第5章 生活中的轴对称（知识点组合卷·北师版七年级下册数学）

知识点组合卷：笫5章生活中的轴对称

知识点1轴对称现象

1.下列奥运会会徽是轴对称图形的是（

A.等腰三角形B.平行四边形C.线段D.正方形

3.下列标志中是轴对称图形的有几个（

OW皿颔$8

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）

A.我B.爱C.中D.国

5.在下列图形中，其中是轴对称图形且有四条对称轴的是（）

6.下列四个图案中，具有一个共有的性质，那么在222,606,808,609下面四个数中，满足上述性质的一个是

☆&)d/

7.如图，在4X4的正方形网格中，有5个黑色小正方形.

（1〕请你移动一个黑色小正方形，使移动后所形成的4X4的正方形网格图形是轴对称图形.如：将8号小正方

形移至14号；你的另一种做法是将号小正方形移至号（填写标号即可）；

（2〕请你移动2个小正方形，使移动后所形成的图形是轴对称图形，你的一种做法是将号小正方形移至

号、将号小正方形移至号（填写标号即可）.

8.在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形.

知识点2探索轴对称的性质

1.如图，将一张矩形纸片折叠，若/1=78°,则N2的度数是（）

2.如图，将△ABC沿过边上两点D,E的直线折叠后，使得点8与点A重合.若已知BE=4cm,DE=3cm,则4

A8C的周长与△A。。的周长的差为（）

3.如图，NAO8=45°,点M、N分别在射线OA、0B上，MN=6,△OMN的面积为12,P是直线MN上的动点，

点尸关于。A对称的点为P,点P关于OB对称点为巴，当点P在直线MW上运动时，△0PP2的面积最小值

为（）

A

4.如图，把一张长方形纸片ABC。沿Er折叠后，点A落在CD边上的点&处，点8落在点8处，若Nl=115°,

5.如图，已知点。，E,尸分别在△4BC的三边上，将△ABC沿OE,。尸翻折，顶点B,C均落在△48C内的点。

(2)如果5D_LCE,求NC48的度数.

10.如图，ABYBC,ADLDC,ZBAD=100°,在8C、CO上分别找一点M、N,当aAMN周长最小时，求/MAN

的度数是多少？

知识点3简单的轴对称图形

1.一个等腰三角形的顶角是50。，则它的底角是（）

A.100°B.65°C.70°D.75°

2.如图，AB//CD,AB=AC,ZI=40°,则NACE的度数为（）

3.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、8是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC

是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是（）

4.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12即和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（）

A.11cmB.5cmC.5c或17cmD.无法确定

5.如图，在△ABC中，AB=AD=DC,/E=64。，则NC的度数为（）

6.如图，在等腰△ABC中，AB=AC.NA=40。，。是AC边上的一点，RAD=BD,则NCB7）=（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

7.如图，aABC中，AB=AC,腰AB的垂直平分线。E交A8于点E,交AC于点。，且NQBC=15°,则NA的

度数是（)

E.

D

A.50°B.36°C.40°D.45°

8.如图，在△ABC中，ZA=90°,ZC=30°,PQ垂直平分3C,与AC交于点P,下列结论正确的是（)

A.PC<2PAB.PC>2PAC.AB<2PAD.AB>2PA

9.如图，在△ABC中，NA=36°,A8=AC,平分N4BC,则图中等腰三角形的个数是（)

A.D个B.1个C.2个D.3个

10.如图，AB=AC,AE=EC=CD,ZA=60°,若EF=2,贝lj。尸=()

A.3B.4C.5D.6

11.如组，己知△44。的面积为8,在6c上截取3。=84,作N4BC的平分线交AO于点P,连接PC,则△3PC

的面积为（）

12.如图，/XABC中，AB=AC,。月垂直平分AC,若△BCD的周长是14,8C=6,则4c的长是（)

A

2

3-

A.6B.8C.10D.14

13.如图，在△ABC中，/B=90°,48=6,BC=8,AO为N8AC的角平分线,则三角形AQC的面积为（）

K

14.如图，NMON=66°,04平分NMON,P是射线OA上的一点，且OP=4,若点Q是射线0M上的一个动点,

2C.3D.4

15.如图,△ABC中,80平分NABC,C0平分NACB,M,N经过点O,旦MN〃BC,若AB=5,2XAMN的周长

等于12,则4c的长为（）

6C.5D.4

16.如图，在△A8C中，点。在8c边上，BD=AD=AC,£为。。的中点.若NC4E=18°,则N8为.

17.如图，△A3C中，AB=AC,。是4c边上一点，且3。=4-AD=CD,则N8AC的度数是

A

18.如图，在△ABC中，NC=90°,点七是AC上的点，且Nl=/2,。£垂直平分垂足是。，SMED：S^ABC

19.如图，/XABC中，AB=4cm,BC=AC=5cmfBD,C7)分别平分/AAC,NAC氏点。至UAC的距离是1cm,

则△ABC的面积是.

20.如图，在△ABC中，AB=AC,NDBC=28°,JIBDLAC,则NA=

21.如图，在△A8C中，AB=AC,BC=10,AO是NBAC平分线，则

22.如织，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O,分别交BC于点。、E,已

知△?1£)£1的周长5cm.

(1)求8c的长；

(2)分别连接04、OB、0C,若△08C的周长为13cm,求04的长.

3/

X

延长8c到E,使CE=』8C.点。是边AC的中点，连接ED并延长EO交4B

23.如图，△ABC是等边三角形,

2

于「求证：

(1)EFIAB^

(2)DE=2DF.

TV

24.已知，△ABC是等边三角形,D、E、产分别是48、BC>4c上一点，且/。七斤=60°.

(1)如图1,若Nl=50°,求N2；

(2)如图2,连接。R若Nl=/3,求证：DF〃BC.

AA

AA

BECBEC

图1图2

25.如图，在△ABC中，A8=AC,ZBAC=100°,BD平分/ABC,且8O=AB,连接4。、DC.

(1)求证；々CAD=/DBC；

(2)求NB。。的度数.

zX

B

知识点4利用轴对称进行设计

1.如图，在3X3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的AABC

为格点三角形，在图中最多能画出（）个格点三角形与△AOC成轴对称.

C

B

A.6个B.5个C.4个D.3个

2.如图所示的方格纸，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一

个轴对称图形，那么涂法共有（）种.

B.5C.4D.3

3.请在如图四个3X3的正方形网格中，画出与格点三角形（阴影部分）成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将

所画三角形涂上阴影.（注：所画的四个图不能重复）

4.图①、图②、图③都是6X6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点，线

段A8的端点都在格点上，在图①、图②、图③中，分别以A8为边画一个面积为学的三角形，在给定的网格

乙

中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法.

（1）在图①中画△ABC,使NBAC=45°.

（2J在图②中画△A3Q,使△A8D是轴对称图形.

（3）在图③中画使A3边上的高将△A4E分成面积比为1：2的两部分.

图①图②图③

5.如图，在平面直角坐标系人Qy中，

(1)作出△ABC关于)，轴对称的用C1；

(2)在x轴上找出一个点P,使点P到A、8两点的距离相等.

6.己知△A8C在平面直角坐标系中的位置如图所示，且三个顶点都在正方形网格的格点上.

(1)把△A4C沿)，轴翻折得到△人，"C',画出夕C',并写出点A'的坐标；

(2)若点尸(〃］，〃)在△ABC内部，当△ABC沿)，轴翻折后，点户对应点P'的坐标是

(3)求△ABC的面积.

7.如图，在平面直角坐标系中，△A8C各顶点的坐标分别为：4(-2,4),8(-4,2),C(-3,1),按下列要

求作图，保留作图痕迹.

(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△AiBiCi(点A、C分布而应Ai、CI)

(2)请在)，轴上找出••点P,满足线段AP+BiP的值最小.

8.如图，在平面直角坐标系中，ZXABC的顶点坐标分别为4(-3,2),B(-4,-3),C(-1,-I).

(I)写出△ABC关于x轴对称的△48iCi的各顶点坐标；

(2)画出△4BC关于y轴对称的△AzB2c2;

(3)求AA282c2的面积.

VA

知识点组合卷：笫5章生活中的轴对称

参考答案

知识点1轴对称现象

1.下列奥运会会徽是轴对称图形的是（）

【解答】解：4、不是轴对称图形，不符合题意；

从不是轴对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形，不符合题意；

D,是轴对称图形，符合题意；

故选：

2.下歹J图形不是轴对称图形的是（）

A.等腰三角形B.平行四边形C.线段D.正方形

【解答】解：4、是轴对称图形，不符合题意；

B、不是轴对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，不符合题意；

D,是轴对称图形，不符合题意.

故选：B.

3.下歹J标志中是轴对称图形的有几个（）

aw0修$e

A.2个B.3个C.4个D.5个

【解答】解：标志中是轴对称图形的为：

QW回@

故选:B.

4.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也同有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（)

A.我B.爱C.中D.国

【解答】解：A、我，不是轴对称图形；

B、爱，不是轴对称图形；

C、中，是轴对称图形；

。、国，不是轴对称图形；

故选:C.

【解答】解：A.是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项不合题意;

B.是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项不合题意；

C是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项符合题意；

D.不是轴对称图形，故本选项不合题意.

故选：C.

6.下列四个图案中，具有一个共有的性质，那么在222,606,808,609下面四个数中，满足上述性质的一个是

☆&d/

【解答】解：四个图案都是轴对称图形，

在222,606,808,609四个数中，808是轴对称图形，

故答案为：808.

7.如图，在4X4的正方形网格中，有5个黑色小正方形.

（1〕请你移动一个黑色小正方形，使移动后所形成的4X4的正方形网格图形是轴对称图形.如：将8号小正方

形移至14号；你的另一种做法是将9号小正方形移至3号（填写标号即可）；

（2）请你移动2个小正方形，使移动后所形成的图形是轴对称图形，你的一种做法是将_2_号小正方形移至3

号、将13号小正方形移至4号（填写标号即可）.

【新答】解：（1）移动一个黑色小正方形，使移动后所形成的4X4的正方形网格图形是轴对称图形，另一种做

法是将9号小正方形移至3号：

（2）移动2个小正方形，使移动后所形成的图形是轴对称图形，做法是将9号小正方形移至3号、将13号小正

方形移至4号（答案不唯一）.

故答案为：9,3；9,3,13,4.

8.在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形.

（图1）（图2）（图3）

（图1）（图2）（图3）

知识点2探索轴对称的性质

1.如图，将一张矩形纸片折叠，若/1=78°,则N2的度数是()

【分析】根据翻折可得，Z2=Z4,根据矩形纸片的对边平行，得N1=N3=78°,进而可求/2的度数.

【解答】解：如图，

根据翻折可知：Z2=Z4,

根据矩形纸片的对边平行，得N1=N3=78。，

/.Z2="(180°-78°)=51°.

2

故选:A.

【，点评】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是掌握翻折的性质.

2.如图，将△A4C沿过边上两点。，£的直线折叠后，使得点3与点A重合.若已知DE=3cm,则4

ABC的周长与△ADC的周长的差为()

【分析】由折叠的性质得BE=AE=4,△A8C的周长-△AOC的周长=43+BC+AC-AC-C。-AO

=AB,即可得出结果.

【解答】解：•・•将△ABC沿直线OE折叠后，使得点B与点A重合，

：,AD=BD,BE=AE=4,

•••AB=8E+AE=4+4=8,

一•△ABC的周长-△AOC的周长=A8+8C+AC-AC-CD-AD=AB+BD-AD=AB=S(cm),

故选：c.

【点评】本题考查了折叠的性质、三角形周长的计算等知识；熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

3.如图，NAO8=45°,点、M、N分别在射线。A、OB上，MN=6,△OWN的面积为12,P是直线上的动点，

点。关于Q4对称的点为为，点尸关于08对称点为尸2,当点P在直线NM上运动时，△0PP2的面积最小值

为()

C.12D.18

【分析】连接OP，过点0作0H1NM交NM的延长线于H.首先利用三角形的面枳公式求H0H,再证明△

0PP2是等腰直角三角形，0P最小时，△OP1P2的面积最小.

【解答】解：连接OP，过点。作0H_LNM交NM的延长线于凡

*/S^0MN=—•MN*0H=12,MN=6,

2

•1点P关于OA对称的点为Pi，点P关于0B对称点为尸2,

/.ZAOP=ZAOP],/POB=/P?OB,OP=OP\=OP2

•.•N4O8=45°,

：.AP\0Pi=2(NPOA+NPOB)=90°,

•••△OP1P2是等腰直角三角形，

：,OP=OP\最小时，Z\OPi尸2的面积最小，

根据垂线段最短可知，OP的最小值为4,

•••△OPP2的面积的最小值=1X4X4=8,

故选：B.

【点评】本题考行轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OPIP2是等腰直角三角形,

属于中考常考题型.

4.如图，把一张长方形纸片A8C。沿七厂折叠后，点A落在CO边上的点4'处，点3落在点9处，若Nl=115°,

【分析】由邻补角概念和翻折变换性质得出NEFB'=Z1=1I5C,ZEFC=65°,据此知/CF8'=50°,结

合NB=/8'=90°知N2=90°-ZCFB1,从而得出答案.

【解答】解：・・・/1=115°,

:・NEFB'=Z1=115°,ZEFC=65°,

:・NCFB'=50°,

又•：NB=NB'=90°,

AZ2=90o-NCFB'=40°,

故选:A.

【点评】本题主要考查翻折变换的性质，解题的关键是掌握翻折变换的对应边、对应角相等的性质及直角三角形

两锐角互余、对顶角相等的性质.

5.如图，已知点。，E,尸分别在△44C的三边上，将△A8C沿。E,。尸翻折，顶点4,C均落在△ABC内的点O

处，且8。与CO重合于线段OO,若NAEO+NA产。=58°,则/A的度数为（）

A.58°B.59°C.60°D.61°

【分析】连接80、CO,由折叠的性质得BO=CD=O。，则N8OC=90°,NOBC+NOCB=90°,又由折叠的

性质得EO=DB,FO=FC,得出/EBO=NEOB,ZFOC=ZFCO,由三角形外角性质得出2/EBO+2/FCO

=58°,得出/仍。+/尸。。=29°,则乙48。+乙4。8=/班。+/广。。+/08。+/。。8=119°,即可得出结果.

【新答】解：连接80、co,如图所示：

由折叠的性质得：BD=CD=OD,

80c=90°,ZOBC+ZOCB=9()0,

又由折叠的性质得：E0=DB,F0=FC,

：.NEBO=NEOB,ZFOC=NFCO,

V^AEO=2ZEBO,NAF0=2NFC0,NAE0+/A/。=58°,

/.2ZEBO+2ZFCO=58°,

•••NEBO+/"O=29°,

/.ZABC+ZACB=ZEB0+ZFCO^Z0BC+ZOCB=290+90°=119°,

・・・NA=18()°-(ZABC+ZACB)=180°-119°=61°,

故选:D.

【点评】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的的性质、直角三角形的判定、三角形外角性质、三角形内角和定

理等知识；熟练掌握折叠的性质与等腰三角形的性质与解题的关源.

6.如图，在锐角三角形ABC中AB=2,ZBAC=45°,NB4C的平分线交于点D,M、N分别是AD和A8上

的动点，则BM+MN的最小值是（）

A.IB.^2C.2D.VS

【分析】从已知条件结合图形认真思考,通过构造全等三角形，利用三:角形的三边的关系确定线段之和的最小值.

【解答】解：如图，在AC上截取AE=AM连接BE,

,/NBAC的平分线交BC于点D,

在△AME与△AMN中，

AE=AN,4EAM=4NAM,AM=AM,

(SAS),

:.ME=MN.

・••BM+MN=BM+ME^BE,

当BE是点8到直线AC的距离时，BE1AC,此时8M+MN有最小值，

•••AB=2,ZBAC=45°,此时aABE为等腰直角三角形，

:,BE=a,即BE取最小值为亚，

•••BW+MN的最小值是血.

故选：B.

【点评】本题考瓷了釉对称的应用.利用角平分线，构造全等二角形，把8M+MN进行转化AM是解题的关键.

7.如图，在矩形ABC。中，点E在边CO上，将该矩形沿AE折叠，恰好使点。落在边BC上的点尸处，如果/

BAF=60°,求ND4£的大小.

【分析】根据矩形的性质和角的和差关系可求ND4E再根据翻折的性质可得ND4E的度数.

【解答】解：•・•四边形人BCO是矩形，

，N8AC=90°,

.\ZD4F=90°-60°=30°,

由翻折的性质可得/04£=2/以尸=15°.

2

【点评】考查了翻折变换(折叠问题)，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，

位置变化，对应边和对应角相等.

8.如图1和图2,P是直线〃?上一动点，A、B两点在直线机的同侧，且点A、8所在直线与〃?不平行.

(1)当尸点运动到P位置时，距离A点最近，在图1中的直线〃?上画出点Pi的位置；

(2)当P点运动到P2位置时，与A点的距离和与B点距两相等，请在图2中作出P2位置；

(3)在直线〃?上是否存在这样一点P3,使得到A点的距离与到B点的距离之和最小？若存在请在图3中作出

这点，若不存在清说明理由.(要求：不写作法，请保留作图痕迹)

BBB.

------------------------1-w------------------------1—m-----------------------------m

PPp

图1图2图3

【分析】(1)当4PiJ_根时，P1距离点4最近；

(2)作AB的垂直平分线交m于点P2即可；

(3)作点A关于直线小的对称点4',连接A'B交直线〃?于点P3.

【解答】解：(1)过点A作直线小的垂线，垂足为

则Pl即为所求；

B.

P.—P

图1

(2)作线段人4的垂直平分线交直线〃？『P2,

(3)作点A关于直线机对称点A',连接BA'交直线〃［于P3,

【点评】本题考查的是垂线段的性质、线段垂直平分线的性质、轴对称变换，掌握它们的性质和基本尺规作图是

解题的关键.

9.如图，将△ABC分别沿AC翻折得到△A6Q和△4EC,线段8。与交于点P,连接4E

(1)如果NA8C=I6°,N4C8=30°,求ND4E的度数;

(2)如果8DJ_CE,求/CAR的度数.

三

【分析】（1）由折叠的性质可得N2=N1=3O°,N4=N3=16'，由周角的性质和外角性质可求解;

（2）由三角形内角和定理可求解•.

【解答】解：（1）•••△A4C沿AC、A4翻折得到△AEC和△A6Q,

•••△AEC/ZUBC,△A8。g△48C.

/.Z2=Z1=3O°,Z4=Z3=16°,

ZEAC=ZBAD=ZBAC=180°-30°-16°=134°,

*/ZDAC=360°-/BAD-ABAC,

.*.ZDAC=360°734°-134°=92°,

：.^DAE=ZEAC-ZD4C=134°-92°=42°；

(2)VBD1CE,

/.Z5=90°,

：,ZDBC+ZECB=90°.

VZ1=Z2,Z3=Z4,

・・・NOBC+NEC4=2N3+2N1=90°.

；・N3+NI=45°,

在△ABC中，ZCAB=180°-(Z3+Z1)=180°-45°=135°.

【点评】本题考查了翻折变换，三角形的内角和定理，外角性质，灵活运用折叠的性质是本题的关键.

10.如图，AB1BC,ADVDC,ZfiAZ)=100°,在BC、C。上分别找一点M、N,当aAMN周长最小时，求NM4N

的度数是多少？

D

B

【分析】据要使aAMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出4关于和C。

的对称点A',A〃，即可得出入小'M+/4"'=80",进而得出NAMN+N4NM=2(N/U'M+NA〃)，即

可得出答案.

【解答】解：作A关于和C。的对称点A',4",连接4'A,r,交8c于M,交C。于M则4'A〃即为

△AWN的周长最小值.

VZDAB=100°,

工/AA'M+N4”=1800-ZBAD=180°-100°=80°,

-：ZMA'A=ZMAA',ZNAD=ZA>,,且NMA'A-^-ZMAA'=NAMN,ZNAD+ZA>,=NANM,

・・・N4MN+NANM=NMA'A+ZMAA'+NNAD+/A"=2(/A4‘M+NA")=2X80°=160°,

NMAN=180°-160°=20°.

故兰△AMN周长最小时，/MAN的度数是20°.

【点评】本题考查的是轴对称-最拉路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直

平分线的性质等知识，根据已知得出M,N的位置是解题关键.

知识点3简单的轴对称图形

1.一个等腰三角形的顶角是50。，则它的底角是（）

A.100°B.65°C.70°D.75°

【解答】解：•・•三角形为等腰三角形，且顶角为50。，

・•・底角=（180°-50°）4-2=65°.

故选:B.

2.如图，AB//CD,AB=AC,21=40。,则/ACE的度数为（）

【解答】解：丁4。=",

••・NAC8=NI=40°,

\*AB//CD,

AZBCE=1800-ZI=4O0,

ZACE=ZBCE-ZACB=100s,

故选:B.

3.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、8是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC

是以A8为一腰的等腰三角形时，点C的个数是（）

【解答】解：如图，以A〃为等腰△A。。其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.

故选：C.

4.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12c7〃和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（）

A.17cmB.5cmC.5c，〃或17cmD.无法确定

【新答】解：设等腰三角形的腰长是xa〃，底边是“所

x-^x=21

X忖X=12

乙

根据题意，得：或＜

y+yx=21y+yx=12

解得卜=8或卜..

ly=17ly=5

再根据三角形的三边关系知：8,8,17不能组成三角形，应舍去.

所以它的底边K是5cm.

故选：B.

5.如图，在△ABC中，AB=AD=DC,NB=64°,则NC的度数为（）

A.30°B.32°C.40°D.48°

【解答】解：:△AB。中，AB=AD,/8=64°,

/.Z^=ZAD^=64°,

AZADC=180°-ZADB=H60,

*：AD=CD,

AZC=(180°-ZADC)4-2=(180°-116°)4-2=32°,

故选：B.

6.如图，在等腰AABC中，AB=AC.NA=40°,。是AC边上的一点，且4Q=BQ,则NC8O=()

A.30°B.40°C.50°D.60°

【解答】解：'：AB=AC,NA=40°,

，NA4C=NC=7(r,

•；AD=BD,

.••NAM=/A=40”,

・・・NCBD=7(T-40°=30°,

故选：A.

7.如图，△ABC中，AB=AC,腰AB的垂直平分线交A8于点E,交AC于点。，且NOBC=15°,则NA的

度数是（）

【解答】解：・・F8的垂直平分线。石交AC于。,

:・AD=BD,

・•・NA=N4B。，

*：AB=AC,

/.NABC=/C,

ZDBC=\50,

，NA8C=NC=NA+15°,

在△ABC中，/A+NABC+NC=180°,

，NA+NA+15°+NA+15°=180°,

解得NA=50°.

故选:A.

8.如图，在△ABC中，NA=90",ZC=30°,PQ垂直平分3C,与AC交于点P,卜列结论正确的是（)

A.PC<2PAB.PC>2PAC.AI3<2PAD.AI3>2PA

【解答】解：连接BP,

VZA=90°,ZC=30°,

・・・NABC=60°,

・・・PQ垂直平分8C,

：・PB=PC,

AZPBC=ZC=30°,

AZABP=30°,

22

：.PC=2PAf故4、B选项错误；

VZA=90°,

，ABVP8V2M

・•・C正确，。错误；

故选：C.

小AL

9.如图，在△ABC中，ZA=36°,AB=AC,BD平分乙4BC,则图中等腰三角形的个数是（）

A.。个B.1个C.2个D.3个

【解答】解：・・・A8=4C,

・•・△A3。为等腰三角形，

/.ZABC=^C=—(180°-NA)=—(180°-36°)=72°,

22

Y8D平分NA8C,

A^ABD=^CBD=—X72°=36°,

2

/.ZABD=ZA,

•••△A3。为等腰三角形，

•「N8OC=N4+NA8O=72°,

:・NBDC=NC,

•••△BDC为等腰三角形.

故选：。.

10.如图，AB=AC,AE=EC=CD,ZA=60°,若EF=2,则。()

A

尸J

E

BcD

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：如图，过点E作£G_L3C,交BC于点、G

*：AB=AC,ZA=60°

•••△ABC是等边三角形

・・・NAC8=60°

•；EC=CD

・•・ZCED=ZCDE=-ZACB=30°

2

所=30°

...N4产E=90°,即EF^AB

•••△ABC是等边三角形，AE=CE

平分NA8c

:.EG=EF=2

在RiZXOEG中，DE=2EG=4

：.DF=EF+DE=2+4=6

故选；D.

11.如羽，已知△ABC的面积为8,在BC上截取BO=84,作NABC的平分线交AO于点P,连接PC,则ABPC

的面积为（）

【解答】解：•・・8Q=BA,样是NA8C的平分线,

:.AP=PD,

SLBPD=—>S^CPD=­S^CDi

22

:.S^BPC—S&BPD^SdCPD=-SAACD=--SiABC>

222

•••△ABC的面积为8,

:.S^BPC=—X8=4.

2

故选：B.

12.如图，ZVIBC中，AB=AC,OE垂直平分AC,若△BCQ的周长是14,BC=6,则AC的长是()

A.6B.8C.1UD.14

【解答】解：〈DE垂直平分4C，

：.AD=CD.

•.•△3。。的周长是14,BC=6,

：.AB=BD+CD=14-6=8,

•・FB=AC,

・"C=8.

故选：B.

13.如图，在△48C中，NB=90°,4B=6,BC=8,A。为N84C的角平分线，则三角形AQC的面积为（）

【解答】解：作DH_LAC于〃，如图，

在RtZ\A8C中，NB=90°,A8=6,8c=8,

.*.4C=^^2+g2=1(),

•••AD为NB4C的角平分线，

：.DB=DH,

22

/.6(8-DH)=\ODH,解得DH=3,

ASAADC=—X10X3=15.

2

故选：D.

14.如图，NMON=60°,QA平分NMOMP是射线04上的一点，且OP=4,若点。是射线0M上的一个动点,

【解答】解：作尸。'J_OM于Q',

•；/MON=60°,OP平分NMOM

NPOQ'=30°,

,PQ'=—OP=2,

2

由垂线段最短可知，PQ的最小值是2,

15.如弱，△ABC中，BO平分NA8C,CO平分NACB,M,N经过点O,且MN//BC,若AB=5,△AMN的周长

等于12,则AC的长为（）

R

A.7B.6C.5D.4

【解答】解：:BO平分NCSA,CO平分NAC8,

MBO=NOBC,ZOCN=ZOCB,

'：MN〃BC,

：,NMOB=NOBC,NNOC=NOCB,

：.NMBO=NMOB,NNOC=NNCO,

：.MO=MB,NO=NC,

•・FB=5,△AMN的周长等于12,

/./\AMN的周长=AM+MN+AN=A8+AC=5+AC=12,

AAC=7,

故选:4.

16.如图，在AABC中，点。在BC边上，BD=AD=AC,E为C7）的中点.若NCAE=I8°,则为36

【解答】解：・・・AD=4C,点E是CD中点,

：.AE±CD,

AZAEC=90°,

・・.NC=90°-ZCAE=72°,

\'AD=AC,

，NAOC=NC=72°,

•:AD=BD,

.,.2Z77=Z/4DC=72°,

AZB=36°,

故答案为：36°.

17.如图，△ABC中，AB=AC,。是灰?边.匕一点，且8O=A8,AD=CD,则N5AC的度数是一108°

【解答】解：・・・AO=C。,

，设ND4C=NOC4=x0，

，：AB=AC=BD,

AZBDA=ZBDA=ZDAC+ZC=2x0,NB=NC=x°,

，N8AC=3NC=3x°,

VZ^+ZBAC+ZC=180°,

.,.5A=180,

/.ZC=36°,

/.ZBAC=3ZC=108°,

故答案为：108°.

18.如图，在△/13c中，NC=90°,点E是AC上的点，且N1=N2,。£垂直平分A8垂足是。，SMED：S„ABC

=1；3

【解答】解：・・・。£垂直平分4B,

；,AD=BD,

S&ADE=SABDE,

VZ1=Z2,NC=NBDE=90。,BE=BE,

：,4BDE@MCE(AAS),

^•SABDE=S^.BCE,

ASMED：5MBC=I：3,

故答案为：1：3.

19.如图，△ABC中，AB=4cm,BC=AC=5cm,BD,C。分别平分NABC,NAC8,点。到AC的距离是1cm,

则△ABC的面积是7.

【解答】解：如图，作。E_LAB于E,DFLBCfF,DH1AC于H,连接4D,则DH=1,

•:BD,C。分别平分NA8C,ZACB,

：,DF=DH=\,DE=DF=l,

**•S^AHC—SMBD^~SdBCD^S“CD----X4X1+—X5X1+—X5X1-7.

222

故答案为7.

20.如图，在△ABC中，AB=AC,/OBC=28°,BDLAC,则NA=56°.

【解答】解：:坑，是AC边上的商，

AZDBC+ZC=90o,ZD5C=28°.

/.ZC=62°

t：AB=AC,

・・・NA=1800-2ZC=180°-124°=56°,

故答案为：56.

21.如图，在△A8C中，AB=AC,BC=10,4。是NB4C平分线，则BD=5

【解答】解：'：AB=AC,/"AC的平分线交4C边于点。，Z?C=10,

：.BD=CD=—BC=5,

2

故答案为：5.

22.如图，在△48。中，边48的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点。，分别交BC于点。、E,已

知AAOE的周长5cm.

(1)求4c的长；

(2)分别连接。4、OB、OC,若△04C的周长为13c〃?，求04的长.

3/

B--------------A/E-------。

【解答】解：(1)・・・QM是线段48的垂直平分线,

:・DA=DB,

同理，EA=EC,

■:ZSADE的周长5,

：.AD+DE+EA=5,

ABC=DB+DE+EC=AD+DE+EA=5(cw)；

(2);△OBC的周长为13,

：・OB+OC+BC=\3,

•・・8C=5,

•••OB+OC=8,

•••OM垂直平分48,

・・・OA=O8,

同理，OA=OC,

0.4=0I^=0C=4(cm).

A

23.如图，△A8C是等边三角形，延长8c到E,使。.点。是边AC的中点，连接EO并延长EO交A3

2

于尸求证：

(1)EFA.AB-,

(2)DE=2DF.

A

D

BCE

【解答】证明：(1)•••△ABC是等边三角形,

：.AC=BC,ZACB=ZB=60a,

•・•。为AC的中点，

：.AD=CD=—AC,

2

-：CE=—BC,

2

，CD=CE,

VZE+ZCDE=ZACB=60°,

••・NE=NCOE=3()0,

VZB=60°,

.•.ZEFfi=180°-60°-30°=90°,

即EF1.AB；

(2)连接4。,

「△ABC是等边三角形,

:・AB=BC,NABC=6(T，

•・・。为AC的中点,

・・・N。8c=/48。=/乙48。=30。，

VZ£=30°,

:・/DBC=NE,

:・DE=BD,

•••/BFE=90°,ZABD=30°,

:.BD=2DF,

即DE=2DF.

24.已知，ZVIBC是等边三角形，。、E、尸分别是A8、BC.AC上一点，且NOE尸=60°.

(1)如图1,若Nl=50°,求N2；

(2)如图2,连接OF,若/1=/3,求证：DF//BC.

/.ZB=ZA=ZC=60c,

VZZ?+Zl+ZD£B=180°,

NDEB+NDEF+N2=180°,

VZDEF=60°,

；・N1+NDEB=N2+NDEB,

.•.Z2=Zl=50°；

(2JVZB