1.5 有理数的乘法和除法 能力提升 湘教版数学七年级上册（解析版）

第第1页（共1页）解析1.5有理数的乘法和除法—能力提升—>>>精品解析<<<一、选择题1、［中］有理数a，b，c满足abc≠0，a＜b且a+b＜0，，那么的值为（）A．0 B．2 C．0或2 D．0或﹣2［思路分析］利用有理数的相关性质求得a，b，c的符号，再利用绝对值的性质进行化简运算即可．［答案详解］解：∵a＜b且a+b＜0，abc≠0，∴a＜0，b＜0或a＜0，b＞0，当a＜0，b＜0时，则＝﹣1﹣1＝﹣2，∵，∴＝1，∴c＞0．∴a＜0，b＜0，c＞0，∴ab＞0，bc＜0，ac＜0，abc＞0，∴原式＝1﹣1﹣1+1＝0；当a＜0，b＞0时，则＝﹣1+1＝0，∵，∴＝﹣1，∴c＜0．∴a＜0，b＞0，c＜0，∴ab＜0，bc＜0，ac＞0，abc＞0，∴原式＝﹣1﹣1+1+1＝0，综上，的值为0，故选：A．［经验总结］本题主要考查了实数的有关性质，有理数乘法与有理数加法的法则，绝对值的意义，正确利用绝对值的意义解答是解题的关键．2、［中］我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算乘法的方法，称为“铺地锦”．例如，如图1所示，计算31×47，首先把乘数31和47分别写在方格的上面和右面，然后以31的每位数字分别乘以47的每位数字，将结果计入对应的格子中（如3×4＝12的12写在3下面的方格里，十位1写在斜线的上面，个位2写在斜线的下面），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线末端，最后把得数依次写下来是1457，即31×47＝1457．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a的值是（）A．5 B．4 C．3 D．2［思路分析］根据题目已知的例题，可得a+4＝1+a+a﹣2，然后进行计算即可．［答案详解］解：由题意得：a+4＝1+a+a﹣2，∴a＝5，故选：A．［经验总结］本题考查了有理数的乘法，数学常识，根据题目的已知理解用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘是解题的关键．3、［中］（）的倒数比它的本身大．A．假分数 B．真分数 C．带分数［思路分析］真分数是分子小于分母的分数，假分数是分子大于或等于分母的分数，再根据求一个数倒数的方法，可知假分数带分数的倒数等于或小于它本身，真分数的倒数大于它本身．［答案详解］解：∵真分数是分子小于分母的分数，∴真分数的倒数大于它本身．故选：B．［经验总结］本题考查了求倒数的方法，掌握真分数、假分数意义是解题的关键．4、［中］已知43×47＝2021，则（﹣43）的值为（）A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣［思路分析］根据有理数运算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数求解．［答案详解］解：∵43×47＝2021，∴（﹣43）＝﹣43×47＝﹣2021，故选：B．［经验总结］本题考查有理数的计算，解题关键是熟练掌握有理数运算的方法．5、［中］如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，满足a+b﹣c＝0且AB＝BC．那么下列各式正确的是（）A．a+c＜0 B．ac＞0 C．bc＜0 D．ab＜0［思路分析］由数轴知AB＝b﹣a，BC＝c﹣b，再由AB＝BC得a+c＝2b，再根据a+b﹣c＝0，进而得b＝2a，c＝3a，进而由a＜b＜c，知a、b、c都为正数，便可得出最后答案．［答案详解］解：∵AB＝BC，∴b﹣a＝c﹣b，∴a+c＝2b，∵a+b﹣c＝0，即c＝a+b，∴a+（a+b）＝2b，∴b＝2a，∴c＝a+b＝3a，∵a＜b＜c，∴a＞0，b＞0，c＞0，∴a+c＞0，则A选项错误；ac＞0，则B选项正确；bc＞0，则C错误；ab＞0，则D错误．故选：B．［经验总结］本题考查了数轴，实数的加减法，乘法运算法则，数轴上两点间的距离的应用，关键是数形结合得出a、b、c之间的关系和正负性质．6、［中］乘积幻方，每一行之积、每一列之积、对角线上的乘积都相等，如图所示的乘积幻方中，x与y的值分别是（）A．4和8 B．4和20 C．15和25 D．20和50［思路分析］由题意列出二元一次方程与二元二次方程，即可求解．［答案详解］解：每一行之积、每一列之积、对角线上的乘积为：5×10y＝50y，则y下方的数是25，x上方的是2.5y，∴25×10x＝5×10y，5×x×2.5y＝5×10y，∴y＝5x，2.5x＝10，∴x＝4，y＝20．故选：B．［经验总结］本题考查二元一次方程的应用，关键是由题意列出方程．7、［中］格子乘法是由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法类比大全》一书中提出，例如图1所示计算89×65，将被乘数89计入上行，乘数65计入右行．然后以乘数65的每位数字乘被乘数89的每个数字，将结果计入相应格子中，最后斜行加起来，即得5785．现用格子乘法进行如图2计算，问：根据该计算得到的最终结果是（）A．3056 B．3058 C．4056 D．4058［思路分析］先根据题意推出a＝4，然后完成图2即可得解．［答案详解］解：∵2×7＝14，2×8＝16，16﹣14＝2，a+2﹣a＝2，∴a＝4．∴计算过程如图所示：∴结果为4056．故选：C．［经验总结］本题考查了新定义，能够理解新定义，根据题意推出a的值，是解题的关键．8、［中］有A，B两种卡片各4张，A卡片正、反两面分别写着1和0，B卡片正、反两面分别写着2和0，甲、乙两人从中各拿走4张卡片并摆放在桌上，发现各自的4张卡片向上一面的数字和相等：两人各自将所有卡片另一面朝上，则甲的4张卡片数字和减小了1，乙的4张卡片数字和增加了1，则甲拿取A卡片的数量为（）A．1张 B．2张 C．3张 D．4张［思路分析］根据所有卡片的数字之和为12，来确定满足条件的甲朝上的数字可能的情况，即可判断甲拿取了A的张数．［答案详解］解：∵甲、乙正面朝上的数字之和相等，反面朝上的数字之和甲减小1，乙增加1，∴甲乙两面的数字之和为1+1+1+1+2+2+2+2＝12，∴甲一面朝上的数字之和为12÷4＝3，∴甲朝上的可能是1，1，1，0或者2，1，0，0，则甲朝下的可能是0，0，0，2或者0，0，1，1，综上可知，甲拿取A卡片的数量为3张．故选：C．［经验总结］本题考查了有理数的运算，通过将12进行拆分来进行分配是解题的关键．二、填空题9、［中］若ab＞0，则的值为．［思路分析］由ab＞0得a，b同号，分两种情况讨论：①a＞0，b＞0；②a＜0，b＜0．［答案详解］解：∵ab＞0，∴a，b同号，分两种情况讨论：①当a＞0，b＞0时，原式＝1+1+1＝3；②当a＜0，b＜0时，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1．故答案为：3或﹣1．［经验总结］本题考查了绝对值的性质，解决本题的关键是熟记正数的绝对值等于本身；负数的绝对值等于它的相反数．10、［中］三个有理数a、b、c满足abc＞0，则++的值为．［思路分析］利用有理数的乘法法则得到a，b，c同为正数或两个负数一个正数，再利用绝对值的意义化简运算即可得出结论．［答案详解］解：∵三个有理数a、b、c满足abc＞0，∴a，b，c同为正数或两个负数一个正数，当a，b，c同为正数时，原式＝＝1+1+1＝3；当a，b，c为两个负数一个正数时，设a，b为负数，c为正数，原式＝＝﹣1﹣1+1＝﹣1，综上，++的值为3或﹣1．故答案为：3或﹣1．［经验总结］本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的意义，正确利用乘法法则得到a，b，c的结论是解题的关键．11、［中］任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（s、t是正整数，且s≤t），如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（2）＝；②F（48）＝；③F（n2+n）＝；④若n非0整数，则F（n2）＝1，其中正确说法的是（将正确答案的序号填写在横线上）．［思路分析］根据定义求的各个语句中的F（n）的值，再进行辨别判断．［答案详解］解：∵2＝1×2，∴F（2）＝，故语句①符合题意；∵48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，∴F（48）＝＝，故语句②不符合题意；∵n2+n＝n（n+1），∴F（n2+n）＝，故语句③符合题意；∵n2＝n×n，∴F（n2）＝＝1，故语句④符合题意，故答案为：①③④．［经验总结］此题考查了运用有理数的乘法解决新定义问题的能力，关键是能根据定义将各个语句进行求值、辨别．12、［中］一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数是奇数又是合数，它的百位上的数不是素数也不是合数，它十位上的数是最小的素数，个位上的数是．［思路分析］根据它的千位上的数是奇数又是合数，它的百位上的数不是素数也不是合数，它十位上的数是最小的素数，知道千位是9，百位是1，十位是2，又因为能被2和3整除的四位数，所以个位数字是6或0．［答案详解］解：∵它的千位上的数是奇数又是合数，它的百位上的数不是素数也不是合数，它十位上的数是最小的素数，∴千位是9，百位是1或0，十位是2，∵又能被2和3整除的四位数，∴个位数字是6或0或4，故答案为：6或0或4．［经验总结］本题考查了有理数，有理数的除法，注意：最小的素数是2．13、［中］﹣1.25的倒数是．［思路分析］根据倒数的定义求解可得．［答案详解］解：﹣1.25的倒数是﹣，故答案为：﹣［经验总结］本题主要考查倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义．14、［中］若两个数的积为﹣1，我们称它们互为负倒数，则0.125的负倒数是．［思路分析］根据互为负倒数的定义可知，用﹣1÷0.125即可得到0.125的负倒数．［答案详解］解：0.125的负倒数为：﹣1÷0.125＝﹣8．故答案为﹣8．［经验总结］本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键．15、［中］的倒数是．［思路分析］根据倒数的概念求解．［答案详解］解：的倒数是﹣．故答案为：﹣．［经验总结］本题考查了倒数的概念，乘积是1的两数互为倒数．16、［中］下列说法：①若a，b互为相反数，则＝﹣1；②如果|a+b|＝|a|+|b|，则ab≥0；③若x表示一个有理数，则|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值为7；④若abc＜0，a+b+c＞0，则的值为﹣2．其中一定正确的结论是（只填序号）．［思路分析］利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可．［答案详解］解：∵0的相反数是0，∴当a，b为0时，相反数的商为0，就不成立，∴①的说法错误；∵当a，b同号或a，b中至少一个为0时，|a+b|＝|a|+|b|，∴如果|a+b|＝|a|+|b|，则ab≥0，∴②的说法正确；∵当﹣5≤x≤2时，根据绝对值的几何意义可得|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值为7，∴③的说法正确；∵若abc＜0，a+b+c＞0，则a，b，c中可能两个正数一个负数或两个负数一个正数，∴当有两个正数一个负数时，设a＞0，b＞0，c＜0，＝1﹣1+1﹣1＝0；∴④的说法错误；综上，正确的说法有：②③，故答案为：②③．［经验总结］本题主要考查了相反数，绝对值的意义，对于错误的说法举出反例是解题的关键．三、解答题17、［中］我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数能被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．（1）2022属于类（填A，B或C）；（2）①从B类数中任取两个数，则它们的和属于类（填A，B或C）；②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整数），把它们都加起来，则最后的结果属于类（填A，B或C）；（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把它们都加起来，若最后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是（填序号）．①m属于A类；②m+2n属于A类；③m，n不属于同一类；④|m﹣n|属于A类．［思路分析］（1）由2022÷3＝674，可知2022属于C类；（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，则（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，由此可求解；②设这2021个数的和3a+2021，设这2022个数的和为3b+2022×2＝3b+4044，设这k个数的和为3c，则有3a+2021+3b+4044+3c＝3（a+b+c）+6065，再由6065÷3＝2021…2，即可求解；（3）设这m个数的和为3x+m，设这n个数的和为3y+2n，则有3x+m+3y+n＝3（x+y）+m+2n，由题意可知m+2n被3除余数为1，再由此分三类当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，结合选项依次判断即可．［答案详解］解：（1）∵2022÷3＝674，∴2022属于C类，故答案为：C；（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，∴3m+2+3n+3＝3（m+n）+4＝3（m+n+1）+1，∴（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，∴从B类数中任取两个数，则它们的和属于A类，故答案为：A；②∵从A类数中任意取出2021个数，∴设这2021个数的和3a+2021，∵从B类数中任意取出2022个数，∴设这2022个数的和为3b+2022×2＝3b+4044，∵从C类数中任意取出k个数（k为正整数），∴设这k个数的和为3c，∴3a+2021+3b+4044+3c＝3（a+b+c）+6065，∴6065÷3＝2021…2，∴3（a+b+c）+6065被3除余数为2，∴结果属于B类，故答案为：B；（3）从A类数中任意取出m个数，设这m个数的和为3x+m，从B类数中任意取出n个数，设这n个数的和为3y+2n，∴3x+m+3y+n＝3（x+y）+m+2n，∵最后的结果属于A类，∴m+2n被3除余数为1，∴m+2n属于A类，故②正确；当n属于A类时，m属于B类，故①不正确；当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，故③正确；当n属于B类，m属于C类时，|m﹣n|＝|3x﹣3y﹣2|＝|3（x﹣y）﹣2|属于B类；故④不正确；故②③正确，故选：②③．［经验总结］本题考查有理数的性质，理解题意，根据所给条件分类讨论是解题的关键．18、［中］计算：×2÷3．［思路分析］原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．［答案详解］解：原式＝××＝．［经验总结］此题考查了有理数的乘除法则，熟练掌握乘除法则是解本题的关键．19、［中］在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的（探究）．（提出问题）两个有理数a、b满足a、b同号，求的值．解：①若a、b都是正数，即a＞0，b＞0，|a|＝a，|b|＝b，则＝＝1+1＝2；②若a、b都是负数，即a＜0，b＜0，有|a|＝﹣a，|b|＝﹣b，则＝＝（﹣1）+（﹣1）＝﹣2，所以的值为2或﹣2．（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）两个有理数a、b满足a、b异号，求的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，且a＜b＜c，求a+b+c的值．［思路分析］（1）仿照题干中的方法，利用分类讨论的思想分两种情况解答：①a＞0，b＜0；②a＜0，b＞0；（2）利用绝对值的意义和已知条件求得a，b，c的值，再将a，b，c的值代入计算即可．［答案详解］解：（1）由a、b异号，可知：①a＞0，b＜0；②a＜0，b＞0，当a＞0，b＜0时，＝1﹣1＝0；当a＜0，b＞0时，＝﹣1+1＝0．综上，的值为0；（2）∵|a|＝3、|b|＝2、|c|＝1，∴a＝±3，b＝±2，c＝±1．∵a＜b＜c，∴a＝﹣3，b＝﹣2，c＝﹣1或a＝﹣3，b＝﹣2，c＝1．当a＝﹣3，b＝﹣2，c＝﹣1时，a+b+c＝﹣3+（﹣2）+（﹣1）＝﹣6；当a＝﹣3，b＝﹣2，c＝1时，a+b+c＝﹣3+（﹣2）+1＝﹣4综上，a+b+c的值为﹣6或﹣4．［经验总结］本题主要考查了绝对值的意义，数学常识，利用分类讨论的思想解答是解题的关键．20、［中］已知：﹣5，1，﹣3，5，﹣2中，任何两个数相乘，最大的积为m，最小的积为n．（1）求m，n的值；（2）若|x+n|＝m，求x的值．［思路分析］（1）同号且绝对值最大的两个数相乘积最大，异号且绝对值最大的两个数相乘积最小；（2）将（1）所求的m、n代入后，先去绝对值，再进行计算即可．［答案详解］解：（1）m最大为（﹣5）×（﹣3）＝15，n最小为（﹣5）×5＝﹣25．（2）∵|x+n|＝m，∴|x﹣25|＝15，即x﹣25＝±15，x＝10或40．［经验总结］本题考查了实数的运算，解题关键在于正确去绝对值．21、［中］对于点M，N，给出如下定义：在直线MN上，若存在点P，使得MP＝kNP（k＞0），则称点P是“点M到点N的k倍分点”．例如：如图，点Q1，Q2，Q3在同一条直线上，Q1Q2＝3，Q2Q3＝6，则点Q1是点Q2到点Q3的倍分点，点Q1是点Q3到点Q2的3倍分点．已知：在数轴上，点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2．（1）点B是点A到点C的倍分点，点C是点B到点A的倍分点；（2）点B到点C的3倍分点表示的数是；（3）点D表示的数是x，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，写出x的取值范围．［思路分析］（1）通过计算，的值，利用题干中的定义解答即可；（2）设这点为E，对应的数字为a，利用分类讨论的思想方法根据＝3分别列出方程，解方程即可得出结论；（3）分两种情况：①点D在点B的左侧，②点D在点C的右侧，分别计算出x的两个临界值即可得出结论．［答案详解］解：（1）∵点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2，∴BA＝﹣2﹣（﹣4）＝2，BC＝2﹣（﹣2）＝4，CA＝2﹣（﹣4）＝6．∵，∴点B是点A到点C的倍分点，∵，∴点C是点B到点A的倍分点．故答案为：；；（2）设这点为E，对应的数字为a，则＝3．当点E在B，C之间时，∵＝3，∴，解得：x＝1．当点E在C点的右侧时，∵＝3，∴＝3，解得：x＝4．综上，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4．故答案为：1或4．（3）①点D在点B的左侧，∵＝2，解得：x＝﹣3．∴x的最小值为﹣3．②点D在点C的右侧，∵，解得：x＝5，∴x的最大值为5，综上，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，则x的取值范围为：﹣3≤x≤5．［经验总结］本题主要考查了有理数与数轴，数轴上的点与表示这个的点的数字的特征，本题是新定义型题目理解新定义并熟练应用以及用数轴上的点对应的数字表示线段的长度是解题的关键．22、［中］小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．（1）直接写出计算结果，f（4，）＝，f（5，3）＝；（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是．（填序号）①f（6，3）＝f（3，6）；②f（2，a）＝1（a≠0）；③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1；④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）．［思路分析］（1）根据题意计算即可；（2）①分别计算f（6，3）和f（3，6）的结果进行比较即可；②根据题意计算即可判断；③分为n为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断；④2n为偶数，偶数个a相除，结果应为正；（3）推导f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），按照题目中的做法推到即可；（4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．［答案详解］解：（1）f（4，）＝÷÷÷＝4，f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3＝；故答案为：4；．（2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3＝，f（3，6）＝6÷6÷6＝，∴f（6，3）≠f（3，6），故错误；②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确；③对于任何正整数n，当n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1；当n为偶数时，f（n，﹣1）＝1．故错误；④对于任何正整数n，2n为偶数，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故错误；故答案为：②．（3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（）n﹣2（n为正整数，a≠0，n≥2）．（4）f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）＝×9×（﹣）×16＝﹣．［经验总结］本题考查有理数的除法，是一道规律探究型题目，也