2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.1向量基本定理训练含解析新人教B版必修第二册

PAGE8-第六章6.26.2.1请同学们仔细完成[练案28]A级基础巩固一、选择题1．(多选题)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，肯定能使a，b共线的是(AB)A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满意x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b[解析]由A得a＝eq\f(2,7)e，b＝－eq\f(8,7)e，∵a，b非零向量，∴a∥b，∴A正确；由共线定理知B正确；当x，y都是0时不成立，故C错误；梯形不肯定AB∥CD可能另两边平行，故选D错误．故选AB．2．如图，设点O是□ABCD两对角线的交点，下列向量组：①eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))；④eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→)).可作为该平面内全部向量的一组基底的是(B)A．①② B．①③C．①④ D．③④[解析]①eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))不共线；②∵eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(DA,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线；③eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))不共线；④∵eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OD,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))共线．由平面对量基底的概念知①③可构成平面内全部向量的一组基底．3．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若eq\o(OP,\s\up6(→))＝aeq\o(OP1,\s\up6(→))＋beq\o(OP2,\s\up6(→))，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满意(B)A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0[解析]∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝aeq\o(OP1,\s\up6(→))＋beq\o(OP2,\s\up6(→))，由于点P落在第Ⅲ部分，则依据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知aeq\o(OP1,\s\up6(→))与eq\o(OP1,\s\up6(→))方向相同，beq\o(OP2,\s\up6(→))与eq\o(OP2,\s\up6(→))方向相反，∴a＞0，b＜0.故选B．4．如图，在△ABC中，M，N，P是AB的四等分点，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CA,\s\up6(→))＝e2，则下列正确的是(A)A．eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e2，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)e1＋eq\f(3,4)e2B．eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋eq\f(1,4)e2，eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)e1＋eq\f(3,4)e2C．eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)e1－e2，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(e1＋e2)D．eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(e1－e2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2[解析]∵N为AB的中点，∴eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(e1＋e2)．又∵M是AN的中点，∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e2＋\f(1,2)e1＋\f(1,2)e2))＝eq\f(1,4)e1＋eq\f(3,4)e2.∴选项A正确．选项B中应是eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)e1＋eq\f(1,4)e2；选项C中eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(e1－e2)；选项D中eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2．5．设a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则实数λ的值等于(A)A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－2 D．2[解析]∵向量a＋λb与－(b－2a)共线，∴存在实数k，使得a＋λb＝－k(b－2a)＝－kb＋2ka，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＝1,λ＝－k))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2),λ＝－\f(1,2)))．二、填空题6．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为__－1或3__．[解析]由题意知ma－3a＝λ[a＋(2－m)b]∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝λ,－3＝λ2－m))解得m＝－1或m＝3．7．如图，在□ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M为BC的中点，若选择基底{a，b}，则eq\o(MN,\s\up6(→))在此基底下的分解式为__eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)b－eq\f(1,4)a__．[解析]eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,4)(a＋b)＝eq\f(1,4)b－eq\f(1,4)A．8．向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝__eq\f(5,2)__,μ＝__－eq\f(1,2)__．[解析]由条件可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝2，,λ－μ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(5,2)，,μ＝－\f(1,2).))三、解答题9．设e1，e2是两个不共线的非零向量．(1)若a＝λe1＋4e2与b＝e1＋λe2共线，求实数λ的值；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，则当k为何值时，A，B，D三点共线．[解析](1)∵a，b共线，∴存在实数k，使得a＝kB．即λe1＋4e2＝k(e1＋λe2)，∴λe1＋4e2＝ke1＋kλe2．∵e1，e2是不共线的非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,kλ＝4.))解得λ＝±2．(2)∵eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2．若A，B，D三点共线，则肯定存在唯一实数λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))．即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，∴(λ－2)e1＝(k＋4λ)e2．∵e1，e2是不共线的非零向量，∴λ－2＝k＋4λ＝0，解得λ＝2，k＝－4λ＝－8．∴当k＝－8时，A，B，D三点共线．10．已知△ABC中，D为BC的中点，E、F为BC的三等分点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，用a、b表示eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AE,\s\up6(→))、eq\o(AF,\s\up6(→))．[解析]如图，Aeq\o(D,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)(b－a)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b；eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(2,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)B．B级素养提升一、选择题1．点C在线段AB上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，则λ为(C)A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2)C．－eq\f(3,2) D．－eq\f(2,3)[解析]由题意，点C在线段AB上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝λ(eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,5)λeq\o(AB,\s\up6(→))，∴－eq\f(2,5)λ＝eq\f(3,5)，∴λ＝－eq\f(3,2)，故选C．2．已知a，b是不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋2b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则λ＝(D)A．－1 B．－2C．－2或1 D．－1或2[解析]∵A，B，C三点共线，∴存在实数k使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，∴λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2＝kλ－1，))解得λ＝－1或2.故选D．3．在△ABC中，E为AB边的中点，F为AC边的中点，BF交CE于点G.若eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))，则xy等于(C)A．eq\f(2,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(4,9) D．eq\f(4,3)[解析]由题意知：G是△ABC的重心，延长AG与边BC交于点D．∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，又因为点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，故eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AF,\s\up6(→))，则eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AF,\s\up6(→))，即x＝y＝eq\f(2,3)，∴xy＝eq\f(4,9).故选C．4．(多选题)下列叙述正确的是(BCD)A．若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λbB．b＝3a(a为非零向量)，则a，b共线C．若m＝3a＋4b，n＝eq\f(3,2)a＋2b，则m∥nD．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c[解析]推断非零向量a与b共线的方法是：存在实数λ，使a＝λb，在选项A中，若a＝b＝0时成立，故选项A不正确，选项B正确；在选项C中，m＝2n，所以m∥n，所以C选项正确，D选项也正确．二、填空题5．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为__(－∞，4)∪(4，＋∞)__．[解析]若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4．6．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列结论：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)A．其中正确的结论的序号为__①②③__．[解析]如图，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a，①正确；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，②正确；eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b－a，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)(－b－a)＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a，③正确；④eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a，④不正确．三、解答题7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2．(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．[解析](1)若a，b共线，则存在v∈R，使a＝vb，则e1－2e2＝v(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v＝1，,3v＝－2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v＝1，,v＝－\f(2,3).))所以v不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,－2m＋3n＝－1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1))所以c＝2a＋B．(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝4，,－2λ＋3μ＝－3))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝