2024-2025学年高中数学第一章数列1.3等比数列1.3.1第1课时等比数列的概念和通项公式课时作业含解析北师大版必修5

PAGEPAGE4课时作业7等比数列的概念和通项公式时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．若一个等比数列的前三项依次是x,2x＋2,3x＋3，则x的值为(A)A．－4 B．－1C．－1或－4 D．4解析：由等比数列的定义，得eq\f(2x＋2,x)＝eq\f(3x＋3,2x＋2)，即(2x＋2)2＝x(3x＋3)，整理得x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4.当x＝－1时，2x＋2＝0，不合题意，舍去．所以x＝－4，公比q＝eq\f(2x＋2,x)＝eq\f(3,2)，符合题意．2．假如数列{an}是等比数列，那么(A)A．数列{aeq\o\al(2,n)}是等比数列 B．数列{2an}是等比数列C．数列{lgan}是等比数列 D．数列{nan}是等比数列解析：利用等比数列的定义验证即可．3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则公比q＝(A)A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－2解析：∵a2＝a1q＝2①，a5＝a1q4＝eq\f(1,4)②，由②÷①，得q3＝eq\f(1,8)，∴q＝eq\f(1,2).4．等比数列{an}中，若a2＋a3＝3，a4＋a5＝9，则a6＋a7等于(B)A．12B．27C．18D．16解析：∵{an}为等比数列，∴a4＋a5＝(a2＋a3)q2，即9＝3q2，∴q2＝3，∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝9×3＝27.5．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＋a3的值为(C)A．－6B．－8C．－10D．－12解析：∵a1，a3，a4成等比数列，∴eq\f(a1＋2d,a1)＝eq\f(a1＋3d,a1＋2d)，即a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，即a1(a1＋6)＝(a1＋4)2，解得a1＝－8，a2＋a3＝(－8＋2)＋(－8＋4)＝－10.6．已知等比数列{an}满意a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(A)A．64B．81C．128D．243解析：设等比数列的公比为q，∵a1＋a2＝3，a2＋a3＝q(a1＋a2)＝6，∴q＝2.又a1＋a2＝a1＋a1q＝3，∴3a1＝3.∴a1＝1，∴a7＝26＝64.7．已知0<a<b<c，且a，b，c成等比数列，n为大于1的整数，则logan，logbn，logcn成(C)A．等差数列 B．等比数列C．各项倒数成等差数列 D．以上都不对解析：∵eq\f(b,a)＝eq\f(c,b)，即b2＝ac，∴eq\f(1,logan)＋eq\f(1,logcn)＝logna＋lognc＝lognac＝lognb2＝2lognb＝eq\f(2,logbn).8．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于(C)A．32B．34C．66D．64解析：依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选C.二、填空题9．已知等比数列{an}的公比为－2，它的第n项为48，第2n－3项为192，则数列的通项公式为an＝3×(－2)n－1.解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝a1(－2)n－1＝48，,a2n－3＝a1(－2)2n－4＝192，))解得a1＝3，所以an＝a1qn－1＝3×(－2)n－1.10．已知在等比数列{an}中，各项均为正数，且a1＝1，a1＋a2＋a3＝7，则数列{an}的通项公式是an＝2n－1.解析：设公比为q，则1＋q＋q2＝7，解得q＝2或q＝－3(舍)，∴an＝2n－1.11．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于eq\f(n2,4)＋eq\f(7n,4).解析：由题意，知eq\f(a3,a1)＝eq\f(a6,a3)，则aeq\o\al(2,3)＝a1a6.设数列{an}的公差为d，则(2＋2d)2＝2(2＋5d)，解得d＝eq\f(1,2)或d＝0(舍去)，所以数列{an}的前n项和Sn＝2n＋eq\f(n(n－1),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(n2,4)＋eq\f(7n,4).三、解答题12．已知a，b，c，d成等比数列，a＋b，b＋c，c＋d均不为0，求证：a＋b，b＋c，c＋d成等比数列．证明：证法一：由已知条件，得eq\f(b,a)＝eq\f(c,b)，则b2＝ac，同理，c2＝bd，bc＝ad.∵(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝ac＋bd＋bc＋bc＝ac＋bd＋bc＋ad＝(a＋b)·(c＋d)，而a＋b，b＋c，c＋d均不为0，∴eq\f(b＋c,a＋b)＝eq\f(c＋d,b＋c)，则a＋b，b＋c，c＋d成等比数列．证法二：设eq\f(b,a)＝eq\f(c,b)＝eq\f(d,c)＝q，则eq\f(b＋c,a＋b)＝eq\f(c＋d,b＋c)＝q，∴a＋b，b＋c，c＋d成等比数列．证法三：设b＝aq，c＝aq2，d＝aq3，则eq\f(b＋c,a＋b)＝eq\f(aq(1＋q),a(1＋q))＝q，eq\f(c＋d,b＋c)＝eq\f(aq2(1＋q),aq(1＋q))＝q，∴a＋b，b＋c，c＋d成等比数列．13．设数列{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1b2b3＝－3，求此等比数列的通项公式an.解：∵b1＋b2＋b3＝3，∴log2a1＋log2a2＋log2a3＝3，即log2(a1a2a3)＝3，∴a1a2a3＝8，∵{an}为等比数列，设等比数列{an}的公比为q，∴eq\f(a2,q)·a2·a2q＝8，即aeq\o\al(3,2)＝8，a2＝2，又∵b1b2b3＝－3，∴log2a1log2a2log2a3＝－3，∴log2eq\f(2,q)·log22·log22q＝－3，∴(1－log2q)(1＋log2q)＝－3，∴q＝4或eq\f(1,4)，∴所求等比数列的通项公式为an＝a2qn－2，即an＝22n－3或an＝25－2n.——实力提升类——14．已知数列{an}，下列选项正确的是(C)A．若aeq\o\al(2,n)＝4n，n∈N＋，则{an}为等比数列B．若anan＋2＝aeq\o\al(2,n＋1)，n∈N＋，则{an}为等比数列C．若aman＝2m＋n，m，n∈N＋，则{an}为等比数列D．若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N＋，则{an}为等比数列解析：由aeq\o\al(2,n)＝4n知|an|＝2n，则数列{an}未必是等比数列；对于B，D选项，满意条件的数列中可以存在零项，同样，数列{an}不肯定是等比数列；对于C选项，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，两式相除得eq\f(an＋1,an)＝2(n∈N＋)，故数列{an}是等比数列．选C.15．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c是常数，n＝1,2,3，…)，且a1，a2，a3成等比数列，且公比不等于1.(1)求c的值；(2)求{an}的通项公式．解：(1)a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2＋c)2＝2(2＋3c)，解得c＝0或c＝2.当c＝0时，a1＝a2＝a3，