在上的值域为在上的值域的子集.根据分段函数各段的单调性，得出.进而分，，三种情况，得出的范围，列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由任给，存在．使得，可知，在上的值域为在上的值域的子集.根据二次函数的性质可知，当时，单调递减，且，，所以，；当时，.，且，则.因为，且，所以，，，所以，，，所以，在上单调递增.又，所以，.综上所述，当时，.当时，单调递增，所以.所以有，解得；当时，不满足；当时，单调递减，所以.所以有，解得.综上所述，或.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.求下列式子的值：（1）（2）【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则化简求值，即得答案；（2）根据对数的运算法则，化简求值，即得答案.【小问1详解】.【小问2详解】.18.已知集合，或，为实数集．（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解集合A中的不等式，得到集合A，由，列不等式求实数的取值范围；（2）由题意，列不等式求实数的取值范围.【小问1详解】不等式，解得，则，或，，则，解得，即实数的取值范围为.【小问2详解】或，，若“”是“”的充分不必要条件，则有，当符合题意，有，解得，当时，有，解得所以实数的取值范围19.已知函数（1）当时，求函数在区间上值域；（2）当时，求函数在区间上的最小值．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）判断函数在上的单调性，求得最值，即可得答案；（2）讨论a的取值范围，判断函数图像的对称轴和给定区间的位置关系，即可求得函数最小值.【小问1详解】当时，，其图象对称轴为，则在上单调递增，故，故函数在区间上的值域为.小问2详解】，其图象对称轴为，当时，,在区间上单调递增，则；当时，，则在区间上的最小值为；当时，，则在区间上单调递减，则，故当时，；当时，；当时，.20.深圳科学高中创办于2012年，是一所管理规范、校风优良、充满朝气与活力的优质学校．自办学以来形成了良好的社会效应.走出了一条科高特色的发展之路，建立了独特的科高“魔法”文化，已成为深圳优质教育的先进样本．为了给学生营造更加良好的学习环境，确保学生安全.学校决定实行人车分流，新开一个大门——东大门供车辆进出校园.因此，需要在学校东大门的门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米.底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙.无需建造费用.工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左，右两面墙的长度均为x米（），房屋的造价为y元．（1）写出y关于x的表达式；（2）当左、右两面墙的长度x为多少时，工程队报价最低？并求出最低报价．【答案】（1），.（2）4米，28800元【解析】【分析】（1）确定屋子前墙的长度，根据题意即可列出函数解析式；（2）利用基本不等式即可求得的最小值，以及此时x的值，即得答案.【小问1详解】由题意可得屋子的左，右两面墙的长度均为x米（），则前面墙的长度为米，故，.【小问2详解】由于，当且仅当，即时取等号，即当左、右两面墙的长度x为4米时，工程队报价最低，最低报价为28800元.2