专题03 函数概念与性质（考点串讲）-高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

高一数学上学期·期末复习大串讲专题03函数概念与性质苏教版(2019)必修第一册010203目

录押题预测题型剖析考点透视13大常考点：知识梳理、思维导图32个题型典例剖析+技巧点拨精选19道期末真题对应考点练考点透视01考点透视考点1.函数的概念函数的定义一般地，设A，B是_______________，如果对于集合A中的____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________________和它对应，那么就称____________为从集合A到集合B的一个函数函数的记法____________________定义域x叫做_________，x的______________叫做函数的定义域函数值与_________相对应的y值值域函数值的集合___________叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集非空的实数集任意一个数x唯一确定的数y(1)函数的概念f：A→By＝f(x)，x∈A自变量取值范围Ax的值{f(x)|x∈A}考点透视考点1.函数的概念(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可．[点拨]

(1)集合A，B是非空实数集，值域C⊆B.(2)函数的定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性．(3)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定就是解析式．(4)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．考点透视考点2.区间的概念(1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做__________，表示为__________；②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做__________，表示为__________；③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做______________，分别表示为______________．闭区间[a，b]开区间(a，b)半开半闭区间[a，b)，(a，b]考点透视考点2.区间的概念这里的实数a与b都叫做相应区间的_________．实数集R可以用区间表示为______________，“∞”读作“_________”，“－∞”读作“___________”，“＋∞”读作“___________”．满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为___________，_____________，_____________，_____________．端点(－∞，＋∞)无穷大[a，＋∞)负无穷大正无穷大(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)考点透视考点2.区间的概念区间数轴表示____________________________________(2)区间的几何表示在用数轴表示区间时，用实心点表示________________的端点，用空心点表示__________________的端点．包括在区间内不包括在区间内[a，b](a，b)[a，b)(a，b]考点透视考点2.区间的概念区间数轴表示____________________________________________________[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](3)含“∞”的区间的几何表示(－∞，b)考点透视考点3.同一个函数的判定

常见函数的值域如果两个函数的___________相同，并且____________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．(1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为______，值域是______．(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是______，当a>0时，值域为__________________，当a<0时，值域为____________________．定义域对应关系RRR考点透视考点4.函数的表示法(1)解析法：________________________________________．(2)列表法：________________________________________．(3)图象法：________________________________________．[想一想]任何一个函数都可以用解析法或列表法表示吗？用解析式表示两个变量之间的对应关系列出表格来表示两个变量之间的对应关系用图象表示两个变量之间的对应关系提示提示：不是．考点透视考点5.描点法作函数图象的三个步骤(1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来．(2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来．(3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来．[提醒]

函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．考点透视考点6.分段函数的概念如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为_____________．[点拨]

分段函数的特点(1)分段函数是一个函数，并非几个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集．(3)分段函数的值域是各段值域的并集．(4)分段函数的图象要分段来画．分段函数考点透视考点7.函数奇偶性与单调性的关系1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上__________，即在对称区间上单调性______．2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上_________，即在对称区间上单调性_______．3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为_____．4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为_____．以上a，b符号相同．单调递增相同单调递减相反－MN考点透视考点8.函数的单调性及其符号表达(1)函数单调性的概念____________________________________________叫做函数的单调性．(2)函数单调性的符号表达一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果____________，当x1<x2时，都有___________，那么就称函数f(x)在区间I上单调_______．如果____________，当x1<x2时，都有___________，那么就称函数f(x)在区间I上单调_______．函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质∀x1，x2∈If(x1)<f(x2)递增∀x1，x2∈If(x1)>f(x2)递减考点透视考点9.增函数、减函数当函数f(x)在它的_________上____________时，我们就称它是增函数．当函数f(x)在它的_________上____________时，我们就称它是减函数．[想一想]若函数f(x)在区间I⊆D上单调递增，则此函数一定是增函数吗？定义域单调递增定义域提示提示：不一定．单调递减考点透视考点10.单调区间如果函数y＝f(x)在区间I上___________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)_________，________叫做y＝f(x)的单调区间．[想一想]若函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，则函数f(x)的单调递减区间一定是[1，3]吗？提示提示：不一定．单调递增单调递减单调性区间I考点透视考点11.函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有f(x)____Mf(x)_____M∃x0∈D，使得___________结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的________f(x)图象上最低点的_______≤≥f(x0)＝M纵坐标纵坐标考点透视考点12.偶函数、奇函数的定义(1)偶函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果_________________________________，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)奇函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果__________________________________，那么函数f(x)就叫做奇函数．[点拨]

奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说函数为奇函数(或偶函数)．∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)考点透视考点13.偶函数、奇函数的图象特征(1)偶函数的图象特征如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以________________________；反之，____________________________________________________．(2)奇函数的图象特征如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以_______________________________；反之，__________________________________________________________________．[想一想]是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？y轴为对称轴的轴对称图形如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数坐标原点为对称中心的中心对称图形提示提示：存在．既奇又偶的函数有且只有一类：f(x)＝0，x∈D，且D是关于坐标原点对称的集合．如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数题型剖析02题型剖析题型1.函数关系的判断

答解析

【例题1】图中①②③④四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数的有________．解析：由图形判断对应关系是否为函数的方法，可知当－1≤a≤1时，只有图形②③与直线x＝a仅有一个交点，故可以表示y是x的函数的有②③.②③题型剖析题型2.求函数的定义域题型剖析题型2.求函数的定义域解题型剖析题型2.求函数的定义域解题型剖析题型3.求函数值题型剖析题型3.求函数值解题型剖析题型3.求函数值解题型剖析题型4.创建函数关系的问题情境解题型剖析题型4.创建函数关系的问题情境解题型剖析题型5.区间的应用【例题5】将下列集合用区间以及数轴表示出来：(1){x|x<2}；(2){x|－1<x<0，或1≤x≤5}；(3){x|2≤x≤8，且x≠5}；(4){x|3<x<5}．解(1){x|x<2}可以用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如图．解题型剖析题型5.区间的应用(2){x|－1<x<0，或1≤x≤5}可以用区间表示为(－1，0)∪[1，5]，用数轴表示如图．(3){x|2≤x≤8，且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]，用数轴表示如图．(4){x|3<x<5}用区间表示为(3，5)，用数轴表示如图．解题型剖析题型6.求函数的值域解题型剖析题型6.求函数的值域解题型剖析题型7.同一个函数的判定答案题型剖析题型7.同一个函数的判定解析题型剖析题型8.求抽象函数的定义域答案解析题型剖析题型9.函数表示法题型剖析题型9.函数表示法解题型剖析题型10.函数图象的作法及应用解

(1)因为函数的定义域为Z，所以其图象为离散的点．其图象如图①所示．由图可知y＝－x＋1，x∈Z的值域为Z.(2)因为y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5(0≤x<3)，定义域不是R，所以图象不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分．解题型剖析题型10.函数图象的作法及应用解题型剖析题型11.函数解析式的求法【例题11】已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋6，求f(x)的解析式．解题型剖析题型12.分段函数求值问题题型剖析题型12.分段函数求值问题解题型剖析题型13.根据图象求分段函数的解析式【例题13】根据如图所示的函数f(x)的图象，写出函数f(x)的解析式．题型剖析题型13.根据图象求分段函数的解析式解题型剖析题型14.分段函数图象的画法及应用题型剖析题型14.分段函数图象的画法及应用解题型剖析题型15.分段函数的实际应用【例题15】为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水的水费为1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费．如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)．题型剖析题型15.分段函数的实际应用解题型剖析题型16.证明或判断函数的单调性解

(1)由x2－1≠0得x≠±1，故函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}．解题型剖析题型16.证明或判断函数的单调性解题型剖析题型17.求函数的单调区间解

函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的定义域为[－4，＋∞)，值域为(－∞，3]，单调递增区间为(－2，0)，单调递减区间为(－4，－2)和(0，＋∞)．解题型剖析题型18.函数单调性的应用解析

因为二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为直线x＝－2，且开口向上，所以函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递增，所以f(－2)<f(0)<f(1)，又f(0)＝c，所以f(1)>c>f(－2)．【例题18】已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则(

)A．f(1)<c<f(－2) B．c<f(－2)<f(1)C．c>f(1)>f(－2) D．f(1)>c>f(－2)答案解析题型剖析题型19.求对称区间上的解析式解题型剖析题型20.构造方程组求解析式解题型剖析题型21.利用奇偶性与单调性比较大小解因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－5)＝f(5)，因为f(x)在[2，6]上单调递减，所以f(5)<f(3)，所以f(－5)<f(3)．【例21】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2，6]上单调递减，比较f(－5)与f(3)的大小．解题型剖析题型22.用奇偶性与单调性解不等式【例22】设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．解题型剖析题型23.函数奇偶性的判断解

(1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．解题型剖析题型23.函数奇偶性的判断解题型剖析题型24.奇、偶函数的图象及应用【例24】已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补充完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．题型剖析题型24.奇、偶函数的图象及应用解(1)由题意作出函数图象如图所示．(2)据图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)．解题型剖析题型25.

利用函数的奇偶性求参数的值【例25】若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝______，b＝______．答案解析0题型剖析题型26.利用奇偶性求函数值解解法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18，∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.【例26】已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，求f(2)．解题型剖析题型26.利用奇偶性求函数值解题型剖析题型27.利用图象求函数最值解

作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取得最大值，为f(1)＝f(－1)＝1；当x＝0时，f(x)取得最小值，为f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.解题型剖析题型28.利用单调性求函数最值解题型剖析题型28.利用单调性求函数最值解题型剖析题型29.定轴定区间【例29】

已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．解

f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7.(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7恒成立．故函数f(x)的最小值为－7，无最大值．解题型剖析题型29.定轴定区间(2)函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，在[0，3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，为5；在x＝2处取得最小值，为－7.(3)由图可知，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，所以在x＝－1处取得最大值，为f(－1)＝3×(－1－2)2－7＝20；在x＝1处取得最小值，为f(1)＝3×(1－2)2－7＝－4.解题型剖析题型30.动轴定区间【例30】已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数f(x)的最小值．解

f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1，1]．当a≥1时，函数f(x)的图象如图1中实线所示，函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，最小值为f(1)＝3－2a；解题型剖析题型30.动轴定区间当－1<a<1时，函数f(x)的图象如图2中实线所示，函数f(x)在区间[－1，a)上单调递减，在区间[a，1]上单调递增，最小值为f(a)＝2－a2；当a≤－1时，函数f(x)的图象如图3中实线所示，函数f(x)在区间[－1，1]上单调递增，最小值为f(－1)＝3＋2a.解题型剖析题型31.定轴动区间【例31】已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R的最小值为g(t)，求g(t)的函数表达式．解

f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R.当t＋1<1，即t<0时，函数f(x)的图象如图1中实线所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；解题型剖析题型31.定轴动区间当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数f(x)的图象如图2中实线所示，最小值g(t)＝f(1)＝1；当t>1时，函数f(x)的图象如图3中实线所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.解题型剖析题型32.函数最值的实际应用【例32】

一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N＋)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元(年利润＝年销售总收入－年总投资)．(1)求y(单位：万元)与x(单位：件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？解题型32.函数最值的实际应用押题预测03题型剖析1．下列各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是(

)解析：因为垂直于x轴的直线与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点，故选A.答案解析题型剖析2．(2024·重庆南开中学高一上期中)已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|－1≤y≤1}，则下列图象中，能表示从集合A到集合B的一个函数的是(

)解析：对于A，图象对应的定义域不包含x＝0，不成立；对于B，图象存在一个x有两个y与之对应，不表示函数图象，不成立；对于C，图象对应的定义域为A＝{x|－1≤x≤1}，且每个x都有唯一的y与之对应，且值域为B＝{y|－1≤y≤1}，满足题意；对于D，当x＝0时，有两个y与之对应，不表示函数图象，不成立．故选C.答案解析题型剖析答案解析题型剖析答案解析题型剖析答案解析题型剖析6．(2024·吉林长春十一高中高一上期中)如果函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为(

)A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}解析：当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，所以函数y＝x2－2x的值域为{－1，0，3}．答案解析题型剖析7．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)＝(

)A．2x＋1 B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析：因为f(x)＝2x＋3，所以f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，故g(x)＝2x－1.答案解析题型剖析答案解析题型剖析答案解析题型剖析解析：当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上可知，f(x)的值域为[0，2]∪{3}．答案解析题型剖析解析：设任意的x1，x2∈R，且x1<x2，因为函数f(x)在R上是增函数，所以必有f(x1)<f(x2)，所以－f(x1)>－f(x2)，A