专题27 垂美四边形（原卷版）

专题27垂美四边形

一、填空题

1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD

交于点O．若AD2，BC4，则AB2CD2．

二、解答题

2．概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形

（1）性质探究：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出AB2、CD2、AD2、BC2的数量关系：．

（2）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连结CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的长（可直接利用（1）中性质）

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3．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．

（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，判断四边形ABCD是否为垂美四边形，

并说明理由；

（2）性质探究：如图2，试在垂美四边形ABCD中探究AB2、BC2、CD2、AD2之间的数量关系；

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．若AB=3，AC=2，求线段GE的长．

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4．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．

（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB2，CD2与BC2，AD2之间的数量关系．

（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．

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5．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．

（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，判断四边形ABCD是否为垂美四边形，

并说明理由；

（2）性质探究：如图2，试在垂美四边形ABCD中探究AB2、BC2、CD2、AD2之间的数量关系；

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFD和正方形ABGE，

连接BD、CE、DE，CE分别交AB、BD于点M、N，若AB＝2，AC＝3，求线段DE的长．

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6．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是：（填

写序号）；

（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之

间的数量关系，并说明理由；

（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE长．

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7．（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边

形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______（只填序号）

（2）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理

由．

（3）【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数

量关系？写出你的猜想__________________；

（4）【性质应用】如图3，分别以RtABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE长．

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8．阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理

由；

（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC＝3，AB＝2，求GE的长．

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三、证明题

9．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说

明理由．

（2）性质探究：试探究垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，写出证明过程

（先画出图形）

（3）问题解决：如图，分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE，BG，GE已知AC4，AB5，求GE的长．

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10．连接四边形不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线，如图1，四边形ABCD中线段AC、线段BD就

是四边形ABCD的对角线.把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．

（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系．

猜想结论：（要求用文字语言叙述）

写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．

（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．

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11．小新学习了特殊的四边形一平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边

形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______．

(2)性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形ABCD的面积S与两对角线AC，BD之间的数量关系：______．

(3)问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE，BG，GE，已知AC8，AB10．

①求证：四边形BCGE为垂美四边形；

②直接写出四边形BCGE的面积．

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12．问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平

行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“菱形”也是“垂美四边形”．

概念理解：

（1）如图2，已知等腰梯形ABCD是“垂美四边形”，AB6，CD8，求AD的长．

性质探究：

（2）如图3，已知四边形ABCD是“垂美四边形”，试探究其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量

关系，并写出证明过程．

问题解决：

（3）如图4，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG与正方形ABDE，连接CE，

BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC3，AB5，求OGE的中线OH的长．

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13．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）

（1）概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是；

（2）性质证明：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关

系_________________________；

（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

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14．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是.

(2)【性质探究】如图2，试探索垂美四边形ABCD的两组对边AB,CD与BC，AD之间的数量关系，写出证明

过程．

(3)【问题解决】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE,BG,GE,已知AC=3,BC=1求GE的长.

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15．阅读理解：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．垂美四边形有如下性质：

垂美四边形的两组对边的平方和相等．

已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点E．

求证：AD2+BC2=AB2+CD2

证明：∵四边形ABCD是垂美四边形

∴AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2．

拓展探究：

（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．

（2）如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角

形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理

由；

问题解决：

如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，

已知AC=4，AB=5．求GE长．

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16．定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理

由．

性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，

并给出证明．

问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结

CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，则①求证：△AGB≌△ACE；

②GE=．

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17．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；

（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，

GE．

①求证：四边形BCGE是垂美四边形；

②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．

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18．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图1，四边形ABCD中对角线ACBD于点O．所

以四边形ABCD是垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，若ABAD，CBCD，试判断四边形ABCD是垂美四边形

吗？请说明理由；

（2）性质探究：在图1中，我们发现垂美四边形ABCD的两组对边满足：AB2CD2AD2BC2；请你证

明这个结论．

（3）性质应用：如图3，请你用“（2）性质探究”中的结论解决下面问题：分别以RtACB的直角边AC和

斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC4，AB5，求GE的长．

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四、作图题

19．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的