等比数列（复习讲义）-2024届高三数学一轮复习

等比数列

一、知识点击

1.等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么

这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达

式为宁―❶

⑵等比中项：如果。，G,〃成等比数列，那么G叫做a与僻等比中项.即G是。与〃的等比

中项＜=»,G,/?成等比数列=G?=ab.

2.等比数列的有关公式

⑴通项公式：4尸改3春..

(2)通项公式的推广：%=，〃后N*).

⑶前〃项和公式：

na\(q=l)

S*=<

”项和公式

3.等比数列通项的性质

(1)若/〃+〃=〃+q=2k(m,〃，p,q,N"),则%5二即为二战

(2)若｛斯｝,｛d｝(项数相同)是等比数列，则｛痴〃必0)，岗，｛硝，M仇｝,微仍是等

比数列.

(3)在等比数列｛小｝中,等距离取出若干项也构成一个等比数列，即0n,an+kln

+3人,…为等比数列，公比为心

(4)｛斯｝为等比数列，若s……，则",翁…成等比数列.

4.等比数列前n项和的性质

若Sn表示数列｛an｝的前n项和，且Sn=Aqn-A（Aq±O,q^±l）,则数列0｝是箜比数列.

二、典例分析

模块一等比数列的基础

例L（1）已知等比数列｛an）满足4=3,4+%+6=21,贝!Jq+%+%=（）

A.21B.42C.63D.84

【分析】由已知，4=3,q+6+6=21,利用等比数列的通项公式可求夕，然后在代入

等比数列通项公式即可求.

【解答】解：4=3,+a3+a5=2\,

4（1+T+/）=21,

：.q4+q2+\=1,

+q2-6=0,

*'-=2,

%十%十%=十q4十＜76）=3k（2十4十8）=42.

故选：8.

【点评】本题主要考蛰了等比数列通项公式的应用，属于基础试题.

（2）古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问

日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布

5尺间这女子每天分别织布多少？〃根据上述已知条件若要使织布的总尺数不少于30尺，

则至少需要（）

A.7B.8C.9D.10

【分析】由等比数列前〃项和公式求出这女子每天分别织布二尺，由此利用等比数列前，，项

31

和公式能求出要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天.

【解答】解：设该女五第一天织布X尺，

则哼争二5,

1-2

解得％=3,

31

，前〃天织布的尺数为：捺(2"-1)，

由»(2"-1)..30,得2”..187,

31

解得〃的最小值为8.

古嫡：4.

【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意

等比数列的性质的合理运用.

练习1.(1)已知等比数列｛«”｝的前〃项和为S“，，且〃,+q=』，则,=(

2~4%

)

A.4""B.4Z,-1C.D.T-\

【分析】设出等比数列的公比为q,利用等比数列的性质，根据已知等式求出q的值，进而

求出4的值，表示出S“与〃一即可求出之比.

【解答】解:设等比数列｛4｝的公比为“，

a、+/I

q=—------=—

4+42

「.q+%=4（1+/）=4（1+；）='|，

解得：4=2,

故选：。.

【点评】此题考查了等比数列，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键.

(2)我国古代数典籍《九章算术》“盈不足"中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠

对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几

天相逢.()

A.3B.4C.5D.6、

【分析】利用等比数列的求和公式即可得出.

【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，

前〃天打洞之和为==2”-1,

2-1

।_

同理，小老鼠每天打洞的距离一十二2-白，

1--2

2

•・27+2-击=1°，

解得〃e(3,4),取〃=4.

即两鼠在第4天相逢.

古嬷：B.

【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

练习2.已知公比为q的等比数列{q},且满足条件|g|>1,电+%=2/。必=—5，则勺=(

)

272527.2525

AA.-----DB.-----C.-----或----D.—

2532533

【分析】解方程丁-21-15=0,得4=-3,e=5，或。2=5,火=-3，由此能求出%.

【解答】解：公比为4的等比数列{4},且满足条件％|>1,%+%=2,&%=-15,

/.02a7=-15,

.•・丹，的是方程f-2x-15=0的两个根，

解方程f-2x-15=0,得出=-3,%=5,或%=5,%=-3,

当4=-3,%=5时，

a.q=-3.5<525

•65，解传7=--，•二«i2=5x(--)=—z--

aiq=5333

当4=5,%=-3时，

"立5Q,解得"=—|，不成立•

qq=-35

25

••・如=-7•

故选：5.

【点评】本题考查数列的第12项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的

性质的合理运用.

练习3.等比数列｛〃“｝的前〃项和为已知邑=生+1。4,4=9,则q=()

A.-B.--C.-D.-1

3399

【分析】设等比数列｛对｝的公比为，/,利用已知和等比数列的通项公式即可得到

〃二卬/+*=%+叫，解出即可.

。内=9

【解答】解：设等比数列｛4｝的公比为"，

S、=%+10%,%=9,

甘…八仙+明，解得厂*—;9

M=9卜=§

I

,4=§•

故选：C.

【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键.

模块二等比数列通项的性质

例1.已知｛"”）为等比数列，%+4=2,%・%=-8,贝U4+%=（）

A.5B.7C.-7D.-5

【解答】解：。§+4=2,4・％=-8,

/.a5卬8=一8,

解得6=4,%=-2,

或火=-2,%=4.

当/=4，《=-2，=-1，

,11

%+4i=%q+%q=4x(—)-2x(--)=-7,

~2

当/=-2,%=4.q3=-2.

a2+41=%，]3+48g③=-2x(一；)+4x(-2)=-7

古嬷：C.

练习1.已知｛«„｝为等比数列，4+%=2,仪％=-8,则4+4o=()

A.7B,5C•—5D.—7

【解答】解：,4+%=2,由等比数列的性质可得，=4%=-8

二.6=4,%=-2或&=-2,%=4

当4=4,%=-2时，,

q=-8,40=1,

•.•4+/=-7

当q=-2,%=4时，d=-2,贝!]%=—8,%=1

•••4+%=-7

综上可得，q+4o=-7

古嫡：D.

例2.在等比数列｛4)中，公,《5是方程f一6工+8=0的根，贝I」如1的值为()

%

A.2>/2B.4C.-2也或2&D.7或4

【解答】解:/，心是方程，—6x+8=0的根，

二.q=2,a]5=4；或q=4,%=2.

2

可知a｝q=2,%>0.

c%=J645=2^2.

则班=旦=1=2夜

%%

故选：A.

练习I.已知各项均为正数的等比数列｛%｝,4%。3=5,07A%=10,则。46。6=（）

A.5y/2B.7C.6D.472

【解答】解：4a24=5=a；=5；

074a9=1°=。；=1°।

〃；=〃2〃8，

a；=50,/.a4a5a6=a；=5>/2,

古嫡：A.

练习2.在等比数列｛%｝中，％，为是方程3x2-llx+9=0的两个根，贝!J%%%=（）

A.3百B.—C.±3百D.以上皆非

2

【分析】根据等比数列的性质结合根与系数之间的关系进行求解即可.

【解答】解：生,%是方程3%2一1£+9=。的两个根，

9cII八

/.%%=—=3,+a9=—>0,

•二%%=（。6）2，

则。6=±6

则叼％%=（6）％6=±3>/5,

古嬷：C.

【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，根据根与系数之间的关系是解决本题的关键.

练习3.等比数列口｝的各项均为正数，且03A+05a6=18，则log3a,+log3a2+...+log3a0=（

)

A.12B.10C.8D.2+log,5

【分析】由题意可得%％=9,由等比数列的性质和对数的运算可得原式=1。8式6综)5，化简

可得.

【解答】解：由题意可得+的6=18,

解之可得。5。6=9，

故Iog3ax+log3a2+...+log3%=log?…6o

55,0

=log3(a56f6)=log39=log33=10

古嫡：B.

【点评】本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算性质，属基础题.

,o

练习4.已知等比数列｛an｝的各项均为正数,且logi4+log3%+§3%+•••+bg3/T0,则

%的值为()

A.3B.6C.9D.18

【分析】由对数运算法则得lo&(4X4x...x49)=l(),从而

10

^xa3x...xal9=(a,x=a^°=3,由此能求出.

【解答】解：•.•等比数列｛q｝的各项均为正数,

且限4+10g36f3+10g3^5+...+10g36Z19=1(),

/.log3(«]X«3x...x«19)=1(),

510

/.axxx...x《9=(qx«ly)=«1()=3"),

6Z|Q—3.

故选：A.

【点评】本题考查等比数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比

数列的性质的合理运用.

模块三等比数列前n项和的性质

例1.等比数列｛q｝的前〃项和为S”=a・3"T+〃,则@=()

b

A.-3B.-1C.1D.3

【分析】由等比数列应｝的前〃项和求出前3项，由此能求出利用等比数列｛〃“｝中R-

能求出幺.

b

【解答】解：•.•等比数列｛q｝的前〃项和为S.=a・3i十)，

:.ax=S1=a+b,

%=S1-S、=3a+b-a-b=2a,

a3=Sy-S2=9a+b-3a-b=6a,

・•,等比数列｛4｝中,必=的3,

/.(2a)2=(a+b)x6a,

解得f=-3.

b

故选：A.

【点评】本题考查两数比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的

合理运用.

练习I若等比数列｛%｝的前〃项和S.=2010"+t(t为常数),则q的值为()

A.2008B.2009C.2010D.2011

【分析】写出数列的前3项,利用。必=，求出/的值，即可求出生的值.

【解答】解：等比数列｛q｝的前〃项和Sa=2010"+/.

2

.\a,=S,=2010+/,a2=S2-St=2010+Z-2010-Z=2009x2010,

22

a3=S3-S2=2010'+/-2010-r=2009X2010,

・・・的3=4，

,-.(2010+/)x2009X20102=(2009x2010)2,

=2010+r=2009.

故选：B.

【点评】本题考直数列的前〃项和，考直数列的通项，考直学生的计算能力，属于基础题.

练习2.已知等比数列｛%｝的前〃项和S“=2/・3"T-g,则

【分析】由已知结合等比数列的求和公式，,可求.

33

【解答】解：因为"1,$产尸工卢*4,

1-(/1-(/\-q

结合等比数列和的特点可知，S“=21・3"T-3中，-=-,

333

故/=2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题.

例2.各项均为正数的等比数列｛〃“｝的前〃项和为S“，若S”=2,S3,f=14,则，等于(

)

A.80B.30C.26D.16

【分析】利用等比数列的求和公式，整体思维，即可求得结论.

【解答】解：设各项均为正数的等比数列｛4｝的公比等于4，

S”=2,S3rl=14,：.q^\

2,W)=14，解得4"=2,江=-2.

1-</\-q\-q

An

AS4ZI=-^(1-q)=-2(1-16)=30,

古嫡：B.

【点评】本题考查等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于基础题.

练习1.已知等比数列｛4“｝的前〃项和为S“，且&=4,1=10,则Eg=()

A.16B.19C.20D.25

【分析】由等比数列伍”｝的前〃项和为s一得S，，S—5，S「S”成等比数列，即可得到

九-So,进而得到$5•

【解答】解：•「等比数列｛q｝的前〃项和为S”,

:Sw—S$,九一九成等比数列,

•.•S5=4,S10-S5=10-4=6,

.•・、5-岳。=6又5=9,

所以几=£。+几-，=19,

故选：B.

【点评】本题考查了等比数列的性质，等比数列的通项公式，考查分析解决问题的能力，属

于基础题.

练习2.等比数列口｝的前5项和工=1(),前10项和兀=5(),则它的前15项和九二

【解析】法一：由等比数列前n项和的性质知S5,Sic.-S5,

Sis-Sio成等比数列，故(Sio-S5)2=Ss(Si5-S10),

即(50-10)2=10⑸5-50),解得$5=210.

法二：设数列｛aj的首项为a1,公比为q,

1・q

显然q*,则R

ail-q'°…

I1・q

由①♦②得1+q'=5,所以寸=4,代入①得

ai10

k-，

aiI-q15in

所以S15二-------=-43)=210.

I-qJ

【答案】210

练习3.已知｛q｝是各项都为正数的等比数列，S〃是它的前〃项和，若S4=6,§8=18.则

516=()

A.48B.54C.72D.90

【答案】D

根据等比数列前〃项和性质，即可求出结果.

【详解】

因为｛q｝是各项都为正数的等比数列，s〃是它的前〃项和，

所以工襄-S4,S12-L-%也成等比数列，且公比为凡言=2,

「

所以&2-SS=2（SS4）=24,所以几=42,

因此*6F=2（右—国）=48,所以1=90.

故选D

【点睛】本题主要考查等比数列前〃项和性质，熟记性质即可，属于基础题型.

例3.等比数列｛an]中,公比夕=3,S80=32,则a2+4+&+……+4o=_______,

s偶

利用;-二q，及S2n=S奇+S偶求解.

S奇

【自主解答】设S]=a?+如+@6+…+aso,

S2=ai+33+35+...+a?9.则£=q=3即Si=3S2.

4

・・

又Si+S2=S8O=32一§S尸32,解得Si=24.

BP32+04+36+--.+380=24.

【答案】24

练习1.等比数列｛凡｝共2〃项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比片

S奇+S偶=-240,

【解析】（1）根据题意得

S奇・S偶二80,

S奇二・80,s偶-160

/.q=——=--------=2.

S偶=-160,S奇・80

练习2.等比数列｛凡｝共2〃项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比方

【解析】设同｝的公比为q,则奇数项也构成等比数列，其公比为q2,首项为a,,

ail-q2n八ai[l-q2n]

S2n=~,S奇二-'"•

J-qI-a

2n2n

由题意得—a11-—q=——3ail-qJ

I-q1-q

/.1+q=3,q=2.

【答案】2

模块四等比数列证明

等比数列的判定方法

若宁二90为非零常数，"£N")或'二式q为非零常数目应2,〃£N・)，

Un

定义法a„-1

则｛斯｝是等比数列

中项公式法若数列｛小｝中/且屈+i=a“q+2("£N'),则｛m｝是等比数列

若数列⑹的通项公式可写成为=c/」(c闯均为非零常数，，旧N«)Man]

通项公式法

是等比数列

前〃项和公式若数列｛&｝的前〃项和s“二%/-楸为非零常数，#0,1),则｛斯｝是等比数

法列

例1.已知数列｛”"｝满足q=：，且tnwN".

823

(1)求证：｛q-g是等比数列；

(2)求数列｛%｝的通项公式.

【分析】(1)对4M进行变形处理得到：==,根据等比

数列的性质证得结论；

(2)根据｛(「2｝是以9为首项，工为公比的等比数列来推知数列｛凡｝的通项公式.

3242

【解答】(1)证明:由已知得：1=令'

因为《=，,

O

所以4-|尚

所以⑸管是以卷为首项，；为公比的等比数列；

(2)解：由(1)知，｛«,-|)是以方为首项,1为公比的等比数列,

所以4“，

所以4=.:'

【点评】本题考杳数列递推式，考直构造法证明等比数列，考杳数列的通项，解题的关键是

构造法证明等比数列.

练习I.已知数列0｝满足卬=1，2%=3q,+I.证明：0+1｝是等比数列；

【分析】直接利用定义法进行证明.

a1a

【解答】证明：(【)由2%=3〃“+1,得a“+i+7，即—+l=-(a/t+l),

2z2

故^±1=3.

4+12

又4+1=2,所以仅“+1｝是首项为2,公比为1的等比数列.

【点评】本题考宣的知识要点:数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前〃项和的应用，

放缩法的应用.

3

练习2.已知数列｛〃"｝满足q,2%+Q,,+〃“+]=34，〃eN.

(1)求证：数列」-1｝为等比数列;

凡

【解答】解：因为所以-L—U•

%3q3

所以-1=^(---1)•

—3an

因4=一，则---1=—.

5%3

所以数列｛^—1｝是首项为],公比为：的等比数列.

凡33

练习3.已知数列｛4｝的首项q=3，且满足4—x3"“，(〃cM).

(1)设勿=号，判断数列也｝是否为等差数列或等比数列，并证明你的结论；

(2)求数列他“｝的前〃项和5；.

【分析】(I)根数列的递推关系，利用构造法，构造等比数列，结合等差数列的定义班可证

明也｝是等差数列.

(2)求出数列｛/｝的通项公式，利用求和公式，结合错位相减法进行求解即可.

【解答】解：(1)・.•1=3%+2x3"、(〃eN“).

=34-2x3向

・'3"'9

即爵喙+2，…(5分)

一•.｛"｝构成以々=g=l为首项，2为公差的等差数列.(6分)

(2)由(1)可知bn=1+2(〃-1)=2〃-1,所以an=(2〃-1)・3"…(8分)

S”=1・3+3*32+5・3'+...+(2〃-1)・3"①

23n+1

3sti=1.3+3.3+...+(2〃—3).3"+(2〃-l).3②

②一①得一25”=3+2・32+2・33+~+2・3"-(2〃-1)・3"“…(1。分)

=3+-(2n—1)・3向

二(2—2〃)・3”,一6...(13分)

.,.J=(〃-1)・3用+3...(15分)

【点评】本题土要考查数列通项公式和数列求和的计算，根据数列的递推关系，利用构造法

构造等比数列，结合错位相减法进行求和是解决本题的关键.考查学生的运算和转化能

力.

例2.(2018・黄山模拟)设数列｛q｝的前〃项和为S”，已知q=l,Se=4q+2.

⑴设"二。2—2%,证明：数列｛"｝是等比数列；

(2)求数列(4)的通项公式.

(1)证明由m=1及S〃+k4%+2,

有a\+42=52=40+2.

/.ci2-5,=a2-2a\=3.

S”+i=4o”+2,①

又‘

Sn=4a”-]+2/?22,②

①-②，得3+1=4为-4an-i(n>2),

•'•^n+i-2an=2(an-2an-I)(M>2).

•.*/>„=«„+1-2a„,:.b„=2h„.\(n>2),

故｛儿｝是首项力尸3,公比为2的等比数歹I」.

⑵解由⑴知以=%+1-26=30-1,

・如+1色1_3

,,洛丁王二W，

故慨是首项为g,公差坦的等差数列.

J,I3〃-1

•・*=]+(〃・口彳二不一，

故如=(3〃・1)27-2.

练习1.数列｛，.)中，前〃项和S“=2”-l,求证：｛/｝是等比数列.

【分析】利用〃•.2时，4=S—z,验证〃=I时成立,利用等比数列的定义,即可得到结

论.

i

【解答】证明：当〃=1时，ai=Si=2-\=l.

nw,n

当〃..2时，q,=Sn-Sn_1=(2-l)-(2--l)=2-2"'=2,

又当〃=1时，2”T=2i=l=4,

「•%=2，

<n+,)-1

.•a.,=23=2(-常数)，

n

.•・｛〃”｝是等比数列.

【点评】本题考查等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.

练习2.已知等差数列｛4｝中仆=7,其前〃项和，=〃〃2+2〃，〃£..

（I）求〃的值及%；

（II）在等比数列｛〃｝中，4=4，a=4%-3，若等比数列｛凡｝的前〃项和为7；.求证：

数列｛7：+，｝为等比数列.

6

【分析】（/）由题意可得：6=S3-S2=5p+2=7,可得〃，求出公差，即可求出巴；

（II）确定数列｛2｝是以可=g为首项，3为公比的等比数列，求出等比数列｛4｝的前〃项

和为，，即可证明结论.

【解答】解：（/）由题意可得：6=5；-邑=5〃+2=7,/.〃=1,

a]=5）=3------------------------------------------------（3分）

/.2d—a3——4,公差d=2-----------------------------------（5分）

由此可得：。“=2〃+1------------------------------------------------（6分）

（II）由题意可得：4=＞夕2=%=3也==夕5=4%—3=81

联立方程组解得：q=3,4=1--------------------------------------------（8分）

，数列｛〃｝是以4=:为首项,3为公比的等比数列.

+9家十I--------------------------3。分）

是以;为首项，3为公比的等比数歹I」.-------------------------（12分）

【点评】本题考查数列的通项，考查等比数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于

中档题.

模块五等比数列和等差数列综合

例1.已知等差数列｛%｝的首项和公差均不为0，且满足,，/，生成等比数列，则

巴士"5的值为()

%+4+%o

A.上B."C.HD.1

1413123

【分析】设等差数列的公差为，/,运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简计

算可得所求值.

【解答】解：等差数列｛&｝的首项和公差d均不为0,且满足的,外,生成等比数列，

可得，

即(q+4d(=(4+d)(q+6d),

化为。0+1。/=。I即q=-10d,

贝U6+勺+61_3«1+18c/_12

，+%+4o3q+17d13'

古嬷：B.

【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能

力，属于基础题.

练习1.已知｛4｝是首项为1的等比数列数列也｝满足&=2A=5且4(W)="

则数列｛娼的前〃项和为—.

【分析】设等比数列｛q｝的公比为夕,数列也｝满足4=2,%=5,且％(0+「")=%，

4=1.可得。他f)=生，解得生，可得”可得心-仇=3，利用等差数列的定义通

项公式与求和公式即可得出.

【解答】解:设等比数列｛叫的公比为乡，数列也｝满足a=2也=5，且4(/精-")=&“，

4=1.

.•.4S2-4)=%,即1x(5-2)=%,解得％=3，，夕=3.

「•%-2=3,

，数列｛bH｝是等差数列，首项为2,公差为3.

•・•数列｛2｝的前“项和=2〃+^^!^乂3=^^.

故答案为：.

2

【点评】本题考查了等比数列、等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力

与计算能力，属于中档题.

例2.已知｛《,)是等差数列，｛"｝是等比数列，且仇=3也=9,q=瓦%=人.

(1)求｛勺)的通项公式；

(2)设cn=an+bn,求数列｛c“｝的前n项和.

【解】⑴设等比数列｛EJ的公比为q,贝i」q之号=3,

n

所以bi=^=1/b4=b?q=27,所以bn=3-'(n=1,2,3

设等差数列1小］的公差为d.

因为ai=bi=1,au=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.

所以an=2n-l(n=1,2,3,

n_1

(2)由⑴知an=2n-1,bn=3,

因此Cn=an+bn=2n-1+3n'

从而数列｛cj的前n项和

Sn=1+3+…+(2n・l)+1+3+…+3•1/

nl+2n-I1-3n3n-1

=------z------+-------=n2+-z-.

21-32

练习1.已知数列｛4｝的前〃项和为=l,q川=25„+1(//G7V+),等差数列也｝中，

bn>0(〃£N)且4+4+4=15,又q+4,%+〃2，6+a成等比数列.

⑴求数列｛《,),｛2｝的通项公式；

⑵求教列口也』的前几项和7；.

【解】(1)・・飞产1,an+i=2Sn+l(neN+),

.\an=2Sn-1+i(n^N+,n>1),

••cln+I_3n=2(Sn-Sn-l)/即3n+I~i4n=2an,

:.an+i=3an(n£N+,n>1).

而a2=2ai+1=3,二g二3ai.

・.•数列｛即)是以1为首项，3为公比的等比数列，

n,

AaI1=3-(neN+).

-ai=1,a2=3,a3=9,

在等差数列(EJ中,Vbi+b2+b3=15,/.b2=5.

又二ai+bi,ai+bz,as+b?成等比数列，

设等差数列｛>｝的公差为d,

2

则有⑶+bi)(a3+ba)=(a2+b2).

/.(I+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2,

Vbn>0(neN+)，，舍去11=-10,取d=2,

Abi=3,/.bn=2n+l(nGN+).

(2)由⑴知Tn=3X|+5x3-7X32+...+(2n-l)-3n*2+(2n+l)3n-1,①

23n1n

J3Tn=3x3+5X3+7x3+...+(2n-l)3-+(2n+l)3,②

••・①-②得

23n23n

-2Tn=3xl+2x3+2x3+2x3+…+2x3-*-(2n+1)3"=3+2(3+3+3+...+3'-(2n

3-3n

+1)3n=3+2x-(2n+l)3n=3n-(2n+l)3n=-2n-3",

n

ATn=n-3.

三、当堂巩固

1.设数列｛4｝为等比数列，则下面四个数列：

（1）（硝；

（2）｛〃为｝（〃为非零常数）；

（3）｛《,％｝；

(4)｛〃,+%｝•

其中是等比数列的有几个()

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用等比数列的定义即可得出.

【解答】解：设等比数列｛4｝的公比为夕工0,则下面匹个数列：

(1)由于鼻=/，因此｛4｝为等比数列；

%

(2)由于S=q,因此｛p仆｝为等比数列；

(3)由于工2=d,因此｛4%+J为等比数列；

—

(4)取《,=(-1)",则可+《卬=0,因此数列｛6,+《3)不是等比数列.

其中是等比数列有3个.

古嫡：C.

【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档

题.

2.已知等比数列｛凡)中，《十仇=10,，贝I」该数歹I」的公比“为()

4

A.2B.1C.-D.-

42

【分析】根据等比数列的通项公式，利用出+&=©+%)/，即可求出9的值.

【解答】解：等比数列｛4｝中，•-4+々3=1。，.•・&+/=(%+%)”=?，

,511

/.q=-x—=-

4108

••・该数歹I」的公比.

古嬷：D.

【点评】本题考查了等比数列的通项公式的应用问题,是基础题目.

3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，

次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还「其意思是“有

一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走

了6天后到达目的地.”请问第三天走了()

A.60里B.48里C.36里D.24里

【分析】由题意得：每天行走的路程成等比数列｛4｝、且公比为g,由条件和等比数列的

前项和公式求出q,由等比数列的通项公式求出答案即可.

【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列｛《｝,且公比为:，

6天后共走了378里，，$6=----『=378,

1--

2

解得4=192,

二.第三天走了q=4x(9=192x；=48,

故选：B.

【点评】本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题.

4.设等比数歹」｛I凡｝的公比g=2,前〃项和为S”,则邑=()

a4

3131

A.2B.4C.—D.—

84

【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得.

4(1-2$)

【解答】解：由等比数列的求和公式和通项公式可得：邑=一1二尾-=?，

aA4x2-8

故选：C.

【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题.

5.设等比数列｛〃“｝的公比为q,其前〃项和为S“，前〃项积为7；,并满足条件4>1,

。刈>1，&吟<0,下列结论正确的是()

A-邑019<,^2020B•〃201Mo2i_1<°

c.72。是数列｛。｝中的最大值D.数列｛7J无最大值

【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得3/力（。4°力=（4）2（/7）>1,分析可得

“>0,可得数列｛〃“｝各项均为正值，又由况匚<0可得/刈U或卜皿>：,由等比数

“2020-1［。2020>11%020<'

列的性质分析可得q的范围，据此分析4个选项，综合即可得答案.

a

【解答】解：根据题意，等比数列｛4｝的公比为“，若a20192G2OA1，则

Q闻刘8）@浮9）=（q）2（/7）>1,

又由4>1,必有学>0,则数列仅“｝各项均为正值，

又由回匚<0,即3刈-1）（/_1）<0,则有卜叫或仆>：,

1

02020一11°2020）l°M0<1

又由a。，必有0<”|,则有r刘9二,

,a2U2U>1

—=

对于A,有5202015201902020>°，即$刈9<^20201贝A正确；

对于B/有的）20<1，则”2019。2021=（生020）2<1，则8正确；

对于C，/刈9;，则小,,是数列亿｝中的最大值，。错误，同理。错误；

1出020>।

故选：AB.

【点评】本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的前〃项和，注意分析q的范围.

6.已知等比数列｛4｝的公比,/=-1,等差数列｛a｝的首项4=12,若为>a且%>九，则

以下结论正确的有（）

A.〃9・〃10<0B.%>4。C.A。>0D.%>%）

【分析】设等差数列的公差为，/，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A正确,8与C

不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D正确.

【解答】解：数列｛4｝是公比q为-:的等比数列，优」是首项为12,公差设为d的等差数

列，

7?

9

则为=《（一«10=«,（--）,

JJ

2

=〃：(--)17<0,故A正确；

3

q正负不确定，故3错误；

%正负不确定，，由%>九，不能求得优。的符号，故C错误；

22

由《>,且a］。>A。，则〃(一§)8>12+8〃，6/)(――)9>12+9t/t

可得等差数列出”｝一定是递减数列，即，/vO,

即有%>6)>40,故。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及单调性的判断，考查运算能力和推

理能力，是中档题.

7.巳知等比数歹11｛。“)中％=】，若一+—+—