第04讲空间向量的应用（解析版）

第4讲空间向量的应用

【知识点梳理】

知识点一：直线的方向向量和平面的法向量

1.直线的方向向量：

点A是直线/上的一个点，a是直线/的方向向量，在直线/上取=取定空间中的任意一点0,

则点P在直线/上的充要条件是存在实数f,使。尸=04+S或OP=Q4+tAB,这就是空间直线的向量表达

式.

知识点诠释：

（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向

量.

（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标

运算.

2.平面的法向量定义：

直线取直线/的方向向量a,我们称向量d为平面a的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过

点4,且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合｛P|a-AP=。｝.

知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条

相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.

3.平面的法向量确定通常有两种方法：

（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；

（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：

（/）设出平面的法向量为〃=（%>,z）；

（〃■）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（%,如q）,h=（a2,b2,c2）；

n-a=0

1nb=0

（；v）解方程组，取其中的一个解，即得法向量.由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组

的解中取一个最简单的作为平面的法向量.

知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行.

(1)线线平行

设直线4,4的方向向量分别是4,6，则要证明/]/〃2，只需证明"//，即a=k〃(&wR).

(2)线面平行

线面平行的判定方法一般有三种：

①设直线/的方向向量是“，平面a的向量是“，则要证明〃/0，只需证明即“z=0.

②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线

的方向向量是共线向量.

③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平

面内两个不共线向量线性表示即可.

(3)面面平行

①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.

②若能求出平面a,的法向量〃,v,则要证明a//尸，只需证明“〃u.

知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系

空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直.

(1)线线垂直

设直线44的方向向量分别为a,6,则要证明只需证明a_LZ?,即。力=0.

(2)线面垂直

①设直线/的方向向量是a,平面a的向量是〃，则要证明/_La,只需证明。〃

②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.

(3)面面垂直

①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直.

②证明两个平面的法向量互相垂直.

知识点四、用向量方法求空间角

(1)求异面直线所成的角

已知小6为两异面直线，A,C与B,。分别是a,b上的任意两点，a,6所成的角为6,

则cos”"对.

\AC\-\BD\

知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为(0°,90°].两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向

量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的

角.

(2)求直线和平面所成的角

设直线/的方向向量为a,平面a的法向量为“，直线与平面所成的角为6,a与〃的角为6，

则有sin，=|cos(p|=""I.

(3)求二面角

如图，若R4_La于A,PB_L4于8,平面P4B交/于£,则NAE8为二面角口一/一分的平面角，

ZAEB+ZAPS=180°.

若%,%分别为面a,4的法向量，cos(n,,〃2)=

m•㈣

则二面角的平面角44所=(四,々)或万—(勺,均)，

即二面角。等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角.

①当法向量为与%的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角。的大小等于的夹角(4,吗)

的大小.

②当法向量4,%的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角。的大小等于4,叼的夹角的补角

的大小.

知识点五、用向量方法求空间距离

1.求点面距的一般步骤：

①求出该平面的一个法向量；

②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.

\AB-n\

即：点A到平面a的距离d=,其中Bea,"是平面a的法向量.

\n\

2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解.

\AB-n\

直线。与平面a之间的距离：------.其中〃是平面a的法向量.

1«1

\AB-n\

两平行平面a,6之间的距离：d=J----------1,其中〃是平面a的法向量.

hl

3.点线距

设直线/的单位方向向量为“，Ael>P史I，设AP=a，则点尸到直线/的距离d=也?_〃y.

【典型例题】

题型一：平面的法向量判断及求法

【例1】（2022.全国•高二课时练习）在直三棱柱A8C-AMG中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是（）

A.ABB.AGC.BC'D.AA]

【答案】D

【分析】作出图像，根据直棱柱侧棱垂直于底面即可求解.

【详解】如图，

：CG、AA、8片均垂直于平面43C,故选项D中例可以作为平面A2C的法向量.

故选：D.

【例2】（2021•全国•高二课时练习）如图，四棱柱ABC£>-A8Ca的底面ABC。是正方形，。为底面中心，

A。，平面ABCD,AB=A4,=>/2.平面。的法向量”=（x,y,z）为（）

A.（0,1,1）B.（1,-1,l）C.（1,0-1）D.（-1-1,1）

【答案】C

【分析】根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解.

（详解】ABCD是正方形，旦AB=C，

AO=OC=1,

。4=1,

;.A（0,—1,0）,3（1,0,0）,C（0,l,0）,A（0,0,1）,

AB=（1,1,0）,OC=（0,1,0）,

又=AB=（l,l,0）,

.•田(1,1,1),。耳=(1,1,1),

,平面OCB]的法向量为。=(x,y,z),

fy=O

则《八，得y=o,九=-2,

[x+y+z=O

结合选项，可得〃=(1,0,-1),

故选：C.

【例3】(2022•江苏•高二课时练习)如图，在正方体ABCO-AAG。中，以。为原点建立空间直角坐标系，

E为的中点，F为AA的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是().

A.(1,-2,4)B.(T,1,-2)

C.(2,-2,1)D.(1,2,-2)

【答案】B

【解析】

【分析】

设正方体的棱长为2,依次求出各点坐标，设向量"=(x,y,z)是平面曲的法向量，根据法向量的定义，逐

一验证各选项即可求出答案.

【详解】

解：设正方体的棱长为2,则4(2,0,0),体2,2,1),F(l,0,2),

二AE=(0,2,1),4尸=(-1,0,2),

设向量"=(x,y,z)是平面AEF的法向量，

则/-AE-2)+z—0,取丫=],得z=_2,x=_4,

n•AF=—x+2z=0,

则〃=(-4,1,-2)是平面⑷EE的一个法向量,

结合其他选项，只需和“=(-4,1,-2)共线即可，

检验可知，ACD选项均不与n=(-4,1,-2)共线.

所以能作为平曲/EF的法向量只有选项B

故选：B.

【例4】(2022•全国•高二课时练习)如图，在空间直角坐标系中，有正方体ABCD-A'B'C'。'，给出下列结

论：

①直线DD的一个方向向量为V1=(0,0,1)；

②直线BC的一个方向向量为为=(0,1,1)；

③平面ABB'A的一个法向量为“=((),1,0)；

④平面B'CD的一个法向量为n,=(1,1,1).

其中正确的个数为().

A.IB.2C.3D.4

【答案】A

【分析】由直线的方向向量及平面的法向量的定义即可求解.

【详解】解：设正方体抽CD-A'&C'D'的边长为1,则。(0,0,0),)(0,0,1),B(洋解),C(0,1,1),"(1,解),

C(0,l,0),

对①：因为。。=(0,0,1),所以直线。。'的个方向向量为M=(0,0,1)正确：

对②：因为BC'=(-1,0,1),所以直线3C'的一个方向向量为匕=(。，1』)不正确；

对③：因为。A_L平面ABB’A,又。4=(1,0,0),所以平面AB3W的一个法向量为4=(0,1,0)不正确；

对④：因为%=(1,1,1),=DC=(0,1,0),々W=l+l+l=3w0,%OC=0+1+0=1*。，

所以平面B'CD的个法向量为〃2=(1,1,1)不正确.

故选：A.

【例5】(2022•全国•高二课时练习)放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体A8CQ中，”是底面中

心，£>""!_平面ABC,写出：

(1)直线8c的一个方向向量__________；

(2)点。。的一个方向向量___________；

(3)平面的一个法向量__________；

(4)△08C的重心坐标.

【答案】卬则卜,当雷|(i,Go)但，竽，溶

k5)I*5/7

【分析】先求出正四面体中各边的长度，得到各个点的坐标.

对于（1）（2）：直接求出方向向量：

对于（3）：根据法向量的定义列方程组，即可求得;

对于（4）：利用重心坐标公式直接求得.

【详解】由题意可得：OA=OB=l.0C=-x2=y/3.0H=-0C=-.

233

J。,里亚〕

由图示,可得：0(0,0,0),A(-l,0,0),5(1,0,0),，0,洋0

（1）直线的一个方向向量为sc=hi,G,o）,

（C2病）

（2）点。。的一个方向向量为。。=°，事，3-

（3）0。弋.设”=（x,y,z）为平面BHO的一个法向量,

n-HD=—z=0

3,不妨设x=l,贝iJ〃=(l,6,0).

则r

几•BH=-x+——y=0

3

故平面8HO的一个法向量为（1,6,0）.

C(0,6,0),H0,牛,0

(4)因为3(1,0,0)44由

J迪2⑥

所以△O3C的用心坐标为

5丁'丁J

；⑵,率明:⑶

故答案为：（1）

【题型专练】

1.（2022・江苏•高二课时练习）过空间三点A（1,1,0）,C（OJl）的平面的一个法向量是（）

A.(1,1,1)B.(1,1,-1)C.(1.0,1)D.(-1,0,1)

【答案】A

【解析】

【分析】

设出平面的法向量为a=（x,y,z）,利用垂直关系，布列方程组，即可得到结果.

【详解】

AB=（O,-l,l）,AC=（-1,0,1）.

设平面的法向量为a=（x,y,z）.

由题意知夕AB=0，a-AC=0，

一f-y+z=0,,（x=z

所以八，解得，

[-X+Z=0[y=z

令z=l,得平面的一个法向量是（1,1,1）.

故选：A

2.（2022•全国•高二课时练习）已知三点4（2,3,1）、3（4,1,2）、C（6,3,7）,则平面ABC的法向量可以是

.（写出一个即可）

【答案】（3,2,—2）（答案不唯一）

【分析】设平面ABC的法向量为"=（x,y,z）,则有然后赋值即可得出答案.

fl,AC—U

【详解】解：AB=(2,-2,1),AC=(4,0,6),

设平面ABC的法向量为n=（x,>1,z）,

「一\n-AB=2x-2y+z=0

则有〈/令x=3,贝ijz=-2,y=2,

〃AC=4x+6z=0

所以〃=(3,2,—2),

所以平面ABC的法向量可以是（3,2,-2）.

故答案为：（3,2,-2）（答案不唯一）.

3.（2022.全国•高二课时练习）已知三点4（2,31）、8（4,1,2）、C（6,3,7）,则平面A8C的法向量可以是

.（写出一个即可）

【答案】（3,2,-2）（答案不唯-）

【解析】

【分析】

设平面ABC的法向量为〃=（x,y,z）,则有AC^O,然后赋值即可得出答案.

【详解】

解：AB=（2,-2,l）,AC=（4,0,6）,

设平面ABC的法向量为n=（x,y,z）,

则有<「c>令x=3,则z=-2,y=2,

n-AC=4x+6z=0

所以”=（3,2,-2）,

所以平面ABC的法向量可以是（3,2,-2）.

故答案为：（3,2,-2）（答案不唯一）.

4.（2022•全国•高二单元测试）若点A（2,3,0）,8（-1,0,2）,C（0,l,l）,则平面ABC的一个法向量〃=.

【答案】（1,-1,0）

【分析】根据题意求得向量AB=（-3,-3,2）,AC=（-2,-2,l）,结合法向量的求法，即可求解.

【详解】由题意，点点A（2,3,0）,5（-1,0,2）,C（0,l,l）,

可得向量48=（-3,-3,2）,AC=（-2,-2,1）,

,.,一、，…n-AB=-3x-3y+2z=0

设平面ABC的法|向量为〃=（x,y,z）,可得〈•，

n-AC=-2x-2y+z=0

取x=l,可得y=-l,z=O,所以平面ABC的一个法向量为〃=（1,-1,0）.

故答案为：（L-1,0）.

5.（2022・湖南•高二课时练习）如图，在长方体中，AB=2,AD=6,M=3,建立适当

的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：

⑴平面ABC。；

（2）平面ACCM；

(3)平面ACC1.

【答案】(l)OD,=(0,0,3)

⑵切=(1,3,0)

⑶"=(1,3,2)

【解析】

【分析】

以。为原点，。4。，。。所在的直线分别为苍丫*轴，建立空间直角坐标系，

(1)由于。。，平面ABCD,所以0%为平面ABCD的一个法向量，

(2)设平面ACGA的法向量为机=(x,y,z),则=从而可求出法向量,

m-AA^=3z=0

(3)设平面AC"的法向量为〃=(a,b,c),贝ij""C=-6"+y=°从而可求出法向量

[n-ADt=-6a+3c=0

(1)

以。为原点，所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间宜角坐标系，

则。(0,0,0),A(6,0,0),C(0,2,0),0.(0,0,3),A,(6,0,3),C.(0,2,3),

所以DD।=(0,0,3),

因为。A_L平面ABC。，所以。A为平面ABCD的•个法向量，

所以平面ABCD的一个法向量为DD；=(0,0,3),

(2)

设平面ACCA的法向量为帆=(x,y,z),

因为AC=(-6,2,0),A4।=(0,0,3),

m-AC=-6x+2y=0

所以令x=I贝iJ〃z=(l,3,0),

m-AA^=3z=0

所以平面ACGA的一个法向量为机=(1,3,0),

(3)

设平面AC。的法向量为"=(“/'c),

因为AC=(-6,2,0),AD]=(V0,3),

n-AC=-6a+2h=0

所以令4=1,则”=(1,3,2)

n•AD}=-6a+3c=0

所以平面AC"的一个法向量为〃=（1,3,2）

题型二：利用空间向量研究平行垂直问题

【例1】（2022•全国•高二课时练习）已知直线/的方向向量为“，平面口的一个法向量为"，若则（）

A.”.〃=0B.d=nC.d*nD.d//n

【答案】D

【分析】结合平面法向量的概念及即可得到答案.

【详解】由题意，直线/的方向向量为“，平面。的一个法向量为〃，

因为/_L<z,可得

故选：D.

【例2】（2022•江苏•徐州市王杰中学高二阶段练习）已知平面口的法向量为（4,3,-7）,若直线/_L平面a,

则直线的方向向量可以为（）.

A.（8,6,4）B.（-8,-6,14）

【答案】B

【解析】

【分析】

结合空间向量平行关系即可求解.

【详解】

因为平面a的法向量为“=（4,3,-7）,又因为直线以平面口,所以直线/的方向向量平行于〃=（4,3,-7）,四

个选项中，（-8,-6,14）=-2（4,3,-7）,故B选项符合题意.

故选：B

【例3】（2022.广东.广州奥林匹克中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱AB8-ABCQ中，O是底面A8C。

的中心，瓦尸分别是8片,。。的中点，则下列结论正确的是。

A.AO//EFB.AtOlEFC.A0〃平面EFgD.平面后尸与

【答案】B

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.

【详解】

在正四棱柱4BCO-AAG9中，以点力为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

令==2伙〃>0/>0),。是底面ABCD的中心，E,尸分别是2旦,£>"的中点，

则0(。,40)，4(2。,0,2圾后(2。,2。,力闰(2。,2。,2力,/(0,0,力,=(a,—a,2b),FE=(2a,2a,0),EB、=(0,0,力，

对于A,显然。A与FE不共线，即A。与瓦'不平行，A不正确；

对于B,因04,•尸E=a•勿+(-a>2a+0-2b=0,则图,所，即4。，后尸，B正确；

对于C,设平面"用的法向量为〃=(x,y,z),则4"一°,令x=l,得N=(1,-1,0),

n-EBX=bz=(J

OA]n=2a>0,因此。可与“不垂直，即A。不平行于平面后尸与，C不正确；

对于D,由选项C知，侬与”不共线，即A。不垂直于平面D不正确.

故选：B

【例4】(2022•全国•高三专题练习(文))在正方体ABCO-ABCQ中，E,F分别为AB,BC的中点，则()

A.平面4EF_L平面8CRB.平面B|EF_L平面4台。

C.平面B|EF//平面AACD.平面4所〃平面AG。

【答案】A

【解析】

【分析】

证明£F_L平面B。。，即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设A5=2,分别求出平

面用EF,A}BD,4G。的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.

【详解】

解：在正方体ABCD-A用6％中，

AC_L8。且。％±平面ABCD,

又印u平面ABCD,所以EFJ.，

因为E,尸分别为A8/C的中点，

所以EFAC,所以EELBD,

又BDDD,=D,

所以EF_L平面8。。,

又即u平面与EF,

所以平面B]EFL平面BDD、,故A正确；

如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设45=2,

则4(2,2,2),E(2』,0),F(l,2,0),8(2,2,0)，A(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),

C(0,2,2),

则防=(-1,1,0),印=(0,1,2),加=(2,2,0),弘=(2,0,2),

设平面B.EF的法向量为帆=(x「x，zj,

m-EF=-X[+x=0

则有,可取加=(2,2,-1),

m-EB、=%+2Z]=0

同理可得平面ABC的法向量为4=(1,-1,T),

平面A.AC的法向量为%=(1,1,0),

平面4G。的法向量为4=(1,1,-1),

所以平面B£F与平面42。不垂直，故B错误:

LU

因为根与叫不平行，

所以平面B.EF与平面A.AC不平行，故C错误;

因为加与公不平行，

所以平面片EF与平面ACQ不平行，故D错误，

故选：A.

【例5】(2022.福建宁德.高二期中)如图，在四棱锥P-A8CD中，底面43co为直角梯形，其中A£>〃8C.

AOJLAB,A£>=3,AB=BC=2,PAL平面ABC。，且E4=3,点M在棱尸。上，点N为2c中点.

若DM=2MP,证明：直线MN〃平面以8：

【答案】证明见解析

如图所示，以点A为坐标原点，以A8为x轴，为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0,3),3(2,0,0),0(0,3,0),C(2,2,0),N(2,1,0)

若ZW=2MP，则M(0,l,2),MN=(2,0,-2)

因为PA_L平面ABC。，所以AQ_LF4

又因为AO_L=4

所以ADL平面以B

平面用B的其中一个法向量为4。=(0,3,0)

所以MN-AO=0，即A£)_L肱V

又因为MNO平面的

所以MV〃平面A48

【例6】(2022•全国•高二课时练习)在正方体A8CO-A4CQ中，点E,F分别是正方形人用6。和正方形

瓦GCB的中心.求证:

(1)4GJ•平面AB。；

(2)£///平面48。；

(3)平面耳EF〃平面A80.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)建立空间直角坐标系，利用向量法证得AC,1平面A.BD；

(2)利用向量法证得EF〃平面AB。：

(3)利用向量法证得平面B、EF//平面AtBD.

⑴

设正方体的边长为2,建立如图所示空间直角坐标系，

C,（2,2,2）,A（0,0,2）,e（2,0,0）,0（0,2,0）,

”=（2,0,-2）,40=（0,2,-2）,

•A^B=09AC}'AyD=0,

所以

由于4504。=A，所以AGL平面

（2）

设平面A的法向量为々=（而y,zJ,

,fH.•AB=2x,-2z.=0一「.、「/、

则{Jcc，故可设〃1=（1,1,1）.

[勺•4。=2y-2Z]=0

E（l,l,2）,F（2,l,l）,£F=（l,0,-l）,

ntEF=0,任平面A8£）,

所以EF〃平面ABD.

（3）

4（2,0,2）,3/=（0,1,7）,

设平面旦EF的法向量为均=,Z2），

则仁北故可设…（川）.

[…/=%-2=0-'7

”1=%，

显然，平面片EF与平面A3。不重合，所以平面4环〃平面48。.

【题型专练】

1.（2022・宁夏•石嘴山市第一中学高二期末（理））平面a的法向量为5=（2,-2,2）,平面q的法向量为

v=（l,2,l）,则下列命题正确的是（）

A.a,夕平行B.a,夕垂直

C.a,夕重合D.a,A相交不垂直

【答案】B

【解析】

【分析】

根据：.；=()可判断两平面垂直.

【详解】

因为E；=2xl+(-2)x2+2xl=0,所以所以a,夕垂直.

故选：B.

2.(2022•四川成都•高二期中(理))若直线/的方向向量a=(l,0,1),平面尸的法向量〃则()

A.lu0B.〃/4D./u尸或/〃夕

【答案】D

【解析】

【分析】

根据小〃=0可得结果.

【详解】

因为。=1—1=0,

所以。_L”，

所以/u/或〃//.

故选：D

3.(2022・湖南•高三阶段练习)若直线/的方向向量〃z=(x,-1,2),平面a的法向量〃=(-2,-2,4),且直线/_£

平面a,则实数x的值是.

【答案】-1

【解析】

【分析】

利用法向量的定义和向量共线的定理即可.

【详解】

直线/的方向向量〃?=(x,T,2),平面a的法向量〃=(-2,-2,4),直线/，平面”，

必有机//〃>即向量m与向量〃共线，

m=An>"*•-4；=—，解得x=-l；

-2-22

故答案为：-1.

4.(2022.陕西.武功县普集高级中学高二期末(理))设〃=(-2,21)/=(6,-4,5)分别是平面。,夕的法向量,

若C尸，则实数f的值是.

【答案】4

【解析】

根据〃=(-2,2,力­=(6,-4,5)分别是平面。,力的法向量，且&，6，则有“Ip求解.

【详解】

因为“=(-2,2/),v=(6,-4,5)分别是平面a,6的法向量，且

所以"JLv

所以-2x6+2*(T)+tx5=0

解得f=4

故答案为：4

【点睛】

本题主要考查空间向量垂直，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

5.(2022•全国•高二课时练习)如图所示，正方体48CD-A蜴CQ的棱长为。，M、N分别为4B和AC上

的点，A、M=AN=^a,则MN与平面BBCC的位置关系是.

【答案】平行

【解析】

【分析】

以G为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得MN的方向向量和平面BBCC的法向量，由

向量法即可判断.

【详解】

因为ABC。-AAGA是正方体，且棱长为a，

故以G为坐标原点建立空间直角坐标系，如下所示：

则G(O,O,O),C(O,OM),AA(aMM),5(a,0,a),

22(22、

由题可知CN=彳C4=3(a,a,O)=(§4,§a,oJ,设点N坐标为(x，y,zj,

（2212222

则（与，"-4）=[9,9,0“故可得％=铲,％=铲，4=。即N—a,—

33

22(22i

BM=-B\=-(O,a,-a)=l0,y(7,—I,设点M坐标为(超,见0)，

(22、21(21

则(超_a,%,22—4)=|。，,氏—大々,故可得&=4,%=.a，z=.a，g|JMa,-a,-a

故MN所在的方向向量为MN=0,1a),

乂平面BBgC的一个法向量”=（0,1,0）,

故MN-n=。，故直线MN〃面BB£C.

故答案为：平行.

6.（2022・全国•高二课时练习）已知正方体ABCO-A4CQ中，棱长为2a,M是棱。R的中点.求证：。用〃

平面AMG.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

以点。为原点,分别以D4、DC与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求出面AMG

的一个法向量和直线的方向向量，根据直线与平面平行的定义即可证明.

【详解】

以点D为原点，分别以D4、OC与。R的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.则0（0,0,0）、

A（2a,0,0）、C（0,2a,0）xB（2a,2a,0）x〃（0,0,2a）、耳（为,0,为）、C；（0,功,2a）、Bt（2a,2a,2a）,M是棱。。的

中点得M（0,0,a）,DB[=（2a,2a，勿）.设面A〃G的一个法向量为〃=（x,y,z）,M4,=（2«,0,a）,

,、n-MA.=0,（2ax+az=0,,,,,.

Mg=（0,2a,〃），则"{八=<c八令y=1,则”=（l,l,-2）.又w=0n£>g_L〃，因为。4（z

n-MCt=0,[2ay+az=0,''

平面AMG，所以。与〃平面AMC-

7.（2022・全国•高二课时练习）如图，正方体4BC£>-AB|GQ中，M.N分别为A3、用。的中点.

（1）用向量法证明平面ABDH平面片C。；

（2）用向量法证明MN_L平面48。.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）利用向量法可得两平面的法向量，再根据法向量互相平行证明面面平行;

（2）利用向量法证明平面ABD的法向量与平行，即可得证.

（1）

如图建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2,

则A（2,0,2）,3（2,2,0）,四（2,2,2）,C（0,2,0）,£＞（0,0,0）,2（002）,

uuu

故图=（2,0,2）,03=（220）,4c=（-2,0,-2）,B]Dt=（-2,-2,0）,

注平面/\B。为法向旧%=（..\二）

•??)=o2玉+2Zj=0

则,令％=1,则勺=(1,一1,-1),

DBn.=02x}+2y=0

设平面BCD的法向量叼=（z,%，Z2），

8。•%=0piJf-2x2-2z2=0

,令*2=1，则々=（L-1，T），

，

BI£>I»2=0'[-2x2-2y2=0

所以4=%,即4〃%,

故平面ABQ〃平面BCD；

（2）

山M，N是线段A8,BC中点,

则M（2,l,0）,N（l,2,l）,

所以MN=(—1,1,1),

则MN//nt,

所以MZVL平面A3,

8.(2022•全国•高二课时练习)如图，已知长方体ABCO-ABC4中，AD=AB=2DDt,判断满足下列条

件的点M,N是否存在：MwAD「NwBD,MN工AD「MN工BD.

【答案】存在点M,N满足MeAR,NeBD,MN1AD「MN1BD

【解析】

【分析】

建立直角坐标系利用空间向量垂直的求解方法进行求证.

【详解】

解：假设存在满足条件.在长方体中以D为原点，分别以D4,OC,r>2所在的直线为x轴，y轴，z轴,

建立空间直角坐标系.

不妨设DDX=],AM=x,DN=y则AD=AB=2DD、=2

在中，

...2x\J5V5|yy/2y-72

--.0,—J,N(券,胃,0)

又Dt(0,0,1),A(2,0,0),0(0,0,0),B(2,2,0)

375

x=---

解得：*

lJ=T

即存在点M,N满足MeA。,NeBD,MN±ADrMNA.BD

9.(2022•浙江•高三专题练习)如图所示，在长方体4BCD-ASG。中，4)=1,AB=AAt=2,N、M分

别A8、G。的中点.

(1)求证：〃平面AA。。；

(2)求证：MWJ_平面48幽.

【答案】(I)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)以点D为坐标原点，DA.DC,所在有线分别为x、V、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向

量法可证得结论成立；

(2)求出平面A田M的一个法向量，利用空间向量法可证得结论成立.

【详解】

(1)以点。为坐标原点，DA.DC、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则A(1,O,O)、M(0,1,1),皿(1,1,0)、4(122)、A(1，0,2),

=(-1,0,1),易知平面AADD,的一个法向量为4=(0,1,0),

NM/n=-lx0+0xl+lx0=0»则

NM0平面4AOR,故NMH平面AIADDI.

(2)设平面A|B|M的法向量为”=(x,y,z),A^B}=(0,2,0),,

"44=02y=0

由，取x=—1,可得〃=(一1,0,1),

n-=0-x+y-z=0

所以，NM=n，故20_1_平面48陷.

10.(2022.全国•高三专题练习)已知正方体ABC。-48/G。中，E为棱CC/上的动点.

(1)求证：AiE±BD；

(2)若平面平面E8。，试确定E点的位置.

【答案】(1)证明见解析；(2)E为CC/的中点.

【解析】

【分析】

以。为原点，DA.DC.DDi/)x,y,z轴，建立空间直角坐标系.

(1)计算泰•访=0即可证明；

(2)求出面48。与面EBO的法向量，根据法向量垂直计算即可.

【详解】

以。为坐标原点，以D4,DC,DC/所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图,

设正方体的棱长为。，则&“，0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Ai(a,0,a),C/(0,a,a).

设E(0,a,e)(0<e<a).

(1)AtE—a，e-a),访=(一"，-a，0)，

A,E-BD=^一〃~+(e—〃)0=0,

•*-A%J_防,即A/ELBD；

（2）设平面A/3Q,平面后3。的法向量分别为片=g>7,z/）,3=（必然，Z2）.

DB=（。，a，0）,DAi=（〃，0»〃），£）£1=（°，出，）

•••%•DB=0，4•£）A=0，n2-DB=0，几「DE-0•

.（@+町=0,{ax2+ay2=0,

[oTj+叼=0,\ciy2+ez2=0.

取X/=X2=1,得\=（1，—1.—1）>，=（1，—1.—）.

由平面A/8D_L平面E8O得1_L[.

.*.2——=0,即e=3.

e2

...当E为C。的中点时，平面平面EBD.

题型三：异面直线所成的角

【例1】（2022•河南•商丘市第一高级中学高一阶段练习）在正方体ABCO-ABCA中，E,尸分别为棱A。，

A£的中点，则异面直线EF与AA所成角的余弦值为（）.

A.正B.@C.—D.显

6323

【答案】A

【分析】利用坐标法即得.

【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,

则E（1,0,0）,F（2,1,2）M（2,0,0）,DI（0,0,2）,

A£F=（l,l,2）MZ>1=（-2,0,2）,

/s,n\EF•A/2y/3

即异面直线EF与A。所成角的余弦值为立.

6

故选:A.

【例2】（2022全国・高二单元测试）在正方体488-486口中，若M是棱。Q的中点，点。为底面ABCD

的中心，P为棱A4上任意一点，则异面直线。P与AM所成角的大小为（）

A.:B.yC.yD.与P点位置无关

【答案】c

【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解.

如图，以D4,OC,。。为X,y,z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,则

A(2,0,0),"(0,0,1),0(1,1,0),设P(2,〃?,2),

AM=(-2,0,l),OP=(l,/n-l,2),

AAMOP=-2xl+Ox(w-l)+lx2=(),AAMLOP即AW_LOP.

•••直线OP与直线AM所成的角为］.

故选：C.

【点睛】关键点睛：解题关键是建立空间直角坐标系，用空间向量法求解.

【例3】(2022.四川省成都市新都一中高二期中(理))将正方形ABCD沿对角线8。折起，使得平面

平面CE),则异面直线A8与CO所成角的余弦值为()

A.；B.—C.--D.--

2222

【答案】A

【解析】

【分析】

根据空间直角坐标系，根据向量的夹角的余弦值来确定异面直线的夹角.

【详解】

取8。中点为O,连接AO,CO,所以AO_LBO,COJ_B。，

又面43£>_L面CBD且交线为8£>,AOu面ABQ,

所以4?_1面。3£）,OCu面C3D,则AO_LCO.

设正方形的对角线长度为2,

如图所示,建立空间直角坐标系,A（0,0,1）,B（l,0,0）,C（0,1,0）,£>（-1,0,0）,

所以M=（l,0,T）,CD=（TT,0）,cos<AB,CD<=^g=?=±/==-l-

所以异面直线AB与cr>所成角的余弦值为3.

故选:A

【例4】（2022•吉林长春•模拟预测（理））在矩形A2C。中，。为8。中点且,将平面AB。沿对角

线BO翻折至二面角A-8O-C为90。，则直线AO与C£>所成角余弦值为（）

A—B.手

「3亚「40

L•LJ•-----

2525

【答案】C

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AO与CD所成角余弦值.

【详解】

在平面ABQ中过A作AE_LB/D,垂足为E；

在平面C3D中过C作垂足为

由于平面平面BC£>,且交线为80,

所以A£1,平面BCD,CF_L平面

设AB=1,AD=2,

11njo

-xBDxAE=-xABxAD^AE=-,OE=y]OA2-AE2=—,

r一26

以。为原点，建立如图所示空间直角坐标系,

7

设A。与CD所成角为0,

3

20_3\/5

则cos"i~~~i

104n1c451-25-

-X—

：2

故选：C

【例5】(2021•全国•高二课时练习)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，△2£>是以AD为斜边的等腰

直角三角形，AB_L平面必。，E是线段P。上的动点(不含端点)，若线段AB上存在点F(不含端点)，使

得异面直线以和E尸所成的角的大小为30。，则线段A厂长的取值范围是()

【答案】B

【分析】取AD的中点G,先证明PG,平面ABC。，以G4GP分别为x轴，z轴，过点G作AB的平行线为

V轴，建立空间直角坐标系，用未知量设点区F,注意范围，利用异面直线PA与EF成角构建关系，解出

范围即可.

【详解】取4。的中点G,由是以A。为斜边的等腰直角三角形，则PGJ_AP

乂平面附。，PGu平面物力，则PG_LAS,

又ABcAO=A,所以PGJ■平面A8CD

以GAGP分别为x轴，z轴，过点G作AB的平行线为V轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则G(0,0,0),A(1,0,0),0(-1,0,0),5(1,2,0),尸(0,0,1),

设尸(l,y,0),0<y<2,DE=xDP=(x,0,x),0<x<l,

则E(x-l,0,x),EF=(2-x,y,-x),又PA=(1,0,—1),

异面直线PA和仃■所成的角的大小为30。，则照•闭=伊小|印CO。，

即2=V5xJ(2-xy+y2+(-x)2x立,即y2=_2(x-iy+：,0<x<l,

23

则0,|y0<y<2,所以o<y〈曰，又A尸=(0,y,0),

则线段A尸长的取值范围是(o,当).

故选:B

【题型专练】

1.(2022•江苏冻台创新高级中学高二阶段练习)如图，在棱长为1的正方体ABC£)-A8Ca中，M,N分

别为和8片的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为()

A,正B.巫C.%2

21055

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解.

【详解】建立如图所示空间直角坐标系：

所以4M=

1

2-2

-=-

所以8sMe小两问55

4-

故选：D

2.(2021•内蒙古•赤峰二中高二阶段练习(理))在直三棱柱48C-A4G中，CA=CB=CC、,AC±BC,E,F

分别是AG，4G的中点，则直线AE与CF所成角的余弦值