第05讲 一次方程（组）及其应用课件2025年中考数学复习

第二章

方程与不等式

第05讲一次方程（组）及其应用5大考点精讲+专训3大中考命题点+15大题型探究01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求一元一次方程及其解法二元一次方程及其解法一次方程（组）的应用★★★★掌握等式的基本性质；能解一元一次方程.掌握消元法，能解二元一次方程组；*能解简单的三元一次方程组；能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程【考情分析1】一元一次方程属于初中的基础内容，试题形式多样，难度不大，主要以解决实际问题为考查背景，多出现在销售、行程、工程等问题中，确定题目中的等量关系，正确地列出方程是解题的关键.此外，准确的计算能力也是得分所必不可少的技能.★★【考情分析2】中考对二元一次方程组的考查包括解方程组和利用二元一次方程组解决实际问题，其关键是“消元”思想，即将“二元”转化为“一元”，这也体现在用二元一次方程组可解决的问题用一元一次方程也可以解决，考查形式多样，难度不大，多以解决实际问题为出题背景.02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究二元一次方程（组）基础考点三解一元一次方程考点二一元一次方程基础考点一一元一次方程基础解二元一次方程（组）考点四一次方程（组）及其应用考点五一元一次方程基础考点一1.一元一次方程的相关概念一元一次方程的概念

只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程的标准形式ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）.解方程求方程的解得过程叫做解方程.易错易混方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程；1）3）2）方程的解是通过解方程求得的.

一元一次方程基础考点一2.等式的性质等式的性质101等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.如果a=b，则b=a（对称性）如果a=b，b=c，则a=c（传递性）即：如果a=b，那么a±c=a±c等式的性质202等式的性质303等式的性质404

即：如果a=b，那么ac=bc；易错易混1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立.一元一次方程基础考点一针对练习

ACB03考点突破·考法探究二元一次方程（组）基础考点三解一元一次方程考点二一元一次方程基础考点一解一元一次方程解二元一次方程（组）考点四一次方程（组）及其应用考点五解一元一次方程考点二解一元一次方程的步骤基本思路：

步骤具体做法去分母去括号移项合并同类项系数化为1在方程两边都乘以各分母的最小公倍数先去小括号，再去中括号，最后去大括号把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边把方程变为ax=b（a≠0)的形式

【补充说明】解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号.以上解题步骤中，开始出错的一步是（

）A．第一步 B．第二步C．第三步 D．第四步

解一元一次方程考点二针对练习

AB

解一元一次方程考点二针对练习

03考点突破·考法探究二元一次方程（组）基础考点三解一元一次方程考点二一元一次方程基础考点一二元一次方程（组）基础解二元一次方程（组）考点四一次方程（组）及其应用考点五二元一次方程（组）基础考点三1.二元一次方程二元一次方程概念含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.其中：a1,a2不同时为0,b1,b2不同时为0二元一次方程的三要素2.二元一次方程组二元一次方程组的概念方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组二元一次方程组一般形式：二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.01有且只有两个未知数02含有未知数的项的次数为1；03方程两边都是整式二元一次方程（组）基础考点三2.二元一次方程组易错易混二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．二元一次方程（组）基础考点三针对练习

A

【解析】有题意得：

由①得x=9+y③将③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5∴x=9+（-5）=4A∴x=4，y=-5．

二元一次方程（组）基础考点三针对练习

【解析】

整体代入求值1

【解析】利用平方差公式分解∵x-2y=-2，x+2y=3，∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）

=3×（-2）

=-6，-603考点突破·考法探究二元一次方程（组）基础考点三解一元一次方程考点二一元一次方程基础考点一解二元一次方程（组）解二元一次方程（组）考点四一次方程（组）及其应用考点五解二元一次方程（组）考点四1.代入消元法定义把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤2【代入】3【解元】从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.易错易混1【变形】4【求值】1）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数.2）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程y=ax+b或x=ay+b,求出另一个未知数的值比较简单解二元一次方程（组）考点四2.加减消元法定义当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤2【加减】把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程3【解元】解这个一元一次方程，求出一个未知数的值先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数1【变形】将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．4【求值】解二元一次方程（组）考点四针对练习

方法指导

D代入消元法2．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”处只放“■”，那么应放“■”（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个方法指导设●、■、▲分别为x，y，z

用y分别表示出x和z

A解二元一次方程（组）考点四针对练习

7（答案不唯一）【解析】

03考点突破·考法探究二元一次方程（组）基础考点三解一元一次方程考点二一元一次方程基础考点一一次方程（组）及其应用解二元一次方程（组）考点四一次方程（组）及其应用考点五一次方程（组）及其应用考点五解决实际问题的一般步骤审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量；设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量；列：根据题中相等关系，列出方程（组）；解：解所列出的方程（组）；验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）；答：写出答案，包括单位.用一元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤：1．（2024·四川·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（

）

A．

B．C．

D．

一次方程（组）及其应用考点五针对练习A2．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．【解析】

一次方程（组）及其应用考点五针对练习3．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．【解析】设甲有钱x枚，乙有钱y枚，甲得乙十钱，多乙余钱五倍乙得甲十钱，适等等量关系：∴由题意，得

解这个方程组得

答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．04题型精研·考向洞悉等式的性质题型01

一元一次方程（组）的相关概念命题点一一元一次方程的相关概念题型02二元一次方程的相关概念题型03

【解析】命题点一一元一次方程（组）的相关念►题型01等式的性质BD方法指导解题的关键：٭熟记等式的性质等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数或式子，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立

命题点一一元一次方程（组）的相关念►题型01等式的性质

C

【解析】解题的关键：٭熟记等式的性质命题点一一元一次方程（组）的相关念►题型01等式的性质1．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（

）

A

C命题点一一元一次方程（组）的相关念►题型02一元一次方程的相关概念

D方法指导解题的关键：٭掌握一元一次方程的定义

解得：k=-2，方程为-4x=-2+6，解得：x=-1，解：

命题点一一元一次方程（组）的相关念►题型02一元一次方程的相关概念

BC由一元一次方程定义可知

命题点一一元一次方程（组）的相关念►题型03二元一次方程的相关概念

-1方法指导解题的关键：٭理解什么是二元一次方程的解

解：【例2】（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为

的二元一次方程组

．

（答案不唯一）命题点一一元一次方程（组）的相关念►题型03二元一次方程的相关概念

3

（答案不唯一）方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值04题型精研·考向洞悉一元一次方程的解法题型01解一元一次方程（组）命题点二代入法解二元一次方程组题型02加减法解二元一次方程组题型03整体法解二元一次方程组题型04解二元一次方程组--同解方程组题型05解二元一次方程组—已知二元一次方程组的解的情况求参数题型06中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程(组)题型07命题点二解一元一次方程（组）►题型01一元一次方程的解法步骤具体做法注意事项去分母去括号移项合并同类项系数化为1在方程两边都乘以各分母的最小公倍数1）不要漏乘不含分母的项；2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母.3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.先去小括号，再去中括号，最后去大括号1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项;2)不要弄错符号.把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边1）移项时不要丢项;2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号.把方程变为ax=b（a≠0)的形式1）系数的符号处理要得当；

2）字母及其指数不变.

1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数;2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数.

命题点二解一元一次方程（组）►题型01一元一次方程的解法

方法指导解题的关键：٭方程的解的定义٭用m表示x解：命题点二解一元一次方程（组）►题型01一元一次方程的解法

A0

命题点二解一元一次方程（组）►题型02代入法解二元一次方程组【例1】（2022·辽宁沈阳·中考真题）二元一次方程组

的解是

．

方法指导解题的关键：٭熟练掌握代入法解二元一次方程组代入元的选择解：

∴原方程组的解为

命题点二解一元一次方程（组）►题型02代入法解二元一次方程组

解得：

解：

命题点二解一元一次方程（组）►题型03加减法解二元一次方程组【例1】（2023·湖南常德·中考真题）解方程组：

方法指导

∴原方程组的解

加减消元法解题的关键：٭熟练掌握消元的思想٭加减消元法消去一个未知数．命题点二解一元一次方程（组）►题型03加减法解二元一次方程组

方法指导

解题的关键：٭熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标命题点二解一元一次方程（组）►题型04整体法解二元一次方程组当二元一次方程组的结构比较复杂，但又有一定的规律时，可以考虑利用整体消元法，从而使原方程组变成结构比较简单、求解方便的二元一次方程组解题方法【例1】（2023·浙江·模拟预测）已知关于x、y的二元一次方程组

则关于x，y的方程组

A．

B．

C．

D．

A解：∵关于x，y的方程组

命题点二解一元一次方程（组）►题型04整体法解二元一次方程组

(2)已知方程组

的解

是

则方程组

的解是

．

方法指导解题的关键：٭先求(x+2)、(y-1)的解，再求x、y的值．

（2）解：依题意

命题点二解一元一次方程（组）►题型05解二元一次方程组--同解方程组若方程组解相同，则联立两个不含参数的方程，解得x，y的值，再代入含参数的方程组，即可求出参数的取值.解题方法

解：由题意列方程组：

解得

命题点二解一元一次方程（组）►题型05解二元一次方程组--同解方程组

方法指导解题的关键：٭熟练掌握同解方程组的定义，求出m、n的值٭勾股定理的逆定理（1）解：由方程组

∴方程组

解得：

命题点二解一元一次方程（组）►题型05解二元一次方程组--同解方程组

方法指导解题的关键：٭熟练掌握同解方程组的定义，求出m、n的值٭勾股定理的逆定理

代入关于x的一元二次方程

命题点二解一元一次方程（组）►题型06解二元一次方程组—已知二元一次方程组解的情况求参数正常解方程组，用参数表示解，再将解代入到满足的条件中，从而求出参数值解题方法

D解法一：

解法二：

A

【解析】

D

【解析】

命题点二解一元一次方程（组）►题型06解二元一次方程组—已知二元一次方程组解的情况求参数命题点二解一元一次方程（组）►题型07中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程(组)

(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．(2)写出你的解答过程．方法指导解题的关键：٭（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断٭（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解去分母漏乘

①④②⑤代入消元法加减消元法

命题点二解一元一次方程（组）►题型07中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程(组)

请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．

方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母命题点二解一元一次方程（组）►题型07中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程(组)04题型精研·考向洞悉列一元一次方程组题型01一元一次方程（组）的应用命题点三一元一次方程的应用题型02二元一次方程组的应用题型03中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用题型04中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用题型05命题点三一元一次方程（组）的应用►题型01列一元一次方程组

A增长率问题方法指导等量关系（1+增长率）×原来的量=增长后的量（1+4.7%）×去年第一季度社会消费品零售总额=第一季度社会消费品零售总额命题点三一元一次方程（组）的应用►题型01列一元一次方程组方法指导【例2】（2024·湖北·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（

）A．B．C．

D．

A解题的关键：٭由实际问题抽象出二元一次方程组٭（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组等量关系情景一情景二牛羊总计5x2y5x+2y2x5y2x+5y牛5头+羊2头=10两牛2头+羊5头=8两命题点三一元一次方程（组）的应用►题型01列一元一次方程组1.（2023·吉林·中考真题）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为

．

从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y=23，则2.（2022·贵州贵阳·中考真题）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如：

表示的方程是

．

x+2y=32【解析】x+4y=23x+2y=32x4y23x2y32解题的关键：٭工作量=工作时间×工作效率٭（2）找准等量关系，正确列出一次方程组命题点三一元一次方程（组）的应用►题型02一元一次方程的应用

(1)求甲池的排水速度．工作量问题方法指导

总水量排走的水剩余水甲池乙池

甲池剩余水量=乙池剩余水量的2倍等量关系命题点三一元一次方程（组）的应用►题型02一元一次方程的应用

一题两解命题点三一元一次方程（组）的应用►题型03二元一次方程组的应用

(1)求一块长方形墙砖的长和宽；(2)求电视背景墙的面积．解题的关键：٭正确用代数式表示长方形的长与宽٭（2）长方形的两组对边分别相等列出方程组方法指导

解得

命题点三一元一次方程（组）的应用►题型03二元一次方程组的应用【例2】（2021·湖南邵阳·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．解：设钢笔买了x支，笔记本买了y本，根据题意可得：

解得：

则购置笔记本金额为：35×5=175元购置钢笔金额为：15×15=225元答：购置钢笔15支，金额为225元，购置笔记本34本，金额为175元命题点三一元一次方程（组）的应用►题型03二元一次方程组的应用

解得：

调整前（元）调整后（元）甲地乙地

等量关系

甲地调整后单价+1=乙地调整后单价命题点三一元一次方程（组）的应用►题型04中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用【例1】（2024·陕西西安·模拟预测）在进行氯化钠溶液配置实验中，小明配置了一瓶质量分数为20%的氯化钠溶液，小兰配置了一瓶质量分数为25%的氯化钠溶液，两人用已配制好的溶液混合恰好得到质量分数为22%的氯化钠溶液，已知小明配置的溶液质量比小兰配置的溶液质量多7克，求两人配置的氯化钠溶液质量各有多少克？（提示：氯化钠质量=氯化钠溶液质量×质量分数）

解题的关键：٭（1）正确理解提示٭（2）确定等量关系方法指导命题点三一元一次方程（组）的应用►题型04中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用1．（2024·辽宁·模拟预测）数学课外活动小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是500g．若OA=15cm，OB=30cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．若轻质木杆的质量忽略不计，设这个重物的质量为xg，根据题意可列方程为（

）A．15x=30×500×3 B．30x=15×500×3C．3×15x=30×500 D．3×30x=15×500A

等量关系杠杆原理2．（2024·山西晋中·三模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．某野外作业人员，因工作需要，用橇棍撬动一块2000N的大石头，经过分析后，撬棍的阻力臂是动力臂的14则所需要的动力至少为

N．500命题点三一元一次方程（组）的应用►题型05中