2024-2025学年高中数学第2章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质练习新人教A版必修5

PAGEPAGE1第2课时等差数列的性质1.等差数列{an}的公差为d，则数列{can}(c为常数且c≠0)A.是公差为d的等差数列B.是公差为cd的等差数列C.不是等差数列D.以上都不对解析an＝a1＋(n－1)d，则can＝ca1＋(n－1)cd，所以can＋1－can＝cd.答案B2.在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为A.49 B.50 C.51 D解析由条件可得an＋1－an＝eq\f(1,2)，故{an}是等差数列，从而a101＝a1＋(101－1)×eq\f(1,2)＝2＋50＝52.答案D3.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于A.15 B.30解析因为a7＋a9＝2a8＝16，故a8＝8.在等差数列中，a4，a8，a12成等差数列，所以a12＝2a8－a4＝16－1＝15.答案A4.在等差数列{an}中，若a1－a4－a8－a12＋a15＝2，则a3＋a13＝________.解析因为a1＋a15＝a4＋a12＝2a8，而a1＋a15－(a4＋a8＋a12)＝2，即2a8－3a8＝2，所以a8＝－2，所以a3＋a13＝2a8＝－4.答案－45.{an}为等差数列，若a3＋a11＝10，则a6＋a7＋a8＝________.解析因为a3＋a11＝a6＋a8＝2a7＝10，所以a6＋a7＋a8＝eq\f(3,2)(a3＋a11)＝15.答案15[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为A.5 B.6 C.8 D解析由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.答案A2.设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于A.0 B.37 C.100 D.解析设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，所以{cn}的公差d＝c2－c1＝0.所以c37＝100.答案C3.下列说法中正确的是A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2解析因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列.答案C4.若等差数列{an}的公差为整数，首项为19，从第6项起先为负值，则公差为A.－5 B.－4 C.－3 D.－2解析设等差数列{an}的公差为d(d∈Z)，依题意得a6＝a1＋5d＝19＋5d＜0，即d＜－eq\f(19,5)；a5＝a1＋4d＝19＋4d≥0，即d≥－eq\f(19,4)，所以－eq\f(19,4)≤d＜－eq\f(19,5).又d∈Z，所以d＝－4.答案B5.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq\f(1,3)a11的值为A.14 B.15解析∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，∴a8＝24，a9－eq\f(1,3)a11＝a1＋8d－eq\f(1,3)a1－eq\f(10,3)d＝eq\f(2,3)a1＋eq\f(14,3)d＝eq\f(2,3)(a1＋7d)＝eq\f(2,3)a8＝eq\f(2,3)×24＝16.答案C6.(实力提升)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的eq\f(1,7)是较小的两份之和，则最小的1份为A.eq\f(5,3) B.eq\f(5,6) C.eq\f(10,3) D.eq\f(11,6)解析设最小的一份为a1，公差为d，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝100，则a3＝20，又eq\f(1,7)(a3＋a4＋a5)＝a1＋a2，即eq\f(1,7)×3a4＝a1＋a2，∴eq\f(3,7)(a3＋d)＝a3－2d＋a3－d，即eq\f(3,7)(20＋d)＝40－3d，解得d＝eq\f(55,6)，∴a1＝a3－2d＝20－eq\f(55,3)＝eq\f(5,3).答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7.假如等差数列{an}中，a4＋a5＋a6＝15，那么a1＋a2＋a3＋…＋a8＋a9＝________.解析∵{an}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5，∴a4＋a5＋a6＝3a5＝15，∴a5＝5，∴a1＋a2＋a3＋…＋a8＋a9＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝9a5＝9×5＝45.答案458.等差数列{an}中，a2000＝－15，a2015＝15，则a2060＝______.解析∵a2015－a2000＝15d，∴15d＝30，即d＝2.a2060＝a2000＋60d＝－15＋60×2＝105.答案1059.(实力提升)已知实数a>0且a≠1，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax，x<3，,ax＋b，x≥3.))若数列{an}满意an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是等差数列，则a＝________，b＝________.解析a1＝a，a2＝a2，a3＝3a＋b，a4＝4a＋b，所以等差数列{an}的公差为a4－a3＝a，则a2－a1＝a2－a＝a，解得a＝2，则a1＝2，a2＝4，a3＝6＋b＝6，所以b＝0.答案20三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)在等差数列－5，－3eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列.(1)求新数列的通项公式；(2)28是新数列中的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由.解析(1)原数列的公差d＝－3eq\f(1,2)－(－5)＝eq\f(3,2)，所以新数列的公差d′＝eq\f(1,2)d＝eq\f(3,4)，故新数列的通项公式为an＝－5＋eq\f(3,4)(n－1)＝eq\f(3,4)n－eq\f(23,4).(2)设28是新数列的第n项，则eq\f(3n,4)－eq\f(23,4)＝28，解得n＝45∈N＋，所以28是新数列中的第45项.11.(12分)某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量削减3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件.试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第一档次)解析设在相同的时间内，从低到高每档产品的产量分别为a1，a2，…，a10，利润分别为b1，b2，…，b10，则{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝60，d1＝－3，b1＝8，d2＝2，所以an＝60－3(n－1)＝－3n＋63，bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6，所以利润f(n)＝anbn＝(－3n＋63)(2n＋6)＝－6n2＋108n＋378＝－6(n－9)2＋864.明显，当n＝9时，f(n)max＝f(9)＝864.答：在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.12.(12分)(实力提升)已知数列{an}中，a1＝eq\f(1,4)，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满意bn＝eq\f(1,an－1)(n∈Z*).(1)求证：数列{bn}是等差数列，并写出{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的通项公式及数列{an}中的最大项与最小项.解析(1)证明因为an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈Z*)，所以an－1＝eq\f(an－1－1,an－1)，所以eq\f(1,an－1)＝eq\f(an－1－1＋1,an－1－1)＝1＋eq\f(1,an－1－1)，即eq\f(1,an－1)－eq\f(1,an－1－1)＝1.因为bn＝eq\f(1,an－1)，所以bn－bn－1＝1(n≥2，n∈Z*).又a1＝eq\f(1,4)，b1＝eq\f(1,a1－1)＝－eq\f(4,3)，所以{bn}是以b1＝－eq\f(4,3)为首项，1为公差