第三章 圆习题

第三章圆

1圆

01基础题

知识点1圆的有关概念

1.下列说法正确的是(£>)

A.半圆是弧，弧也是半圆

B.过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径

C.弦是直径

D.直径是圆中最长的弦

2.下列条件中，能画唯一圆的是(B)

A.以已知点O为圆心

B.以点O为圆心，2cM长为半径

C.以1C777长为半径

D.经过已知点A,且半径为2。”

3.已知。O的直径AB=6c"3则圆上任意一点到圆心的距离等于(C)

A.2cmB.2.5cm

C.3cmD.无法确定

4.如图，在。O中，AD是直径,AC,AD是弦,劣弧是京，&).

5.(2019・陕西师大附中月考)如图所示，MN为。O的弦，NN=50。，则/MON的度数为眦.

6.孙老师上数学课时忘记了带圆规，但他手里有一根小细绳，你能帮他在黑板上画一个圆吗？并说明理由.

解：能.将小细绳绕着它的一个端点旋转一周，另一个端点走过的路线即为一个圆，理由：圆可以看成是到定

点的距离等于定长的所有点组成的图形.

知识点2点与圆的位置关系

7.已知。0的半径为5。加，点人到圆心0的距离0人=3”?,则点A与。O的位置关系为(B)

A.点A在圆上8.点A在圆内

C.点A在圆外D.无法确定

8.已知点A在直径为的。O外，则OA的长可能是(£>)

A.2cmB.3cm

C.4cmD,5cm

9.已知。。的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与。O的位置关系是(A)

4.点P在。O内

B.点P的。O上

C.点P在。O外

。.点P在。O上或。O外

1().已知。O的半径为3cm。。所在的平面内有一点P,当PO=35Z时,点P在。O上；当PO<3cm

时，点P在。O内；当PO>3的时,点P在OO外.

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11.如图，在△ABC中，NC=90。，AC=4,AB=5,以点C为圆心，r=3为半径作圆，判断A,B两点和。C

的位置关系.

CB

解：VZC=90°,AC=4,AB=5,

；.BC=3.

VAC=4>r,...点A在。C外.

：BC=3=r,.•.点B在。C上.

易错点点的位置考虑不全导致漏解

12.若点P到。O上各点的最大距离为10era,最小距离为8cm,则。。的半径为1或9cm.

02中档题

13.（2019・聊城）如图，BC是半圆O的直径，D,E是R上两点，连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,

OE.如果NA=70。，那么/DOE的度数为（0

4.35°B.38°C.40°D.42°

14.如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点）.若以A为圆心，r为半

径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（B）

A.2V2<r<V17B而CW3巾

C.y[77<r<5D.5<r<^/29

-V

-4

15.在RfZ\ABC中，NC=90。，NA=30。，以点C为圆心,CB为半径画圆，则斜边AB的中点D与。C的

位置关系是点D在OC上.

16.如图，BD,CE是AABC的高，M为BC的中点.求证点:B,C,D,E在以点M为圆心的同一个圆上.

1

BMC

证明：连接ME,MD.

VBD,CE是aABC的高，M为BC的中点，

；.ME=MD=MC=MB=gBC.

...点B,C,D,E在以点M为圆心的同一圆上.

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17.(教材P68习题T1变式)如图，小虎牵着小狗上街，小虎的手臂与绳共2.5%(手臂与拉直的绳子在一条直线

上)，手臂肩部距地面1.5〃?.当小虎站立不动时，小狗在平整的地面上活动的最大区域是多少？并画出平面图.

解：小狗在地面上环绕的圆的半径为

、2.52-1.52=2.0(m),

S=CT2=4^(/M2),

故小狗在平整的地面上活动的最大区域是以2.0,“为半径的圆，其面积为47r毋.

如图:

18.如图，CD是。O的直径，点A在DC的延长线上，ZA=20°,AE交。。于点B,且AB=OC.

(1)求/AOB的度数；

(2)求NDOE的度数.

解：⑴连接OB.

VAB=OC,OB=OC,

AAB=OB.

.,.ZAOB=ZA=20°.

(2)VNOBE=ZA+ZAOB,

ZOBE=2ZA.

VOB=OE,

AZOBE=ZE.

.,.ZE=2ZA.

ZDOE=ZA+ZE=3ZA=60°.

圆中的半径相等，所以在圆中常会“连半径，构造等腰三角形”.

03综合题

19.如图，两条公路OM,ON相交所成的锐角为30。，沿公路OM方向距离两条公路的交叉处O点80机的A

处有一所学校，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50机内的范围会受到噪声影响，已知一台拖拉机从点O出发,

沿射线ON方向行驶，它的速度为5mis,则该拖拉机行驶时给该学校带来噪声影响的时间是多少？

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解：过点A作ACJ_ON于点C,

VZMON=30°,OA=80m,AAC=40m.

以点A为圆心，50根为半径作圆，交ON于B,D两点，连接AB,AD,贝ijAB=AD=50m.

由点与圆的位置关系知,当拖拉机在BD上行驶时，会给学校带来噪声影响.

在Rt/XABC中，BC=NAB2-AC2=30m,

在R/Z\ADC中，CD=A/AD2-AC2=30m,

.,.BD=BC+CD=60,加

又•••拖拉机的行驶速度为5m/s,

・♦,影响时间为弓=12(5).

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2圆的对称性

01基础题

知识点1圆的对称性

1.下列语句中，不正确的是(C)

A.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴

B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

C.当圆绕它的圆心旋转89。57,时，不会与原来的圆重合

D.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个

2.如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2,则其阴影部分的面积之和为区(结果保留兀).

知识点2圆心角'弧、弦之间的关系

3.在同圆或等圆中，如果第=65,那么AB和CD的关系是(8)

A.AB>CDB.AB=CD

C.AB<CDD.AB=2CD

4.如图，在。O中，若点C是a的中点,ZA=50°,则/BOC=(4)

4.40°B.45°

C.50°D.60°

5.如图，AB是。O的直径，BC=CD=DE,ZCOD=34°,则/AOE的度数是(D)

A.51°B.56°

C.68°D.78°

B

6.如图，已知A,B,C,D是(DO上的点，Z1=Z2,则下列结论中正确的有(Z))

@AB=CD；®BD=AC：③AC=BD；④NBOD=/AOC.

A.1个8.2个

C.3个O.4个

7.如图所示，在。O中，AC,BC是弦，根据条件填空:

⑴若AC=BC,则应，NAOC=NBOC；

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(2)若R=前，则AC=BC,ZAOC=ZBOC；

(3)若NAOC=NBOC,则尬=匠，AC=BC.

8.如图，AB,DE是。0的直径，C是。O上的一点，且BE=CE.⑥与母的大小有什么关系？为什么？

解：6=日.理由如下：

TAB,DE是。。的直径,

.•.ZAOD=ZBOE.

AAD=BE.

VBE=CE,.,.BE=CE.

.•.>W=CE.

9.如图，在。O中，AC=CB,CD_LOA于点D,CEJ_OB于点E,求证：AD=BE.

证明：连接oc.

VAC=CB,.,.ZAOC=ZBOC.

VCD±OA,CE1OB,

；./CDO=/CEO=90。.

在aCOD和△COE中，

/DOC=NEOC,

<ZCDO=ZCEO,

_co=co,

.,.△COD丝△COE(A4S)./.OD=OE.

VAO=BO,，AD=BE.

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02中档题

10.如图，AB是。。的直径，BC,CD,DA是。O的弦，且BC=CD=DA,则/BCD的度数为(。

A.100°B.110°

C.120°D,135°

I匕--《

\01

11.如图，扇形OAB的圆心角为90。，点C,»是@的三等分点，半径OC,OD分别与弦AB交于点E,F,

下列说法错误的是(A)

A.AE=EF=FBB.AC=CD=DB

C.EC=FDD.ZDFB=75°

o

CD

12.如图，在。O中，AB=2CD,则下列结论正确的是(C)

A.AB>2CD

B.AB=2CD

C.AB<2CD

D,以上都不正确

0

13.如图，AB是半圆0的直径，E是OA的中点，F是OB的中点,.MELAB于点E,NFJ_AB于点F.下列结

论：®AM=MN=BN；②ME=NF；③AE=BF；④ME=2AE.其中正确的有①②③.

O

AEOFB

14.如图，A,B,C为。。上的三等分点.

(1)求/BOC的度数：

(2)若AB=3,求。O的半径长及SAABC.

A

解：(1)；A,B,C为。O上的三等分点，

AAB=BC=AC.

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.,.ZBOC=1x360°=120°,

⑵过点O作ODJ_AB于点D,

VA,B,C为。O上的三等分点，

，AB=AC=BC=3.

VOA=OB,ZAOB=120°,OD±AB,

3

AZBAO=ZOBA=30°,AD=/

・・・DO=坐，OA=小，即。O的半径长为，1

SC,ABO=/DC).AB=3$.

3、Q

同理可得SaACO=Sz\BCO=4»

.0,V3A/39A/3

.•、^ABC-3入4-4.

15.如图，正方形ABCD内接于。O,M为俞的中点，连接BM,CM.

⑴求证：BM=CM；

(2)求/BOM的度数.

解：(1)证明：♦.•四边形ABCD是正方形,

；.AB=CD,

.,.AB=CD.

为俞的中点，

.\AM=DM.

.,.AB+AM=CD+DM,B|JBM=CM.

，BM=CM.

(2)连接OA,OB,OM.

•••四边形ABCD是正方形，

.•.NAOB=90°.

VM为俞的中点，

AZAOM=45°.

/BOM=ZAOB+ZAOM=90°+45°=135°.

03综合题

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16.如图，A点是。0上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是AN的中点，P点是MN上一动点，OO

的半径为3,则AP+BP的最小值为3也.

—o-p\N

*3垂径定理

01基础题

知识点1垂径定理

1.如图所示，。。的半径为13,弦AB的长度是24,ON1AB,垂足为N,则ON=(A)

A.5B.7C.9D.11

如图，在。。中，弦AB为8,圆心0到AB的距离0D为3,则。0的半径等于(。

3.如图，AB是。O的弦，当半径OA=4,NAOB=120。时,弦AB的长为(£))

A.2B.4C.2小D.4小

4.如图，己知。0的直径AB_LCD于点E,则下列结论错误的是(B)

A・CE=DEB.AE=OE

CBC=BDD.AOCE^AODE

5.如图，。。的直径为10,弦AB=8,P是AB上一个动点，则OP的最小值为工

Q

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6.如图，AB为。0的直径，弦CDJ_AB于点E,已知CD=6,EB=1,则。O的半径为，

知识点2垂径定理的推论

7.如图，。。的半径为10,M是弦AB的中点，且OM=6,则。O的弦AB等于（0

A.8

B.10

C.12

D.16

知识点3垂径定理的应用

8.如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（C）

A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm

9.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m其中水面的宽AB为0.8如则排水管内水的深度为

0.8

10.（教材P76随堂练习71变式）如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3根，弓形的高

EF=1m,现计划安装玻璃，请帮工程师求出定B所在。O的半径r.

解：二,弓形的跨度AB=3加，EF为弓形的高,

AOE1AB.

，AF=/AB=/m.

•・•晶所在。O的半径为r,弓形的高EF=lm,

AAO=r,OF=r-l.

在对△AOF中，AO2=AF2+OF2,

3

-13

28-

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故「=号m.

易错点忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”

11.下列说法正确的是(£>)

4.过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧

B.弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心

C.,过弦的中点的直径垂直于弦

D..平分弦所对的两条弧的直径平分弦

02中档题

12.如图，CD为。O的直径，弦AB_LCD,垂足为M.若AB=12,OM：MD=5：8,则。O的周长为(3)

A.26万B.13乃

驹39vl加

5D5

13.如图，在。O中，相等的弦AB,AC互相垂直，OE_LAC于点E,ODLAB于点D,则四边形OEAD为(A)

4.正方形B.菱形

C.矩形D.平行四边形

14.(2018•孝感)已知。。的半径为10。〃?，AB,CD是。O的两条弦，AB〃CD,AB=16cm,CD=12cm,

则弦AB和CD之间的距离是2或14cm.

15.(2019•嘉兴)如图，在。O中，弦AB=1,点C在AB上移动，连接OC,过点C作CDLOC交。O于点D,

则CD的最大值为右

A

16.(2019•德州)如图，CD为。。的直径，弦ABJ_CD,垂足为E,AB=BF,CE=1,AB=6,则弦AF的长

度衅

17.(教材产77习题73变式)已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).

(1)求证：AC=BD；

(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.

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解：(1)证明：过点0作OELAB,垂足为E,

则AE=BE,CE=DE,

；.AE-CE=BE-DE,

即AC=BD.

(2)由(1)可知，OE±AB,0E1CD,

连接OC,OA.

VOE=6,

CE=^OC2-OE2-^/82-62=2干，

，AC=AE-CE=8-2"

03综合题

18.如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2小，拱高CD为2.4机

(1)求拱桥的半径；

(2)现有一艘宽3m,船舱顶部为长方体形并高出水面2m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗?

解：⑴连接0B.

VOC1AB,

；.D为AB的中点.

VAB=7.2w,

，BD=；AB=3.6m.

设OB=OC=r,则OD=(r-2.4>z.

在放Z\BOD中，根据勾股定理，得

r2=(r-2.4)2+3.62,解得r=3.9.

.,.拱桥的半径为3.9m.

(2)令船舱顶部所在直线分别与圆弧交于点M,N(N在M的右边)，连接ON,连接MN,交CO于点E.

：CD=2.4w,船舱顶部为长方体形并高出水面2根，...CE=2.4—2=0.4(,〃).

.•・OE=r-CE=3.9-0.4=3.5(机).

在MZXOEN中，EN2=ON2-OE2=3,92-3.52=2.96(/n2),

；0=隹砺m,

MN=2EN=2X隹灭-3.44(〃?)>3m.

...此货船能顺利通过这座拱桥.

19.(2019•商洛商南县一模)如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为(B)

A.25cm

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B.4小cm

C.y[3cm

D.y/2cm

3.4圆周角和圆心角的关系

第1课时圆周角定理及其推论1

01基础题

知识点1圆周角的概念

1.下列四个图中，/X是圆周角的是（。

30

ABCD

知识点2圆周角定理

2.如图，A,B,C是OO上的三点，BC是。。的直径，/<B=30°,则NAOC的度数是(A)

A.60°B.55°

C.50°D.40°

3.（2018♦衢州）如图，点A,B,C在。0上，3ACB=35。,则NAOB的度数是(B)

4・75°B.70°

C「.OJUr\.”。

4.（2019•西安莲湖区二模）如图，NA是。0的圆周角,ZA=50°,则NOBC的度数为（3）

A.30°B.40°C.50°D.60°

£

5.（2019湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°,则它所对的圆心角的度数是302.

6.如图，4ABC内接于。0,若NOAB=32。，!iliJZC=582.

S

（

知识点3圆周角定理的推论1

7.（教材尸80随堂练习72变式）（2017•柳州）如图,在。0中与N1一定相等的角是（4）

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A.Z2

B.Z3

C.Z4

D.Z5

8.如图，在。O中，AB=BC,点D在。O上，NCDB=25。，则NAOB=(3)

9.如图，。。的直径AB过弦CD的中点E.若NC=25。，则ND=奂S

10.如图，已知A,B,C,D是。O上的四个点，AB=BC,BD交AC于点E,连接CD,AD.求证：DB平

分NADC.

证明：・.・AB=BC,

AAB=BC.

，NADB=NBDC.

ADB平分NADC.

易错点忽略弦所对的圆周角不唯一而致错

11.在直径为4的。O中，弦AB=2小，点C是圆上不同于A,B的点，那么NACB的度数为60。或120。.

02中档题

12.如图，点A,B,C是。。上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OFLOC交。。于点F,贝ijNBAF

等于(8)

A.12.5°

B.15°

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C.20°

D.22.5°

13.如图，A,B,C,D是。O上的四个点，B是R的中点，M是半径OD上任意一点.若NBDC=40。，则

ZAMB的度数不可能是(0

14.(2019•陕西二模)如图，点D,E分别是。。的内接正三角形ABC的AB,AC边的中点.若DE=小,则

。。的半径为

15.如图，AB是。O的一条弦，OD_LAB,垂足为C,交。O于点D,点E在。O上.

(1)若NAOD=52。，求NDEB的度数；

(2)若OC=3,0A=6,求S〃/DEB的值.

解：⑴连接0B.

VOD±AB,.,.AD=BD.

AZBOD=ZAOD=52°.

.•.ZDEB=|ZBOD=26°.

(2)VOD1AB,0C=3,0A=6,

.*.OC=^OA,即/OAC=30°.

.•.ZAOC=60°.

ZDEB=|zBOD=|zAOC=30°.

J3

tanXDEB=■

03综合题

16.如图，四边形ABCD内接于。O,点E在对角线AC上，EC=BC=DC.

⑴若NCBD=39。,求NBAD的度数;

(2)求证：Z1=Z2.

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解：(1)VBC=DC,

ABC=DC.

JZBAC=NCAD=ZCBD.

VZCBD=39°,

，NBAC=NCAD=39。.

NBAD=NBAC+ZCAD=78°.

(2)证明：・・・EC=BC,

，NCBE=NCEB.

VZCBE=Z1+ZCBD,NCEB=N2+NBAC,

AZ1+NCBD=Z2+ZBAC.

又・.・NBAC=NCBD,AZ1=Z2.

17.（2019・陕西）如图，AB是。O的直径，EF,EB是。O的弦，且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF.若

ZAOF=40°,则/F的度数是⑻

A.20°

B.35°

C.40°

D.55°

o©oo构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角解题

【模型展示】

1.（2019・连云港）如图，点A,B,C在。0上，BC=6,ZBAC=30°,则OO的半径为d

2.如图，AB是。。的直径，弦CD垂直平分OB,P是G上一点，则NAPD等于位.

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第2课时圆周角定理的推论2,3

01基础题

知识点1圆周角定理的推论2

1.如图，已知AB是AABC外接圆的直径，ZA=35°,则NB的度数是（C）

A.35°

B.45°

C.55°

D.65°

2.（教材尸83随堂练习72变式）从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（8）

3.（2018・南充）如图，BC是。O的直径，点A是。O上的一点,ZOAC=32°,则NB的度数是(A)

58°B.60°

C.64°D.68°

4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M,N,量得OM

=8cm,ON=6c、机，则该圆玻璃镜的半径是(8)

A.y[i0cmB.5cm

C.6cmD.10cm

5.如图，AB是。0的直径，点C是。O上的一点，过点C作CD_LAB于点D.若AB=10,BC=6,则CD的

长为（O

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4.1.2

B.2.4

C.4.8

D.5

6.如图，在半径为5cm的。O中，AB为直径，ZACD=30°,求弦BD的长.

解：・・・AB为直径，

・・・NADB=90。.

又；NABD=ZACD=30°,

A

・・・BD=ABcosNABD=10义苧=5小(cm).

知识点2圆周角定理的推论3

7.(2019•兰州)如图，四边形ABCD内接于。O.若NA=40。，则NC=(D)

D

A.110°

B.120°

C.135°

D.140°

8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点.若NBAD=105。，则NDCE的大小是(8)

9.(2018・邵阳)如图所示，四边形ABCD为。O的内接四边形，ZBCD=120°,则NBOD的大小是(3)

A.80°B.120°

C.100°D.90°

©

10.如图，在圆内接四边形ABCD中，m空NA,ZB,NC的度数之比为4：3：5,则ND的度数是120。.

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易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误

11.如图，在。0中，点A,B,C在。0上，且/ACB=110。，则/a=140。.

02中档题

12.（2019•荷泽）如图，AB是。。的直径，C,D是。O上的两点，且BC平分NABD,AD分别与BC,OC相

交于点E,F,则下列结论不一定成立的是（O

A.OC//BDB.AD±OC

C.ACEF^ABEDD.AF=FD

13.（2019•宝鸡模拟）如图，AB是。。的直径，NBOD=120。，点C为配）的中点，AC交OD于点E,OB=2,

则AE的长为（4）

A4B.让C.2小D.2小

©

C

14.（2019•西安莲湖区一模）如图,直径为10的。A经过点C（0,5）和点0（0,0）,B是y轴右侧。A优弧上一

点，则NOBC的余弦值为（C）

41西力4

15.（2019•东营）如图，AC是。O的弦，AC=5,点B是。。上的一个动点,且NABC=45。.若点M,N分别

是AC,BC的中点，则MN的最大值是乎.

&

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16.如图，四边形ABCD内接于。0,NB=50。，ZACD=25°,/BAD=65。.求证:

(1)AD=CD；

(2)AB是。O的直径.

证明：（1）；四边形ABCD内接于

.•.ZD=180°-ZB=130°.

VZACD=25°,

ZDAC=180°—ND—ZACD=180°-130°-25°=25°.

AZDAC=ZACD.

AAD=CD.

（2）：NBAC=NBAD—/DAC=65°-25°=40°,NB=50°,

AZACB=180°-ZB-ZBAC=180°-50°-40°=90°.

AAB是。O的直径.

17.（2018•宜昌）如图，在4ABC中，AB=AC.以AB为直径的半圆交AC于点D,交BC于点E.延长AE至点

,使EF=AE,连接FB,FC.

（1）求证：四边形ABFC是菱形；

（2）若AD=7,BE=2,求半圆和菱形ABFC的面积.

解：（1）证明：：AB为半圆的直径，

AZAEB=90°.

VAB=AC,

ACE=BE.

又：EF=AE,

...四边形ABFC是平行四边形.

又；AB=AC（或/AEB=90。），

...四边形ABFC是菱形.

⑵连接BD.

VAD=7,BE=CE=2,

.,.设CD=x,则AB=AC=7+x.

：AB为半圆的直径，...NADB=90。.

/.AB2-AD2=CB2-CD2,

即（7+X）2-72=42-X2.

解得X|=l,X2=—8（舍去）.

；.AB=8,BD=VB.

1,

••S华圆=/X4~=8TT,

S芟形ABFC=8X=SyfTs.

03综合题

18.如图，在aABC中，ZC=60°,以AB为直径的半圆O分别交AC,BC于点D,E,已知。。的半径为

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2^3.

(1)求证：ACDE^ACBA；

(2)求DE的长.

解：(1)证明：•.•四边形ABED为。O的内接四边形,

.,.ZA+ZBED=180°.

又：NBED+NCED=180°,；.NCED=NA.

又,:ZC=ZC,

/.△CDE^ACBA.

⑵连接AE.

DECE

由(1)得BA=CA'

VAB为。0的直径，OO的半径为2小，

AZAEB=ZAEC=90°,AB=4小.

在RfZXAEC中，•；NC=60。，，NCAE=30。.

.DE_-CE_-l-.DnFh--29^

,•4^3CA2--v3.

19.(2019・陕西模拟)如图，四边形ABCD为。。的内接四边形，AO1BC,垂足为E.若NADC=130。，则NBDC

的度数为(8)

A.70°

B.80°

C.75°

D.60°

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小专题（七）一道中考题的变式与应用

中考真题展示

（2019•宜宾）如图，。0的两条相交弦AC,BD,/ACB=/CDB=60。，AC=2小，则。O的面积是犯.

中考真题变式

如图，A,P,B,C是。O上的四个点，NAPC=NCPB=60。.判断aABC的形状，并证明你的结论.

解：AABC为等边三角形.

证明：\'ZAPC=ZABC,ZCPB=ZBAC,且NAPC=NCPB=60。,

，NABC=NBAC=60。.

AZACB=60°.

•二△ABC为等边三角形.

【问题延伸1】求证：PA+PB=PC.

A

—7c

证明：在PC上截取PD=AP,连接AD,如图.

VZAPC=60°,

•••△APD是等边三角形.

，AD=AP=PD,ZADP=60°.

.•.ZADC=120°,

YNAPB=NAPC+ZBPC=120°,

，NADC=NAPB.

（ZABP=ZACD,

在AAPB和AADC中，，NAPB=NADC,

[AP=AD,

•••△APBgZ\ADC（A4S）.

・・・BP=CD.

又・.・PD=AP,・・・PA+PB=PC.

【问题延伸2】若。。的半径为8,则圆心O到BC的距离为4.

证明线段的和、差、倍、分问题的常见做法是“截长补短”法，具体做法是：在某一条线段上截取一条线段与

特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.

【问题延伸3】若BC=2小，点P是&上一动点（异于点A,B）,求PA+PB的最大值.

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解：由“问题延伸1"知PA+PB=PC,要使PA+PB最大，则PC为直径，作直径BG,连接CG.ZG-ZBAC

=60°,ZBCG=90°.VBC=2V3>BG=4.PA+PB的最大值为4.

直径是圆中最长的一条弦，在求最值的问题中经常用到这一结论.

变式训练

1.如图，四边形APBC是圆内接四边形，延长BP至E,若/EPA=/CPA,判断AABC的形状，并证明你的

结论.

解：4ABC是等腰三角形.证明：

•.•四边形APBC是圆内接四边形，

.,.ZEPA=ZACB.

：/EPA=NCPA,/CPA=NABC,

AZACB=ZABC.

AAB=AC.

...△ABC是等腰三角形.

2.如图，点A,B,C,D在同一个圆上，且C点为一动点(点C不在BAD上，且不与点B,D重合)，ZACB

=NABD=45°.

(1)求证：BD是该圆的直径；

(2)连接CD,求证：巾AC=BC+CD.

证明：(1)；/ACB=NADB=45°,/ABD=45°,

AZBAD=90°.

ABD是该圆的直径.

(2)在CD的延长线上截取DE=BC,连接EA.

VZABD=ZADB,；.AB=AD.

VZADE+ZADC=180°,ZABC+ZADC=180°,AZABC=ZADE.

在aABC和AADE中，

AB=AD,

<ZABC=ZADE,

BC=DE,

.,.△ABCg^ADE(SAS).

；./BAC=NDAE,BC=DE.

ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

即/BAD=/CAE=90°.

VZACD=ZABD=45°,

.,.△CAE是等腰直角三角形.

.AC=CE=DE+CD=BC+CD.

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在圆中，若出现角平分线或等弦问题一般可以尝试旋转法.如图，AD平分/BAC交。O于点D（或BD=CD）,

可以将4ABD绕点D顺时针旋转NBDC的度数，得4ECD.

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小专题（八）与圆的基本性质有关的计算

类型1求角度

L（2019・陕西一模）如图所示，点A,B,C,D在。O上，CD是直径，ZABD=75°,则NAOC的度数为（。

2.（2019•宝鸡岐山县二模）如图，点A,B,C,D在OO上，CB=CD,ZCAD=30°,NACD=50。，则NADB

的度数为（。

A.30°B.50°C.70°D.80°

3.（2019・天水）如图，四边形ABCD是菱形，。。经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE.若ND

=80°,则NEAC的度数为（O

A.20°B.25°C.30°D.35°

。3

B£----

4.（2018・陕西）如图，Z\ABC是。。的内接三角形，AB=AC,ZBCA=65°,作CD〃AB,并与。。相交于点

D,连接BD,则NDBC的大小为（A）

A.15°B.35°C.25。D.45°

A

5.（201a陕西二楼）如图，AB是00的直任，点DC,在OO上.若NDCB=110。，则NAED的度数为（8）

A

■

A.15°

B.20°

C.25°

D.30°

6.如图，AB是。O的直径，CD是。O的弦，BA,DC的延长线交于点E,AB=2CE,NE=25。，则NBOD

=75。.

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I)

七

7.如图，在。0中，/OAB=22.5。,则/C的度数为112.5。

C

类型2求长度

8.（2019•西安工大附中一模）如图,,已知