2024-2025学年新教材高中数学第十一章立体几何初步11.4.2平面与平面垂直教师用书教案新人教B版必修第四册

PAGE11-11．4.2平面与平面垂直[课程目标]1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；2.理解并驾驭平面与平面垂直的定义；3.驾驭平面与平面垂直的判定定理，并能娴熟应用；4.驾驭平面与平面垂直的性质定理，并能娴熟应用．学问点一二面角[填一填]1．定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线动身的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．2．表示：以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角α­AB­β.假如C和D分别是半平面α和β内的点，那么这个二面角也可记作C­AB­D.3．在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特殊地，平面角是直角的二面角称为直二面角．[答一答]1．确定二面角的平面角的方法有哪些？提示：方法1：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如下图：方法2：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角．如图：留意：①在平面角的定义中，平面角的两边必需有共同的顶点且分别在两个半平面内；平面角的两边必需都与棱垂直．②“特殊”两字的作用，在于平面角的大小易于求出．学问点二面面垂直的判定定理与性质定理[填一填]1．假如两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面相互垂直，记作α⊥β.2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理[答一答]2．面面垂直的判定定理的条件有几个，削减一个条件定理是否还成立？提示：判定定理有两个条件，若去掉一个条件，则定理不肯定成立．3．若两个平面相互垂直，一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与另一个平面的关系是什么？提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，∴a∥l.∴l∥β或l⊂β，即直线l与平面β平行或在平面β内．类型一有关概念和定理的推断[例1]下列各命题中正确的序号有________(填序号)．(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行；(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边；(3)过点A垂直于直线a的全部直线都在过点A垂直于a的平面内；(4)假如三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．[解析]直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行，②异面，因此(1)错．垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，所以(2)对．①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，依据第①个命题知：过点A垂直于直线a的平面唯一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，所以(3)对．三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O，∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且b，c确定一平面，设为α，则a⊥α.同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由a，b确定的平面．所以(4)对．[答案](2)(3)(4)处理此类问题关键是正确理解概念及定理所具备的条件，只有具备相应条件，才能得到相应结论.[变式训练1]若l，m是互不相同的空间直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题中是真命题的是(D)A．若l∥α，m∥α，l⊂β，m⊂β，则α∥βB．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析：A中未说明l，m相交，只有直线l，m相交时，才能得到α∥β；B中l可能在β内或与其相交、平行，故B不正确；C中平面的垂直关系不具有传递性，α与γ可能斜交、平行；D中若l∥β，则在β内能找到一条直线l′使l′∥l，而l⊥α，则有l′⊥α，依据面面垂直的判定定理可得α⊥β.类型二平面与平面垂直的判定定理[例2]如图，四棱锥P­ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.[证明](1)如图，连接CF.因为F为AB的中点，所以AF＝eq\f(1,2)AB.又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD.又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB.因此MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.本题通过空间几何体中的平行与垂直的证明，考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定及性质定理，平面与平面、直线与平面垂直的判定定理等.本题对空间想象实力提出了较高要求.[变式训练2]如图所示，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上随意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：由于AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC.又由于PA⊥⊙O所在的平面，BC在⊙O所在的平面内，∴PA⊥BC(线面垂直的性质定理)．∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC(线面垂直的判定定理)．又BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC(面面垂直的判定定理)．类型三平面与平面垂直的性质定理[例3]如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.[证明]如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要留意以下三点：1两个平面垂直；2直线必需在其中一个平面内；3直线必需垂直于它们的交线.[变式训练3]如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若AP＝AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明AF⊥平面PCD.证明：(1)因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以EF∥CD，又在矩形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB，又AB⊂面PAB，EF⊄面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)在矩形ABCD中，AD⊥CD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，所以AF⊂平面PAD，所以CD⊥AF，①因为PA＝AD且F是PD的中点，所以AF⊥PD，②由①②及PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，所以AF⊥平面PCD.类型四平面与平面垂直的判定定理、性质定理的综合应用[例4]如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)．(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)是否存在实数λ，使得平面BEF⊥平面ACD.[解](1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD.∵平面BEF∩平面ACD＝EF，AC⊥EF，BE⊂平面BEF，∴AC⊥平面BEF，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝eq\r(2)，∴AB＝eq\r(2)tan60°＝eq\r(6)，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(7)，由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝eq\f(6,\r(7))，∴λ＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(6,7).故当λ＝eq\f(6,7)时，平面BEF⊥平面ACD.立体几何中的探究性问题1探究条件，即探究能使结论成立的条件是什么.解答此类问题，先视察与尝试给出条件再给出证明.2探究结论，即在给定的条件下命题的结论是什么.解答此类问题，常从条件动身，探究出要求的结论是什么.对于探究的结论是否存在问题.求解时，常假设结论存在，再找寻与条件相容还是冲突的结论.[变式训练4]如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．解：(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，BD，如图．因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以△ABD为等边三角形，又因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PGB，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满意平面DEF⊥平面ABCD.证明：如图，设F为PC的中点，则在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而PB∩GB＝B，EF∩DE＝E，PB，GB⊂平面PGB，EF，DE⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面PGB，由(1)得，PG⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，所以PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.类型五二面角问题[例5]已知Rt△ABC，斜边BC⊂平面α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A­BC­O的大小．[分析]选特殊点O，作OD⊥BC，连接AD.若AD⊥BC，则∠ADO即为二面角A­BC­O的平面角，所以只需证明AD⊥BC即可．[解]如图，在平面α内，过点O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD.设OC＝a.∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD⊂平面AOD，∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A­BC­O的平面角．由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，知AO⊥OB，AO⊥OC.又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，OC＝a，∴AO＝a，AC＝eq\r(2)a，AB＝2a.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(6)a，∴AD＝eq\f(AB·AC,BC)＝eq\f(2a·\r(2)a,\r(6)a)＝eq\f(2\r(3),3)a.在Rt△AOD中，sin∠ADO＝eq\f(AO,AD)＝eq\f(a,\f(2\r(3),3)a)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ADO＝60°，即二面角A­BC­O的大小是60°.求二面角问题的关键是找出或作出该二面角的平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般实行垂线法来作平面角，即过二面角的一个平面内一点作另一平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.这种方法通用于求二面角的全部题目，其步骤可简写为“一找、二证、三求”.[变式训练5]如图，在四面体SABC中，若△BAC是边长为a的正三角形，且SA⊥底面ABC，AS＝eq\f(1,2)a，求二面角A­BC­S的大小．解：设D是BC的中点，连接AD，SD.由△ABC是等边三角形知AD⊥BC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(SA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC))⇒SA⊥BC,AD⊥BC,AD，SA⊂平面SAD,AD∩SA＝A))⇒BC⊥平面SAD，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(BC⊥平面SAD,SD⊂平面SAD))⇒SD⊥BC.∴∠ADS是二面角A­BC­S的平面角．在Rt△SAD中，tan∠ADS＝eq\f(SA,AD)＝eq\f(\f(1,2)a,\f(\r(3),2)a)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ADS＝30°.即所求二面角A­BC­S的大小为30°.1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(D)A．0个 B．1个C．多数个 D．1个或多数个解析：两点连线垂直于α时有多数个，不垂直于α时，只有一个．2．下列命题中错误的是(D)A．假如平面α⊥平面β，那么平面α内肯定存在直线平行于平面βB．假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内肯定不存在直线垂直于平面βC．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那