第03讲 轴对称图形的概念、性质、设计-【暑假自学课】2022年新八年级数学暑假课（苏科版）

第03讲轴对称图形的概念、性质、设计【学习目标】1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质。【基础知识】一．生活中的轴对称现象（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．（2）轴对称包含两层含义：①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．二．轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．三．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．四．镜面对称1、镜面对称：有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．五．作图-轴对称变换几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．六．利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．七．剪纸问题一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．八．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．【考点剖析】一．生活中的轴对称现象（共3小题）1．（2020秋•句容市期中）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是点．2．（2020秋•鼓楼区校级月考）已知：如图，CDEF是一个长方形的台球面，有A、B两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球A，才能使A先碰到台边FC反弹后再击中球B？在图中画出A球的运动线路．3．（2021秋•常州期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（）A．点P B．点Q C．点M D．点N二．轴对称的性质（共3小题）4．（2022•新华区模拟）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个5．（2021秋•高邮市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝4，则点P1、P2之间的距离可能是（）A．0 B．7 C．9 D．106．（2021春•凤翔县期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称．（1）线段AD的对称线段是，CD＝，∠CBA＝，∠ADC＝．（2）AE与BF平行吗？为什么？（3）若AE与BF平行，则能说明轴对称图形中对称点的连线一定互相平行吗？三．轴对称图形（共4小题）7．（2022•罗湖区校级一模）下列图形中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．8．（2021秋•盐都区月考）如图，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有个．9．（2021秋•海陵区校级月考）四个图形分别是正三角形、等腰梯形、长方形、正五边形，它们全部是轴对称图形，其中对称轴的条数最少的图形是．10．（2019春•滕州市期末）在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形．四．镜面对称（共2小题）11．（2021秋•五常市期末）在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是．12．（2021秋•兴化市月考）从汽车后视镜中看见某车牌后5位号码是，该号码实际是．五．作图-轴对称变换（共2小题）13．（2021秋•丹徒区月考）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知点A、B都在格点上，（网格线的交点叫做格点）且它们的坐标分别是A（2，﹣4）、B（3，﹣1）．（1）点B关于y轴的对称点的坐标是；（2）若点C的坐标是（0，﹣2），将△ABC先沿y轴向上平移4个单位长度后，再沿y轴翻折得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，B1点的坐标是；（3）△A1B1C1的面积为；（4）在现有的网格中，到点B1距离为10的格点的坐标是．14．（2021秋•新吴区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．（1）请用无刻度直尺与圆规在AB上作一点D，使得点B关于直线CD的对称点E恰好落在AC边上（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接CD、DE，①求△ADE与△BCD的面积之比；②求BD的长．六．利用轴对称设计图案（共4小题）15．（2020•岚山区模拟）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示．小明按如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用10个这样的图形拼出来的图形的总长度是（结果用含a、b的代数式表示）．16．（2019秋•浦东新区期末）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字的格子内．17．（2021秋•吴江区月考）如图，是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影，请你从其余的13个白色的小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形．请用三种方法在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴．（所画的三个图形不能全等）18．（2021•奉化区校级模拟）如图，在2×2的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．请在下面每一个图中，作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形．（画三个，不能重复）七．剪纸问题（共2小题）19．（2021秋•兴城市期中）如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是（）A． B． C． D．20．（2021春•黄浦区期末）如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于°．八．翻折变换（折叠问题）（共3小题）21．（2021秋•宜兴市期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF、GF为两条折痕，若∠EFG＝α，则∠B'FC'的度数是（）A．α﹣45° B．2α﹣90° C．90°﹣α D．180°﹣2α22．（2022春•阜宁县校级月考）如图，E，F分别四边形ABCD的边AD，BC上的点，连接E，F，将四边形ABCD沿直线EF折叠．若点A，B都落在四边形ABCD的内部，记∠C+∠D＝α，则∠1+∠2＝．23．（2021秋•亭湖区校级月考）如图的三角形纸板中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD．（1）若AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，求△AED的周长；（2）若∠C＝100°，∠A＝70°，求∠BDE的度数．【过关检测】一、单选题1．（2018·江苏八年级月考）下列图形中对称轴条数最多的是（）A．等边三角形 B．正方形 C．等腰三角形 D．等腰梯形2．（2019·苏州市吴江区青云中学）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2020·江苏省江阴市第一中学八年级月考）给出下列5个图形：线段、等边三角形、角、平行四边形、正五边形，其中，一定是轴对称图形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（2020·扬州市江都区实验初级中学八年级月考）如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，如果再将图中的一个小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形的标号不可能是（）A．1 B．2 C．4 D．65．（2020·江苏八年级期中）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2020·江苏昭阳湖初中八年级期中）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中是一个格点三角形，在这个的正方形格纸中，与成轴对称的格点三角形最多有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个7．（2019·江苏）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（）A．48° B．54° C．64° D．78°8．（2021·江苏八年级专题练习）如图，在4×4的正方形网格中，已将图中的三个小正方形涂上阴影，若再将图中其余小正方形任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）A． B．5个 C．4个 D．3个9．（2019·江苏八年级月考）如图，直线是一条河，、是两个新农村定居点．欲在上的某点处修建一个水泵站，直接向、两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（）A． B．C． D．二、填空题10．（2019·南师附中树人学校八年级月考）在直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，直线经过点，并且与轴平行，与关于线对称．（1）图中格点的面积为______．（2）画出，并写出的顶点的坐标：______．（3）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点关于直线的对称点的坐标：______．11．（2021·江苏南京·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称点的坐标是______．12．（2020·江苏八年级月考）一辆汽车的牌照在车下方水坑中的像是，则这辆汽车的牌照号码应为_____．13．（2020·无锡市甘露学校（待删除）八年级月考）下列图形中：①线段；②正方形；③圆；④等腰梯形；⑤平行四边形．是轴对称图形的有______________个．14．（2020·江苏八年级月考）黑体汉字中的“中”“田”“日”等都是轴对称图形，请至少再写出三个具有这种特征的汉字：_____．15．（2020·江苏宿迁·）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________种．16．（2020·无锡市大桥实验学校）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有___种选择．17．（2020·江苏东绛实验学校八年级月考）在“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，是轴对称图形的有______个．18．（2020·南京市溧水区和凤初级中学）如图，在正方形网格中，分别将①②③④四个网格涂上阴影，能与原阴影部分构成一个轴对称图形的有____________．（填网格序号）三、解答题19．（2021·江苏八年级专题练习）如图，已知A(0，4)，B(－2，2)，C(3，0)．（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）写出A1，B1，C1的坐标．20．（2020·苏州市吴江区青云实验中学八年级月考）如图，在正方形网格上有一个．（1）作关于直线