2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课时作业含解析新人教A版选修2-3

课时作业8“杨辉三角”与二项式系数的性质时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共计40分)1．在(a－b)20的二项绽开式中，与第6项二项式系数相同的项是(B)A．第15项B．第16项C．第17项D．第18项解析：第6项的二项式系数为Ceq\o\al(5,20)，与它相等的为倒数第6项，即第16项．2．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于(A)A．180 B．－180C．45 D．－45解析：∵(2－x)10＝Ceq\o\al(0,10)210(－x)0＋Ceq\o\al(1,10)29(－x)1＋…＋Ceq\o\al(8,10)22(－x)8＋Ceq\o\al(9,10)2(－x)9＋Ceq\o\al(10,10)(－x)10，∴a8＝Ceq\o\al(8,10)22＝4×Ceq\o\al(2,10)＝4×eq\f(10×9,2×1)＝4×45＝180.3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的绽开式的各项系数和是(D)A．2n＋1 B．2n＋1＋1C．2n＋1－1 D．2n＋1－2解析：令x＝1，可知其各项系数和为2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.4．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))n的绽开式中，只有第5项的二项式系数最大，则绽开式中的常数项是(B)A．－7 B．7C．－28 D．28解析：由已知n为偶数，则eq\f(n,2)＋1＝5，∴n＝8.∴(eq\f(x,2)－eq\f(1,\r(3,x)))n＝(eq\f(x,2)－eq\f(1,\r(3,x)))8的绽开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\f(x,2))8－r·(－eq\f(1,\r(3,x)))r＝(－1)r·(eq\f(1,2))8－r·Ceq\o\al(r,8)·xeq\s\up15(8－eq\f(4r,3))，令8－eq\f(4r,3)＝0，得r＝6，∴常数项为T7＝(－1)6·(eq\f(1,2))2·Ceq\o\al(6,8)＝eq\f(1,4)×28＝7.5．满意关系式eq\f(1,2)×104≤Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)≤104的正数n是(C)A．11B．12C．13D．14解析：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，而213＝8192，所以n＝13.6．在(1＋x)n(n为正整数)的二项绽开式中奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n的值为(C)A．0 B．ABC．A2－B2 D．A2＋B2解析：由题意知，(1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，又因为(1－x2)n＝(1－x)n(1＋x)n＝(A＋B)(A－B)＝A2－B2.7．(x－1)11的绽开式中x的偶次项系数之和是(D)A．－2048 B．－1023C．1024 D．－1024解析：(x－1)11＝Ceq\o\al(0,11)x11＋Ceq\o\al(1,11)x10·(－1)＋Ceq\o\al(2,11)x9·(－1)2＋…＋Ceq\o\al(11,11)(－1)11，x的偶次项系数为负数，其和为－210＝－1024.8．若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋…＋a2011x2011(x∈R)，则eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2011,22011)的值为(C)A．2 B．0C．－1 D．－2解析：ar＝(－1)rCeq\o\al(2011－r,2011)·12011－r·2r，则eq\f(ar,2r)＝(－1)rCeq\o\al(2011－r,2011)，eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2011,22011)＝－Ceq\o\al(2010,2011)＋Ceq\o\al(2009,2011)－Ceq\o\al(2008,2011)＋…－Ceq\o\al(0,2011)＝－Ceq\o\al(2011,2011)＝－1.二、填空题(每小题6分，共计18分)9．设(2eq\r(3,x)－1)n的绽开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M,8，N三数成等比数列，则绽开式中的第四项为－160x.解析：当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n，由已知M·N＝64，∴2n＝64，n＝6.∴第四项T4＝Ceq\o\al(3,6)·(2eq\r(3,x))3·(－1)3＝－160x.10．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b，c，d是相邻两行的前四个数(如图所示)，那么当a＝8时，c＝9，d＝37.解析：视察发觉：第n行的第一个数和行数相等，其次个数是1＋1＋2＋3＋…＋n－1＝eq\f(nn－1,2)＋1.所以当a＝8时，c＝9，d＝eq\f(9×9－1,2)＋1＝37.11．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝7.解析：令x＝－1，则28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，则0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12.∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)．∴a1＋a3＋…＋a11＝27.∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.三、解答题(共计22分)12．(10分)若(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，求：(1)各项系数之和；(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和．解：(1)各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，可用“赋值法”求解．令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1.(2)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②①＋②得，2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为eq\f(1＋510,2)；①－②得，2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为eq\f(1－510,2).13．(12分)已知(2x－1)n二项绽开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，求Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)的值．解：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…，由已知可得，B－A＝38.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二项式系数的性质可得Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n－Ceq\o\al(0,n)＝28－1＝255.——素养提升——14．(5分)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第2n－1行；第62行中1的个数是32.解析：由题意可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；由n＝6，得26－1＝63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1.15．(15分)已知fn(x)＝(1＋x)n，(1)若f2015(x)＝a0＋a1x＋…＋a2015x2015，求a1＋a3＋…＋a2013＋a2015的值．(2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数．解：(1)因为fn(x)＝(1＋x)n，所以f2015(x)＝(1＋x)2015，又f2015(1)＝a0＋a1x＋…＋a2015x2015，所以f2015(1)＝a0＋a1＋…＋a2015＝22015，①f2015(－1)＝a0－a1＋…＋a2